Jaettu neliömosaiikki

Jaettu neliölaatoitus (tai tetrakis-neliölaatoitus  ) on laatoitus euklidisessa tasossa , joka muodostetaan neliölaatoituksesta jakamalla jokainen neliö neljään tasakylkiseen suorakulmaiseen kolmioon , joiden kärjet ovat neliöiden keskipisteissä, jolloin tuloksena on ääretön Laatoitus voidaan rakentaa myös jakamalla kukin hilan neliö kahdeksi kolmioksi, joissa on lävistäjä, kun taas vierekkäisten neliöiden lävistäjät ovat eri suunnassa. ja sen mittakaava kasvaa √2 .

Conway kutsui tessellaatiota kisquadrilleksi eli operaatiolla "kis" saatua kvadraparkettia [1] . " Kis" -operaatio lisää pisteen kasvojen keskelle ja reunat tästä pisteestä kasvojen kärkiin, jolloin neliömosaiikin pinnat jaetaan kolmioiksi. Mosaiikkia kutsutaan myös Union Jack -hilaksi , koska se muistuttaa Ison-Britannian kansallislippua , jonka kolmioita ympäröivät 8:n pisteet [2] .

Laatoitus on merkitty V4.8.8:ksi, koska jokaisessa tasakylkisessä kolmiossa on kahdenlaisia ​​pisteitä - yksi kärki, jossa on 4 ympäröivää kolmiota, ja kaksi kärkeä, joissa on 8 kolmiota.

Kaksoislaatoitus

Laatoitus on kaksinkertainen katkaistun neliön laatoituksen kanssa, jossa on yksi neliö ja kaksi kahdeksankulmiota kummassakin kärjessä [3] .

Sovellukset

Jaetun neliön mosaiikin 5 × 9 - fragmenttia käytetään pelilaudana Madagaskarin lautapelissä Fanorona . Tässä pelissä kivet asetetaan mosaiikin päälle ja liikkeet tehdään reunoja pitkin vangiten vastustajan kivet, kun niitä on olemassa. Tässä pelissä asteen 4 ja 8 pisteitä kutsutaan heikoiksi leikkauspisteiksi ja vahvaksi leikkauspisteiksi. Piikkityyppien erolla on tärkeä rooli pelin strategiassa [4] . Samanlaista lautaa käytetään brasilialaispelissä Adugo ja pelissä Hare and Dogs .

Jaettua neliömäistä mosaiikkia käytettiin US Postal Servicen vuonna 1997 liikkeeseen laskemissa muistopostimerkeissä , joissa oli erilaisia ​​kuvioita kahdessa eri postimerkissä [ 5] .

Tämä mosaiikki muodostaa perustan myös laajalti käytetyille tikkaus-, jyrsin- ja rikkilevykuvioille [6] [7] [8] .

Symmetria

Mosaiikkisymmetriatyypit (tapettiryhmän symmetriatyyppien mukaan :

• symmetria cmm; kun värjätään neljällä värillä, perussolu koostuu 8 kolmiosta, perusalue koostuu 2 kolmiosta (1/2 jokaisesta väristä)
• p4g-symmetria; tummat ja vaaleat kolmiot, yksikkösolussa on 8 kolmiota, perusalue koostuu 1 kolmiosta (1/2 jokaisesta mustavalkoisesta)
• p4m symmetria; kaikilla kolmioilla on sama väri (valkoinen) ja mustat reunat, yksikkösolu koostuu 2 kolmiosta, perusalue (1/2)

Jaetun neliömäisen laatoituksen reunat muodostavat yksinkertaisen viivojen kokoonpanon , ominaisuuden, joka on yhteinen kolmiomaisen laatoituksen ja jaetun rombisen laatoituksen kanssa .

Nämä viivat muodostavat heijastusryhmän ( tapettiryhmä [4,4], (*442) tai p4m) symmetria-akselit , jonka perusalueena on laatoituskolmiot . Tämä ryhmä on isomorfinen , mutta ei sama kuin laatoituksen automorfismiryhmä , jolla on ylimääräisiä kolmioita rikkovia symmetriaakseleita ja jonka perusalueena on puolikolmiot.

Pienten indeksien p4m alaryhmiä on monia (symmetrialla [4,4], *442 orbifold-merkinnällä ), jotka voidaan nähdä Coxeter-Dynkin-kaavioista suorien heijastusten mukaan väritetyillä solmuilla ja pivotilla. numeroilla merkittyjä pisteitä. Pyörimissymmetria näytetään vuorotellen valkoisina ja sinisinä alueina, ja yksi perusalue jokaista alaryhmää kohti näytetään keltaisella. Liukuvat symmetriat esitetään katkoviivoilla.

