Suoraviivainen kokoonpano

Viivojen konfiguraatio (tai tason osio viivoilla ) [1]  on viivojen joukon muodostaman tason osio . Viivakonfiguraatioita tutkitaan kombinatorisessa geometriassa , ja laskennallisessa geometriassa rakennetaan algoritmeja konfiguraatioiden tehokkaaseen rakentamiseen.

Määritelmä

Mille tahansa euklidisen tason suorien joukolle A voidaan määrittää tason pisteille ekvivalenssisuhde , jonka mukaan kaksi pistettä p ja q ovat ekvivalentteja, jos minkä tahansa A:n suoran l kohdalla joko p ja q ovat molemmat linja l tai ne sijaitsevat samassa avoimessa puolitasossa , jota rajoittaa suora l . Jos A on äärellinen tai paikallisesti äärellinen [2] , näiden suhteiden ekvivalenssiluokat kuuluvat kolmeen ryhmään:

  1. rajattujen tai rajoittamattomien kuperoiden monikulmioiden sisätilat ( hajoamissolut ), tason pisteiden osajoukon yhdistetyt komponentit, jotka eivät sisälly mihinkään A :n suorista ,
  2. avoimet segmentit ja avoimet äärettömät säteet ( hajoamisreunat ) , yhden suoran pisteiden yhdistetyt komponentit, jotka eivät kuulu mihinkään muuhun A :n suoraan ,
  3. erilliset pisteet ( osion kärjet ), kahden tai useamman A :n suoran leikkauspiste .

Nämä kolme esinetyyppiä, jotka on yhdistetty toisiinsa, muodostavat laatoituksen , joka peittää tason. Kahden rivin järjestelyn sanotaan olevan isomorfinen tai kombinatorisesti ekvivalentti , jos soluosioiden objektien välillä on yksi-yhteen viereisyyttä säilyttävä vastaavuus [3]

Sarjojen monimutkaisuus

Suoraalkuisten konfiguraatioiden tutkimus Jacob Steiner , joka osoitti ensimmäisen sidoksen erityyppisten elementtien enimmäismäärälle, jonka konfiguraatio voi sisältää [4] [5] . N: n suoran konfiguraatiossa on enintään n ( n  − 1)/2 kärkeä, yksi leikkauspisteparia kohti. Tämä maksimi saavutetaan yksinkertaisilla kokoonpanoilla . Konfiguraatiota kutsutaan yksinkertaiseksi jos

1. kolmea suoraa ei leikkaa yhdessä pisteessä 2. ei ole kahta yhdensuuntaista suoraa.

Missä tahansa kokoonpanossa on n ääretöntä alaspäin suuntautuvaa sädettä, yksi riviä kohden. Nämä säteet erottavat osion n  + 1 solua, jotka ovat rajoittamattomia alhaalta. Kaikilla jäljellä olevilla soluilla on yksi alin kärkipiste, [6] ja jokainen tällainen kärkipiste on alempi yhdelle solulle, joten osiosolujen lukumäärä on yhtä suuri kuin pisteiden lukumäärä plus n  + 1 tai ei ylitä n ( n  + 1)/2 + 1, katso alla Keskimonikulmioluvut . Osion reunojen määrä ei ylitä n 2 , mikä voidaan nähdä joko käyttämällä Eulerin ominaisuutta , korvaamalla kärkien ja solujen lukumäärää tai käyttämällä havaintoa, että jokainen rivi on jaettu enintään n reunaan muilla n  − 1 viivalla. Jälleen pahin tapaus, jossa raja saavutetaan, ovat yksinkertaiset linjakokoonpanot.

Viivan l vyöhyke rivijoukossa on joukko soluja, joiden reunat ovat l :llä . Vyöhykelauseessa sanotaan, että yksittäisen vyöhykkeen solujen reunojen kokonaismäärä on lineaarinen. Tarkemmin sanottuna rivin l toisella puolella olevien solujen reunojen kokonaismäärä (viivan vyöhykkeeltä) ei ylitä 5 n  − 1 [7] [8] [9] , ja makaavien solujen reunojen kokonaismäärä l :n molemmilla puolilla ei ylitä [10] . Yleisemmin kuperalla käyrällä leikkaamien osiosolujen kokonaismonimutkaisuus on O( n  α( n )), missä α tarkoittaa käänteistä Ackermann-funktiota , joka voidaan osoittaa Davenport-Schinzel-sekvensseistä [10] . Yhteenvetona kaikkien vyöhykkeiden kompleksisuudesta voidaan todeta, että osion solujen kompleksisuuden neliösumma on O( n 2 ) [11] .

