Coxeterin numero

Coxeterin luku on äärellisen redusoitumattoman Coxeter-ryhmän ominaisuus . Siinä tapauksessa , että Coxeter - ryhmä on yksinkertaisen Lie - algebran Weyl - ryhmä , puhutaan algebran Coxeterin numerosta . $\mathfrak g$ $\mathfrak g$

Konsepti on nimetty Harold Coxeterin mukaan .

Määritelmä

Tälle numerolle on olemassa useita vastaavia määritelmiä.

Coxeterin luku on yhtä suuri kuin juurten lukumäärä jaettuna arvolla. Vastaavasti Coxeterin luku on kaksi kertaa Coxeter-ryhmän heijastusten lukumäärä jaettuna arvolla. Jos ryhmä on rakennettu yksinkertaiselle Lie-algebralle, niin tämän algebran ulottuvuus on n ( h + 1), missä n on arvo ja h on Coxeterin luku.
Coxeter-elementti (joskus Killing-Coxeter-elementti ) on kaikkien yksinkertaisten heijastusten tulos (jota ei pidä sekoittaa pisimmän Coxeter-ryhmän elementtiin). Coxeter-numero on Coxeter-elementin järjestys .
Jos on yksinkertaisten juurien suurimman juuren laajennus, niin Coxeterin luku on . $\theta=\sum m_i \alpha_i$ $1+\sum m_i$
- Vastaavasti, jos on elementti sellainen, että , Sitten . $\rho^\vee$ $\langle\rho^\vee,\alpha_i\rangle=1$ $h=\langle\rho^\vee,\theta\rangle+1$
Coxeterin luku on Coxeter-ryhmän perusinvarianttien potenssien suurin.

Arvotaulukko

Coxeter-ryhmä ja Schläfli-symboli		Earl of Coxeter	Dynkinin kaavio	Coxeterin numero $h$	Coxeterin kaksoiskappale $h^\vee$	Perusinvarianttien asteet
A n	[3,3...,3]	...	...	n + 1	n + 1	2, 3, 4, ..., n + 1
B n	[4,3...,3]	...	...	2n _	2n - 1	2, 4, 6, ..., 2n
C n	[4,3...,3]	...	...	2n _	n + 1	2, 4, 6, ..., 2n
D n	[3,3,..3 1,1 ]	...	...	2n - 2	2n - 2	n_ _ 2, 4, 6, ..., 2n − 2
E 6	[3 2,2,1 ]			12	12	2, 5, 6, 8, 9, 12
E 7	[3 3,2,1 ]			kahdeksantoista	kahdeksantoista	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E 8	[3 4,2,1 ]			kolmekymmentä	kolmekymmentä	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F4_ _	[3,4,3]			12	9	2, 6, 8, 12
G2_ _	[6]			6	neljä	2, 6
H3_ _	[5,3]		-	kymmenen		2, 6, 10
H4 _	[5,3,3]		-	kolmekymmentä		2, 12, 20, 30
I 2 ( p )	[p]		-	s		2, s

Muunnelmia ja yleistyksiä

Dual Coxeter numero

Tapauksessa, jossa Coxeter-ryhmä on yksinkertaisen Lie-algebran Weil-ryhmä , voidaan ottaa käyttöön kaksois- (kaksois) Coxeterin luku . Tällainen käsitys näyttää olleen ensimmäisen kerran Springerin ja Steinbergin vuoden 1970 artikkelissa [1] , ja se esiintyy usein esitysteoriassa . Voit määrittää tämän numeron jollakin seuraavista tavoista. $\mathfrak{g}$ $h^\vee$

Jos on puoli-summa positiivisia juuria, ja on korkein juuri, sitten . $\rho$ $\theta$ $h^\vee=\langle \rho , \theta\rangle+1$
Jos on vanhin lyhyt juuri jaettu yksinkertaisiksi juuriksi, niin . $\theta_m=\sum m_i \alpha_i$ $h^\vee=\sum m_i+1$
Kaksinkertainen Coxeterin kaksoisluku on yhtä suuri kuin kahden Lie-algebran invariantin symmetrisen bilineaarisen muodon suhde : Killing-muoto ja muoto, jossa korkeimman juuren pituus on 2. $\mathfrak{g}$
Yllä olevan taulukon mukaan.

Lie-algebroissa, joissa on yksinkertaiset kytkennät, Coxeter-luku ja kaksois-Coxeter-luku ovat samat. Coxeterin kaksoislukua ei pidä sekoittaa Lie-kaksoisalgebran Coxeterin numeroon.

Affiinille Lie-algebralle tasoarvoa , joka on yhtä suuri , kutsutaan kriittiseksi, ja tälle arvolle universaalilla vaippaalgebralla on suuri keskus. $\widehat{\mathfrak{g))$ $-h^\vee$

Muistiinpanot

↑ Mikä rooli "kaksois Coxeter-luvulla" on valheteoriassa - Mathoverflow

Linkit

N. Bourbaki, Matematiikan elementit, Lie-ryhmät ja algebrat, luvut IV-VI, M.: Mir, 1972.
J. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge University Press, 1990.
Etingof, Pavel I.; Frenkel, Igor; Kirillov, Alexander A. (1998), Lectures on Representation Theory and Knizhnik–Zamolodchikov Equations, Mathematical Surveys and Monographs 58, American Mathematical Society, ISBN 0821804960