Alaryhmät voidaan ilmaista Coxeter-Dynkin-kaavioilla niiden perusaluekaavioilla.

Pienten indeksien alaryhmät p4m, [4,4], (*442)
Indeksi	yksi	2			neljä
Perusaluekaavio _ _
Coxeter-merkintä Coxeter-kaavio	[ 1 ,4, 1 ,4, 1 ] = [4,4]	[1 + ,4,4] =	[ 4,4,1+ ] =	[4,1 + ,4] =	[1 + ,4,4,1 + ] =	[4 + ,4 + ] = [(4,4 + ,2 + )]
Orbifold	*442			*2222		22×
Puolisuorat alaryhmät
Indeksi		2			neljä
Kaavio
kokseteri		[ 4,4+ ]	[4 + ,4]	[(4,4,2 + )]	[1 + ,4,1 + ,4]=[(2 + ,4,4)] ==	[4,1 + ,4,1 + ]=[(4,4,2 + )] ==
Orbifold		4*2		2*22
Suorat alaryhmät
Indeksi	2	neljä			kahdeksan
Kaavio
kokseteri	[4,4] +	[1 + ,4,4 + ] = [4,4 + ] + =	[4 + ,4,1 + ] = [4 + ,4] + =	[(4,1 + ,4,2 + )] = [(4,4,2 + )] + =	[1 + ,4,1 + ,4,1 + ] = [(4 + ,4 + ,2 + )] = [4 + ,4 + ] + =
Orbifold	442			2222

Aiheeseen liittyvät polyhedrat ja laatoitukset

Laatoitus liittyy topologisesti polyhedra- ja laatoitussarjaan, jonka kärkikonfiguraatio on V n .6.6 .

Katso myös

• Mosaiikit kuperista säännöllisistä monikulmioista euklidisella tasolla
• Luettelo yhtenäisistä laatoista
• Vuotokynnys

Muistiinpanot

1. ↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strass, 2008 .
2. ↑ Stephenson, 1970 .
3. ↑ Weisstein, Eric W. Dual tessellation  Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
4. ↑ Bell, 1983 , s. 150-151.
5. ↑ Frederickson, 2006 , s. 144.
6. ↑ Tikkausraamattu, 1997 , s. 55.
7. ↑ Zieman, 2011 , s. 66.
8. ↑ Fassett Kaffe, 2007 , s. 96.

Kirjallisuus

• Branko Grünbaum , GC Shephard. Laatat ja kuviot . - W.H. Freeman, 1987. - P. 58-65 (Luku 2.1: Säännölliset ja tasaiset laatoitukset). - ISBN 0-7167-1193-1 .
• Williams, R. Luonnonrakenteen geometrinen perusta: Suunnittelun lähdekirja . - New York: Dover Publications , 1979. - S.  40 . — ISBN 0-486-23729-X .
• Keith Critchlow. Tilaa avaruudessa: Suunnittelun lähdekirja. - New York: Thames & Hudson, 1987. - S. 77-76, malli 8. - ISBN 0-500-34033-1 .
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Luku 21, Arkhimedeen ja katalaanien monitahojen ja laattojen nimeäminen, taulukko s.288 // Asioiden symmetriat . - Wellesley, MA: A.K. Peters, Ltd., 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 . Arkistoitu19. syyskuuta 2010Wayback Machinessa
• John Stephenson. Ising-malli antiferromagneettisella seuraavan lähin naapurin kytkennällä: Spin-korrelaatiot ja häiriöpisteet // Phys. Rev. B. - 1970. - T. 1 , numero. 11 . - S. 4405-4409 . - doi : 10.1103/PhysRevB.1.4405 .
• Bell RC Fanorona // Lautapelikirja. - Exeter Books, 1983. - S. 150-151. — ISBN 0-671-06030-9 .
• Greg N. Frederickson. Piano-Hinged Dissects. - A. K. Peters, 2006. - ISBN 156881299X .
• Tikkaus Raamattu . - Creative Publishing International, 1997. - ISBN 9780865732001 .
• Nancy Zieman. Peitto Luottamuksella . - Krause Publications, 2011. - ISBN 9781440223556 .
• Fasset Kaffe. Kaffe Fassetin peittojen kaleidoskooppi: Rowanin kaksikymmentä mallia tilkkutöitä ja tikkausta varten . - Taunton Press, 2007. - ISBN 9781561589388 .