Viivojen konfiguraation k-taso onpolylinja, joka muodostuu reunoista, joiden alapuolella on tasankmuuta viivaa (eli reunasta alas vedetty säde leikkaa tarkalleenkviivaa), ja≤k-taso on kaikki osalinjan konfiguraatiotk-tason alla. Ylä- ja alempien kompleksisuusrajojen löytäminenktasolle on edelleen suuri avoin ongelma diskreetissä geometriassa. Paras yläraja on O(nk1/3), kun taas paras alaraja on Ω(nexp(c(logk)1/2)) [12] [13] [14] . Tiedetään, että ≤k-tason maksimikompleksisuus on Θ(nk) [15] . K-taso on monotonisen polun erikoistapaus taso-osion sisällä, eli reunojen sarja, joka leikkaa minkä tahansa pystysuoran viivan yhdessä pisteessä. Monotoniset polut voivat kuitenkin olla monimutkaisempia kuink-tasot - näissä joukoissa on viivoja ja monotonipolkuja, joissa pisteiden lukumäärä, joissa polku muuttaa suuntaa, on Ω(n2 − o(1)) [16] [17] .

Vaikka yksittäinen osion solu voidaan rajoittaa kaikilla n : llä rivillä, ei yleensä ole mahdollista, että m erillistä solua rajataan n :llä rivillä. Sitä vastoin m solun kokonaiskompleksisuus on lähes yhtä suuri kuin Θ( m 2/3 n 2/3  +  n ) [18] [19] ja melkein sama raja näkyy Szemerédy –Trotter-lauseessa tason pisteitä ja viivoja. Yksinkertainen todiste tästä tosiasiasta seuraa leikkauslukuepäyhtälöstä  - jos m solussa on yhteensä x  +  n reunaa, voit luoda graafin, jossa on m pistettä (yksi per solu) ja x reuna (yksi per peräkkäinen solupari samalle rivi) [20] [21] . Tämän graafin reunat voidaan piirtää käyrinä, jotka eivät leikkaa reunojen päätypisteitä vastaavien solujen sisällä ja seuraavat sitten joukon suoria viivoja. Tässä kuvassa on siis O( n 2 ) leikkauspistettä. Leikkausten lukuepäyhtälön perusteella on kuitenkin Ω( x 3 / m 2 ) -leikkauksia. Jotta molemmat epäyhtälöt päteisivät, x :n on oltava O( m 2/3 n 2/3 ) [22] .

Projektiiviset konfiguraatiot ja projektiivinen kaksinaisuus

On usein kätevää tutkia suorien konfiguraatiota ei euklidisessa avaruudessa, vaan projektiivitasossa , koska projektitiivisessa geometriassa jokaisella suoraparilla on leikkauspiste. Projektiivisella tasolla emme voi määrittää osiota käyttämällä viivojen sivuja (projektiivitasolla oleva suora ei jaa tasoa kahdeksi erilliseksi sivuksi), mutta voimme silti määritellä osiosolut toisiinsa liittyviksi komponenteiksi pisteitä, jotka eivät sijaitse mikä tahansa rivi. Reunat ovat yhdistettyjä komponentteja, jotka koostuvat yhdelle suoralle kuuluvista pisteiden joukoista, ja kärjet ovat pisteitä, joissa kaksi tai useampia viivoja leikkaavat. Projektiivisen tason viivojen joukko eroaa euklidisesta vastineensa, koska viivan molemmilla puolilla olevat kaksi euklidista sädettä korvataan yhdellä reunalla projektiivitasossa ja rajoittamattomien euklidisten solujen parit korvataan projektiivitasossa yhdeksi. soluja.

