Jordanin lause

Jordanin teoreema on klassinen topologian lause, joka tunnetaan muotoilun yksinkertaisuudesta ja todisteiden äärimmäisestä monimutkaisuudesta.

Sanamuoto

Yksinkertainen (eli ilman itseleikkauksia) tasainen suljettu käyrä jakaa tason kahdeksi yhdistetyksi komponentiksi ja on niiden yhteinen raja. [yksi] $\gamma$ $\mathbb R^2$

Muistiinpanot

Kahdesta yhdistetystä komponentista toinen (sisäosa ) on rajoitettu; jolle on tunnusomaista, että aste suhteessa mihin tahansa pisteeseen on yhtä suuri kuin ; toinen (ulkopuolinen ) on rajoittamaton, ja minkä tahansa pisteen aste on nolla. Schoenfliesin lauseen mukaan edellinen on aina homeomorfinen levylle. [yksi] $B$ $\gamma$ $\gamma$ $B$ $\pm 1$ $S$ $\gamma$ $\gamma$ $S$

Historia

Lauseen muotoili ja todisti Camille Jordan vuonna 1887 .

Usein väitetään, että Jordanin todisteet eivät olleet täysin tyhjentäviä, ja ensimmäisen täydellisen todisteen antoi Oswald Veblen vuonna 1905 . [2] Thomas Hales kuitenkin kirjoittaa, että Jordanin todistus ei sisällä virheitä, ja ainoa mahdollinen väite tätä todistusta vastaan on se, että Jordan olettaa lauseen väitteen olevan tiedossa, jos suljettu käyrä on monikulmio. [3]

Tietoja todisteista

Jordanin lauseesta tunnetaan useita yksinkertaisia todisteita.

Lyhyen ja alkeellisen todisteen Jordanin lauseesta ehdotti Aleksei Fedorovitš Filippov vuonna 1950, kun taas Filippov itse huomauttaa, että hänestä riippumatta hyvin samanlaista todistusta ehdotti Aizik Isaakovich Volpert [4] .
Doyle antaa hyvin lyhyen todisteen perusryhmää käyttäen. [5]

Muunnelmia ja yleistyksiä

Jordanin lause on yleistetty dimensiossa:

Mikä tahansa -ulotteinen osamonisto , joka on homeomorfinen pallolle , jakaa tilan kahdeksi yhdistetyksi komponentiksi ja on niiden yhteinen raja.

(n-1)

\mathbb {R} ^{n}

Tämän osoitti Lebesgue ja yleisessä tapauksessa Brouwer , minkä vuoksi -ulotteista Jordanin lausetta kutsutaan joskus Jordan-Brauer-lauseeksi. [yksi]

n = 3

n

Lisäksi mikä tahansa kompakti yhdistetty -ulotteinen osajako jakaa tilan kahdeksi yhdistetyksi komponentiksi ja on niiden yhteinen raja. Todistus saadaan soveltamalla Aleksanterin kaksinaisuutta . $(n-1)$ $\mathbb {R} ^{n}$

Schoenfliesin lause sanoo, että on olemassa tason homeomorfismi itsessään, joka kuvaa tietyn Jordanin käyrän ympyräksi.
- Erityisesti Jordanin lauseen rajoitettu komponentti on homeomorfinen yksikkölevylle ja rajoittamaton komponentti on homeomorfinen yksikkölevyn ulkopinnalle.
- Villi pallo -esimerkki osoittaa, että samanlainen väite ei pidä paikkaansa korkeammissa ulottuvuuksissa.

Katso myös

Jordanin käyrä
Vadan järvet ovat patologinen esimerkki, joka osoittaa Jordanin lauseen ei-triviaalisuuden.

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 I. M. Vinogradov. Jordanin lause // Matemaattinen tietosanakirja. - M.: Neuvostoliiton tietosanakirja . - 1977-1985. (Venäjän kieli)
↑ Katso esimerkiksi R. Courant, G. Robbins. Mitä on matematiikka? - M.: MTSNMO, 2010, - S. 270-271.
↑ Hales, Thomas. Jordanin todiste Jordanin käyrän lauseesta // Logiikkaa, kielioppia ja retoriikkaa koskevat tutkimukset. - 2007. - Voi. 10 , ei. 23 . - s. 45-60 .
↑ A.F. Filippov . Jordan-lauseen perustodistus // Uspekhi Mat . - 1950. - V. 5 , nro 5 (39) . - S. 173-176 . Arkistoitu alkuperäisestä 24. joulukuuta 2013.
↑ P.H. Doyle. Lentokoneen erottelu. Proc. Cambridge Philos. soc. 64 (1968), s. 291.

Kirjallisuus

Anosov DV Ympyräkartoitukset, vektorikentät ja niiden sovellukset. - M .: Kustantaja MTSNMO, 2003.
Filippov AF Jordanin lauseen perustodistus. - UMN 5:5(39) (1950), 173-176.
Jordan C. Cours d'analyse, t. I, P., 1893.
Vallee Poussin. Infinitesimaalien analyysikurssi. - per. ranskasta, osa 2, L.-M., 1933.
Alexandrov P.S. Kombinatorinen topologia. - M.-L., 1947.
Dieudonne J. Modernin analyysin perusteet. - per. englannista, M .: 1964.
Boltyansky V.G. , Efremovich V.A. Visuaalinen topologia. - M .: Nauka, 1982. - 160 s.
Prasolov V.V. Jordanin lause. — Matematiikka. koulutus, huhti-syyskuu 1999, 95-101.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Britannica (verkossa)