Meander (matematiikka)

Käänteinen tai suljettu mutka on suljettu mutka ilman itseleikkauksia, joka leikkaa suoran useita kertoja. Intuitiivisesti mutka voidaan ajatella joen ylittävänä tienä, jossa on siltoja useissa paikoissa.

Meander

Kun tasossa R 2 on suunnattu viiva L , kertaluvun n meander on suljettu käyrä ilman itseleikkauksia R 2 : ssa, joka ylittää linjan 2n pisteessä jonkin positiivisen n :n kohdalla . Suora ja kaarre muodostavat yhdessä mutkajärjestelmän . Kahden meanderin sanotaan olevan ekvivalentti, jos on olemassa koko tason homeomorfismi , joka kuvaa L :n itseensä ja yhden meanderin toiseen.

Esimerkki

Kerran 1 mutka ylittää linjan kahdesti:

Muokkaa numeroita

Eri luokkaa n olevien meanderien lukumäärää kutsutaan meanderluvuksi M n . Ensimmäiset viisitoista meander-numeroa (sekvenssi A005315 OEIS : ssä ).

M1 = 1_ _ M2 = 2_ _ M3 = 8 _ M4 = 42 _ M5 = 262 M6 = 1828 M7 = 13820 M8 = 110954 M9 = 933458 M10 = 8152860 M11 = 73424650 M12 = 678390116 M13 = 6405031050 M14 = 61606881612 M 15 = 602188541928

Meander-permutaatiot

Järjestyksen n meander-permutaatio on annettu joukossa {1, 2, …, 2 n } ja se määritellään meander-järjestelmässä seuraavasti:

Oikeanpuoleisessa kaaviossa 4:n asteen meander-permutaatio on annettu permutaatiolla (1 8 5 4 3 6 7 2). Tämä on permutaatio , joka on kirjoitettu syklisellä merkinnällä , eikä sitä pidä sekoittaa lineaariseen merkintään.

Jos π on meander-permutaatio, niin π 2 koostuu kahdesta syklistä , joista toinen sisältää kaikki parilliset ja toinen kaikki parittomat. Permutaatioita, joilla on tällaisia ​​ominaisuuksia, kutsutaan vuorotteleviksi permutaatioiksi (ei pidä sekoittaa vuorottelevaan nousevassa-laskevassa merkityksessä ). Kaikki lomitetut permutaatiot eivät kuitenkaan ole mutkaisia, koska joidenkin permutaatioiden käyriä ei voida piirtää ilman itseleikkauksia. Esimerkiksi 3. asteen vuorotteleva permutaatio (1 4 3 6 5 2) ei ole meander.

Avaa meander

Kun on annettu kiinteä suunnattu viiva L tasossa R2 , kertaluvun n avoin meander on suunnattu ei-itseleikkaava käyrä R2: ssa , joka leikkaa suoran n pisteessä jollakin positiivisella kokonaisluvulla n . Kahden avoimen meanderin sanotaan olevan ekvivalentti, jos ne ovat tasossa homeomorfisia .

Esimerkkejä

Järjestyksen 1 avoin mutka ylittää linjan kerran:

Järjestyksen 2 avoin mutka ylittää linjan kahdesti:

Avaa meander-luvut

Erilaisten kertaluvun n avoimien mutkien lukumäärää kutsutaan avoimen meanderin luvuksi m n . Ensimmäiset viisitoista avointa meander-numeroa (sekvenssi A005316 OEIS : ssä ).

m1 = 1_ _ m2 = 1 _ m 3 = 2 m4 = 3 _ m5 = 8 _ m6 = 14 _ m7 = 42 _ m8 = 81 _ m9 = 262 m10 = 538 m11 = 1828 m 12 = 3926 m 13 = 13820 m14 = 30694 m15 = 110954

Half meander

Kun on annettu suunnattu säde R tasossa R 2 , puolikas meander kertalukua n — on disjunktikäyrä R 2 : ssa, joka leikkaa säteen n pisteessä jonkin positiivisen n :n kohdalla . Kahden halfmendran sanotaan olevan samanarvoisia, jos ne ovat homeomorfisia lentokoneessa.

Esimerkkejä

Puolikas mutka järjestyksessä kaksi leikkaa säteen kahdesti:

Half meander numerot

Erilaisten n-kertaisten semi-meander-lukujen lukumäärää kutsutaan semi -meander-luvuksi M n (yleensä ilmaistaan ​​alleviivauksella alleviivauksen sijaan). Ensimmäiset viisitoista semi-meander-numeroa (sekvenssi A000682 OEIS : ssä ).

M1 = 1_ _ M2 = 1_ _ M3 = 2 _ M4 = 4 _ M5 = 10_ _ M6 = 24 _ M7 = 66 _ M8 = 174_ _ M9 = 504 M10 = 1406 M11 = 4210 M12 = 12198 M 13 = 37378 M14 = 111278 M15 = 346846

Käänteisten lukujen ominaisuudet

On injektio meander-luvuista avoimiin mutkilukuihin:

M n = m 2 n −1

Mikä tahansa mutkaluku voidaan rajoittaa puolikkaiksi mutkalukuiksi:

M n ≤ M n ≤ M 2 n

Jos n > 1 mutkaluku on parillinen:

Mn ≡ 0 (mod 2)

Muistiinpanot

Kirjallisuus

Linkit