Projektiivisen kaksinaisuuden valossa monet väitteet tason pisteiden kombinatorisista ominaisuuksista voidaan yksinkertaisemmin ymmärtää vastaavassa duaalimuodossa viivakonfiguraatioista. Esimerkiksi Sylvesterin lause , jonka mukaan millä tahansa ei-kollineaarisella pistejoukolla tasossa on yksinkertainen suora , joka sisältää täsmälleen kaksi pistettä, tulee projektiivisen kaksinaisuuden avulla lauseeksi, jonka mukaan millä tahansa viivojen kokoonpanolla, jolla on useampi kuin yksi kärkipiste, on yksinkertainen piste , kärki, jossa kaikki kaksi suoraa. Melchiorin varhaisin tunnettu todiste Sylvesterin lauseesta ( Melchior (1940 )) käyttää Eulerin ominaisuutta .

Kolmiot rivisarjoissa

Projektiivisen tason viivojen konfiguraation sanotaan olevan yksinkertainen , jos mikä tahansa osion solu on rajattu täsmälleen kolmella reunalla. Yksinkertaisia ​​konfiguraatioita tutki ensin Melchior [23] [24] . Tunnetaan kolme ääretöntä yksinkertaisten rivijoukkojen perhettä:

  1. Lähinippu koostuu n  − 1 linjasta, jotka kulkevat yhden pisteen kautta ja yhdestä linjasta, joka ei kulje tämän pisteen kautta,
  2. Suoraperhe, jonka muodostavat säännöllisen monikulmion sivut yhdessä symmetria-akselien kanssa
  3. Parillisen säännöllisen monikulmion sivut ja symmetria-akselit yhdessä äärettömyydessä olevan suoran kanssa.

Lisäksi on monia muita esimerkkejä yksittäisistä yksinkertaisista konfiguraatioista , jotka eivät sovi mihinkään tunnettuun äärettömään perheeseen [25] [24] . Kuten Grünbaum [24] kirjoittaa , yksinkertaiset rivijoukot "näkyvät esimerkkeinä tai vastaesimerkeinä monissa kombinatorisen geometrian ja sen sovellusten konteksteissa". Esimerkiksi Artier, Grünbaum ja Llibre [26] käyttivät yksinkertaisia ​​rivisarjoja rakentaakseen vastaesimerkkejä oletukselle, joka koski suhdetta differentiaaliyhtälöjoukon potenssien ja yhtälöllä mahdollisesti olevien invarianttien juovien lukumäärän välillä. Kaksi hyvin tunnettua vastaesimerkkiä Dirac-Motzkin-oletuksesta (joka väittää, että missä tahansa n: n rivin konfiguraatiossa on vähintään n /2 yksinkertaista pistettä) ovat molemmat yksinkertaisia ​​[27] [28] [29] [30] .

Viivakonfiguraation kaksoisgraafi , jossa on yksi kärki solua kohden ja yksi reuna , joka yhdistää konfiguraation yhteisen reunan omaavia soluja vastaavia pisteitä , on osakuutio , graafi , jossa kärjet voidaan merkitä bittivektoreilla siten , että kaavion etäisyys on yhtä suuri kuin merkkien välinen Hamming-etäisyys . Viivakonfiguraatioissa jokainen koordinaatti saa arvon 0 viivan toiselle puolelle ja 1 toiselle puolelle [31] . Yksinkertaisten konfiguraatioiden kaksoiskaavioita on käytetty rakentamaan äärettömiä perheitä 3-säännöllisistä osittaisista kuutioista, jotka ovat isomorfisia yksinkertaisen vyöhykeederin graafien kanssa [32] .

On myös mielenkiintoista tutkia kolmiomaisten solujen äärimmäisiä määriä konfiguraatiossa, joka ei välttämättä ole yksinkertainen. Jokaisessa kokoonpanossa on oltava vähintään n kolmiota. Minkä tahansa konfiguraation, jossa on vain n kolmiota, on oltava yksinkertainen [25] [33] [34] . Tiedetään, että suurin mahdollinen kolmioiden lukumäärä yksinkertaisessa konfiguraatiossa on ylhäältä päin rajattu luvulla n ( n  − 1)/3 ja minimiraja on n ( n  − 3)/3. Alaraja saavutetaan joissakin säännöllisen 2 n -gonin lävistäjien osajoukoissa [35] [25] . Ei-yksinkertaisissa kokoonpanoissa kolmioiden enimmäismäärä on samanlainen, mutta tiukemmin rajoitettu [36] [37] [38] . Läheisesti liittyvä Cobon-kolmio-ongelma kysyy enimmäismäärää ei-päällekkäisiä äärellisiä kolmioita (ei välttämättä pintaa) konfiguraatiossa euklidisella tasolla. Joillekin, mutta ei kaikille, n:n arvoille , voi olla n ( n  − 2)/3 kolmiota.

