Bilinsky dodekaedri

Bilinsky dodekaedri

( pyörivä malli )
Ominaisuudet kupera , vyöhykeedri
Kombinatoriikka
Elementit
12 pintaa
24 reunaa
14 kärkeä 		X  = 2
Fasetit 12 timanttia
Vertex-kokoonpano 4+4(4.4.4)
4+2(4.4.4.4)
Luokitus
Symmetria ryhmä P2h _
 Mediatiedostot Wikimedia Commonsissa

Bilinskyn dodekaedri [1] on monitahoinen ( zonohedron ), joka koostuu 12 identtisestä kultaisesta rombista .

Se on topologisesti isomorfinen rombisen dodekaedrin kanssa, mutta toisin kuin se, se ei ole isohedraalinen (vaikka kaikki sen pinnat ovat myös yhteneväisiä ) ja sillä on erilainen symmetriaryhmä .

Bilinsky-dodekaedrin pinnat ovat rombeja , joiden lävistäjien suhde on yhtä suuri kuin kultainen leikkaus; ne ovat jonkin verran pitkänomaisempia kuin rombisen dodekaedrin pinnat, jotka ovat rombeja diagonaalien suhteen

Siinä on 14 huippua. 2 kärjessä neljä pintaa yhtyvät teräviin kulmiinsa; 4 kärjessä kolme pintaa konvergoi tylpäiden kulmien kanssa; 4 kärjessä yksi teräväkulmainen pinta ja kaksi tylppäkulmaa yhtyvät; 4 kärjessä kolme pintaa yhtyvät teräviin kulmiin ja yksi tylppä.

Bilinsky dodekaedrissa on 24 yhtä pitkää reunaa. 12 reunalla (kuvassa punaisella merkittyjen kärkien vieressä ) dihedraaliset kulmat ovat yhtä suuret 8 reunan kanssa ( vihreän ja sinisen kärjen välillä) - 4 reunalla ( mustien ja vihreiden kärkien välillä ) -

Koordinaateissa

Bilinsky dodekaedri voidaan sijoittaa karteesiseen koordinaattijärjestelmään niin, että sen kärjeillä on koordinaatit

Tässä tapauksessa monitahoisen symmetriakeskipiste osuu origoon, kolme symmetria-akselia osuu yhteen akseleiden Ox, Oy ja Oz kanssa ja kolme symmetriatasoa osuu yhteen tasojen xOy, xOz ja yOz kanssa.

Metrinen ominaisuudet

Jos Bilinsky-dodekaedrin reuna on pituus , sen pinta-ala ja tilavuus ilmaistaan ​​muodossa

Historia

Tämä monitahoinen löytyy ensimmäistä kertaa nimellä "dodecarombe" vuonna 1752 kuvituksessa englantilaisen matemaatikon John Lodge Cowleyn kirjassa [2] [3] .

Kroatialainen matemaatikko Stanko Bilinsky [4] löysi sen uudelleen vuonna 1960 ja kutsui sitä "toisen tyypin rombiseksi dodekaedrikseksi" [5] . Bilinskyn löytö täytti aukon, joka jäi huomaamatta 75 vuotta Evgraf Fedorovin [6] kuvaamassa kuperoiden monitahoisten luokittelussa, jossa on yhtenevät rombiset pinnat .

Harold Coxeter väitti vuoden 1962 artikkelissa [7] virheellisesti, että Bilinsky-dodekaedri voidaan saada rombisen dodekaedrin affiinilla muunnolla . Tämä väite on väärä [6] .

Todiste Tarkastellaan kahta segmenttiä yllä olevissa kuvissa: kaksi sinistä kärkeä yhdistävän monitahoisen lävistäjä ja punaisen kärjen vihreään yhdistävän pinnan diagonaali Bilinsky-dodekaedrissa nämä segmentit eivät ole yhdensuuntaisia, mutta rombisessa dodekaedrissa niitä vastaavat segmentit ovat yhdensuuntaisia. Ja koska affiininen muunnos säilyttää segmenttien yhdensuuntaisuuden, on mahdotonta saada yksi monitahoinen toisesta käyttämällä affiineja laajennuksia ja supistuksia.

Muistiinpanot

  1. ↑ W. Ball, G. Coxeter . Matemaattisia esseitä ja viihdettä. - M.: Mir, 1986. - P. 157.
  2. ↑ John Lodge Cowley. Geometria on helppoa; Tai Geometrian elementtien uusi ja menetelmällinen selitys. - Lontoo, 1752. - Levy 5, kuva 16.
  3. ↑ Hart, George W. (2000), rombisen enneakontaedrin värisovitusleikkaus , Symmetry: Culture and Science osa 11 (1–4): 183–199 , < http://www.georgehart.com/dissect -re/dissect-re.htm >  . ( Arkistoitu 1. lokakuuta 2015 Wayback Machinessa )
  4. ↑ Bilinski, S. (1960), Uber die Rhombenisoeder, Glasnik Mat. Fiz. Astr. T. 15: 251-263  .
  5. ↑ Cromwell, Peter R. (1997), Polyhedra: Yksi geometrian viehättävimmistä luvuista , Cambridge: Cambridge University Press , s. 156, ISBN 0-521-55432-2 , < https://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC&pg=PA156 >  .
  6. ↑ 1 2 Grünbaum, Branko (2010), Bilinskin dodekaedri ja erilaisia ​​rinnakkaisia, zonohedra-, monohedra-, isozonohedra- ja otherhedra-lajeja , The Mathematical Intelligencer osa 32 (4): 5–15 , DOI 10.01-2073/s010281  .
  7. ↑ Coxeter, HSM (1962), Zonohedrien luokittelu projektiivisten kaavioiden avulla, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées vol. 41: 137–156  .

Linkit