Multigrid- ja Penrose-laatoitus

Yksinkertaisen viivojen konfiguraation kaksoiskaavio voidaan esittää geometrisesti rombusten joukona , yksi konfiguraation kärkeä kohti, joiden sivut ovat kohtisuorassa kärjessä leikkaavien viivojen kanssa. Nämä rombukset voidaan yhdistää muodostamaan kuperan monikulmion laatoituksen, jos kyseessä on konfiguraatio, jossa on äärellinen määrä viivoja, tai koko taso, jos kyseessä on paikallisesti äärellinen konfiguraatio, jossa on ääretön määrä viivoja. De Bruijn [39] tutki tämän rakenteen erikoistapauksia, joissa suorien konfiguraatio koostuu k sarjasta rinnakkaisia ​​viivoja, jotka ovat yhtä kaukana toisistaan. Kahdessa kohtisuorassa yhdensuuntaisten viivojen perheessä tämä rakenne antaa yksinkertaisesti tutun neliömäisen parketin tasossa, ja kolmelle 120 asteen kulmassa toisiinsa nähden olevalle viivaperheelle (muodostaen näin kolmikulmaisen laatoituksen ) rakenne antaa rombisen laatoituksen . Kuitenkin suuremmalle määrälle linjaperheitä tämä rakenne antaa jaksoittaiset laatoitukset . Erityisesti viidelle viivaperheelle, jotka ovat samassa kulmassa toisiinsa nähden (tai, kuten de Bruijn kutsuu tätä kokoonpanoa, viisiristikko ), tämä antaa laatoitusperheen, joka sisältää rombisen version Penrose-laatoinnista .

Jaettu  neliölaatoitus on ääretön viivojen konfiguraatio, joka muodostaa jaksollisen tesellaation, joka muistuttaa moniverkkoa, jossa on neljä rinnakkaista perhettä, mutta jossa kahdella perheellä on suurempi viivojen välinen etäisyys kuin kahdella muulla ja jossa viivojen joukko on yksinkertainen. yksinkertaisen sijaan. Kaksoislaatoitus on katkaistu neliölaatoitus . Samoin kolmiolaatoitus on ääretön yksinkertainen kokoonpano viivoista, joissa on kolme yhdensuuntaisten viivojen perhettä, joiden kaksoislaatoitus on kuusikulmainen laatoitus ja jaettu kuusikulmainen laatoitus on ääretön yksinkertainen viivojen konfiguraatio, jossa on kuusi samansuuntaisten viivojen perhettä ja kaksi. rivien väliset etäisyydet perheissä, mikä on kaksinkertainen suuren rombisen kolmikulmaisen laatoituksen kanssa .

Algoritmit

Konfiguroinnin muodostaminen tarkoittaa viivakonfiguraation kärkien, reunojen ja solujen esityksen laskemista (yhdessä niiden suhteiden kanssa), kun sille annetaan lista joukon viivoista, kuten kaksoislinkitetty reunaluettelo . Vyöhyketeoreeman mukaan joukkoja voidaan rakentaa tehokkaasti inkrementaalisella algoritmilla, joka lisää yhden rivin askelta kohti edellisissä vaiheissa lisättyjen juovien joukkoon – jokainen uusi rivi voidaan lisätä vyöhykkeeseensä verrannollisessa ajassa, jolloin aika O( n ) 2 ) [7] . Tämän algoritmin muistivaatimukset ovat kuitenkin korkeat, joten voi olla kätevämpää luetella kaikki konfigurointiominaisuudet algoritmissa, joka ei tallenna kaikkia määrityksiä muistiin. Tämä voidaan tehdä tehokkaasti O( n2 ) -ajassa ja O( n )-avaruudessa käyttämällä algoritmista tekniikkaa, joka tunnetaan nimellä topologinen balayage [40] . Viivakonfiguraation tarkka laskeminen vaatii useita kertoja suurempaa laskentatarkkuutta kuin syötetieto (koordinaatit) - jos suora annetaan kahdella siinä olevalla pisteellä, kärkikonfiguraation koordinaatit voivat vaatia nelinkertaisen syötetietopisteiden tarkkuuden. Siksi algoritmeja konfiguraatioiden tehokkaaseen rakentamiseen rajoitetulla numeerisella tarkkuudella tutkitaan myös laskennallisessa geometriassa [41] [42] [43] .

Tutkijat tutkivat myös tehokkaita algoritmeja konfiguraation pienempien osien, kuten vyöhykkeiden [44] , k -tasojen [45] [46] [47] [48] tai tietyn pistejoukon sisältävän solujoukon [49] rakentamiseen. [50] [51] . Pistejoukon Theil-Sen-estimaatin laskemisen ongelmana esiintyy (kaksoismuodossa) pistejoukon Theil - Sen -estimaatin laskemisen ongelma [52] .

Mark van Creveld ehdotti algoritmista ongelmaa lyhimmän polun laskemiseksi pisteiden välillä viivojen konfiguraatiossa, jossa polut ovat konfiguraation reunat. Ongelma esitetään seuraavasti: onko olemassa algoritmeja, jotka toimivat alle neliöllisen ajan, jonka algoritmi käyttäisi lyhimmän polun löytämiseen täydellisessä konfiguraatiokaaviossa [53] . Approksimaatioalgoritmi tunnetaan [54] ja ongelma voidaan ratkaista tehokkaasti linjoille, jotka on jaettu pieneen määrään rinnakkaisten juovien perheitä (mikä on tyypillistä kaupunkikaduille) [55] , mutta ongelma pysyy yleisesti avoimena.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Pseudoline-kokoonpano

Pseudoliinien  konfiguraatio on käyrien konfiguraatio, jolla on samanlaiset topologiset ominaisuudet kuin viivojen konfiguraatiolla [25] [56] . Ne voidaan yksinkertaisimmin määritellä projektiivitasolla yksinkertaisina suljettuina käyrinä, joista mitkä tahansa kaksi leikkaavat poikittain yhdessä pisteessä. Pseudoliinien konfiguraation sanotaan olevan laajennettavissa , jos se vastaa kombinatorisesti viivojen konfiguraatiota. Ongelma erottaa korjattavat joukot ei-tasaistuvista [57] [58] on NP-täydellinen . Mitä tahansa äärellisen pseudoliinimäärän konfiguraatiota voidaan laajentaa siten, että pseudoliinit muuttuvat viivoiksi ei-euklidisessa tulogeometriassa , jossa mitkä tahansa kaksi topologisen tason pistettä on yhdistetty yhdellä viivalla (kuten euklidisessa tasossa), mutta joita muut euklidisen geometrian aksioomit eivät välttämättä pidä paikkaansa.


Laajentumaton yhdeksän pseudoliinin sarja. (Kaikki alle yhdeksän pseudolinjan joukot ovat korjattavissa.) Pappuksen lauseen mukaan tätä konfiguraatiota ei voida toteuttaa minkään kentän projektitiivisessa tasossa .
Viivojen hyperbolinen konfiguraatio vastaa kombinatorisesti Ageevin [59] käyttämää jännekaaviota osoittamaan, että ympyräkaavio ilman kolmioita voi joskus vaatia viisi väriä .

Lobatševskin kone

Toinen ei-euklidisen geometrian tyyppi on Lobatševskin taso , ja myös hyperbolisten viivojen konfiguraatioita tässä geometriassa on tutkittu. Euklidisen tason äärellisellä rivijoukolla on kombinatorisesti ekvivalentti konfiguraatio hyperbolisessa tasossa (esimerkiksi sulkemalla joukon kärjet suurympyrään ja tulkitsemalla syklin sisäosan hyperbolisen tason Klein-malliksi ). Hyperbolisessa suorajoukossa on kuitenkin mahdollista välttää suorien leikkaus ilman vaatimusta, että suorat ovat yhdensuuntaisia. Viivojen leikkauskaavio hyperbolisessa konfiguraatiossa on ympyräkuvaaja . Vastaava käsitys pseudoliinien viivojen hyperbolisesta konfiguraatiosta on pseudoliinien heikko konfiguraatio [60] , käyräperhe, jolla on samat topologiset ominaisuudet kuin viivoilla [61] siten, että mitkä tahansa kaksi käyrää perheessä joko leikkaavat yhdessä pisteessä tai eivät eivät risteä ollenkaan.

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ Englanninkielisessä kirjallisuudessa järjestely , joka usein käännetään konfiguraatioksi , on kuitenkin toinenkin termi konfiguraatio , joka on myös luonnollisesti käännetty sanaksi konfiguraatio . Joskus käytetään termiä rivijoukko , joskus - osio (viivoilla tai hypertasoilla).
  2. ↑ Paikallisesti äärellisissä joukoissa minkä tahansa tason rajatun osajoukon voi leikata vain äärellisellä määrällä suoria.
  3. ↑ Grünbaum, 1972 , s. neljä.
  4. ↑ Steiner, 1826 .
  5. ↑ Agarwal, Sharir, 2000 .
  6. ↑ Soluille, joissa on vaakasuora alareuna, valitse oikealla oleva kärki.
  7. ↑ 12 Chazelle et ai, 1985 .
  8. ↑ Edelsbrunner, 1987 .
  9. ↑ Edelsbrunner, O'Rourke, Seidel, 1986 .
  10. ↑ 1 2 Bern, Eppstein, Plassman, Yao, 1991 .
  11. ↑ Aronov, Matousek, Sharir, 1994 .
  12. ↑ Dey, 1998 .
  13. ↑ Toth, 2001 .
  14. ↑ K -tasojen kompleksisuuden rajoittamisen ongelmaa tutkivat ensin Lovász (1971 ) ja Erdősin, Simonsin, Strausin ryhmä ( Erdős et al (1973 )).
  15. ↑ Alon, Győri, 1986 .
  16. ↑ Balogh et al, 2004 .
  17. ↑ Matousek, 1991 .
  18. ↑ Canham, 1969 .
  19. ↑ Clarkson et ai, 1990 .
  20. ↑ Ajtai, Chvátal, vastasyntynyt, Szemerédi, 1982 .
  21. ↑ Leighton, 1983 .
  22. ↑ Szekely, 1997 .
  23. ↑ Melchior, 1940 .
  24. ↑ 1 2 3 Grünbaum, 2005 .
  25. ↑ 1 2 3 4 Grünbaum, 1972 .
  26. ↑ Artés, Grünbaum, Llibre, 1998 .
  27. ↑ Crowe, McKee, 1968 .
  28. ↑ Dirac, 1951 .
  29. ↑ Kelly, Moser, 1958 .
  30. ↑ Grünbaum, 1972 , s. kahdeksantoista.
  31. ↑ Eppstein, Falmagne, Ovchinnikov, 2007 .
  32. ↑ Eppstein, 2006 .
  33. ↑ Levi, 1926 .
  34. ↑ Roudneff, 1988 .
  35. ↑ Füredi, Palásti, 1984 .
  36. ↑ Purdy, 1979 .
  37. ↑ Purdy, 1980 .
  38. ↑ Strommer, 1977 .
  39. ↑ de Bruijn, 1981 .
  40. ↑ Edelsbrunner, Guibas, 1989 .
  41. ↑ Fortune, Milenkovic, 1991 .
  42. ↑ Greene, Yao, 1986 .
  43. ↑ Milenkovic, 1989 .
  44. ↑ Aharoni et ai, 1999 .
  45. ↑ Agarwal, de Berg, Matousek, Schwarzkopf, 1998 .
  46. ↑ Chan, 1999 .
  47. ↑ Cole, Sharir, Yap, 1987 .
  48. ↑ Edelsbrunner, Welzl, 1986 .
  49. ↑ Agarwal, 1990 .
  50. ↑ Agarwal, Matousek, Sharir, 1998 .
  51. ↑ Edelsbrunner, Guibas, Sharir, 1990 .
  52. ↑ Cole, Salowe, Steiger, Szemerédi, 1989 .
  53. ↑ Erickson, 1997 .
  54. ↑ Bose et ai, 1996 .
  55. ↑ Eppstein, Hart, 1999 .
  56. ↑ Agarwal, Sharir, 2002 .
  57. ↑ Shor, 1991 .
  58. ↑ Schäfer, 2010 .
  59. ↑ Ageev, 1996 .
  60. ↑ de Fraysseix, Ossona de Mendez, 2003 .
  61. ↑ Vaihtoehtoinen määritelmä Shorille (1991 ) - pseudoliini on kuva tasaisen homeomorfismin linjasta .

Kirjallisuus

Linkit