Universaali verhoilualgebra

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 8.3.2020 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Universaali vaippaalgebra on assosiatiivinen algebra , joka voidaan rakentaa mille tahansa Lie-algebralle , joka ottaa käyttöön monia alkuperäisen algebran tärkeitä ominaisuuksia, mikä mahdollistaa laajempien työkalujen soveltamisen alkuperäisen algebran tutkimiseen.

Rakennus

Kentän assosiatiivisella algebralla on luonnollinen rakenne kuin Lie-algebralla seuraavalla Lie-suljella : eli assosiatiivisesta tulosta voidaan rakentaa Lie-hakasulke ottamalla yksinkertaisesti kommutaattori . Merkitsemme tätä Lie-algebraa . $A$ $K$ $K$ $[a,b] = ab - ba$ $A_L$

Universaalin vaippaalgebran rakentaminen yrittää kääntää tämän prosessin päinvastaiseksi: tietylle Lie-algebralle over , löytyy "yleisin" assosiatiivinen -algebra siten, että Lie-algebra sisältää . Tärkeä rajoitus on esitysteorian säilyttäminen: esitykset liittyvät täsmälleen samalla tavalla kuin moduulit yli . Tyypillisessä kontekstissa, jossa elementit annetaan infinitesimaalisilla muunnoksilla , toimivat kaikkien kertalukujen differentiaalioperaattoreina . $\mathfrak{g}$ $K$ $K$ $U(\mathfrak{g})$ $U_L$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$

Motivaatio

Tärkeä aihe algebroiden tutkimuksessa ja luultavasti tärkein tapa, jolla ne esiintyvät sovelluksissa, on Lie-algebran esitys . Esitys määrittää kullekin Lie-algebran elementille x lineaarisen operaattorin . Tämä lineaarioperaattoreiden avaruus ei ole vain Lie-algebra, vaan myös assosiatiivinen algebra, joten on mahdollista tarkastella tuotteita . Universaalin vaippaalgebran käyttöönoton ydin on tällaisten tulojen tutkiminen Lie-algebran eri esityksissä. Yksi este naiivissa yrityksissä tehdä tämä on heti ilmeinen: tuotteiden ominaisuudet riippuvat pohjimmiltaan valitusta esityksestä, eivät vain itse Lie-algebrasta. Esimerkiksi yhdelle esitykselle voit saada , kun taas toisessa esityksessä tämä tuote voi olla nollasta poikkeava. Tietyt ominaisuudet ovat kuitenkin universaaleja kaikille näkymille, eli ne pätevät kaikille näkymille samanaikaisesti. Universaali käärintäalgebra on tapa kattaa kaikki tällaiset ominaisuudet ja vain ne. $\rho$ $\rho(x)$ $\rho(x)\rho(y)$ $\rho(x)\rho(y)=0$

Yleinen ominaisuus

Antaa olla mielivaltainen Lie-algebra kentän päällä . Annettu assosiatiivinen algebra , jossa on Lie-algebroiden identiteetti ja homomorfismi $\mathfrak{g}$ $K$ $U$

h\colon \mathfrak{g} \to U_L,

sanomme, että se on Lie -algebran universaali verhoava algebra , jos se täyttää seuraavan universaalin ominaisuuden : mille tahansa assosiatiiviselle algebralle , jolla on Lie-algebran identiteetti ja homomorfismi $U$ $\mathfrak{g}$ $A$

f\colon \mathfrak{g} \to A_L

assosiatiivisilla algebroilla on ainutlaatuinen homomorfismi identiteetin kanssa

g\kaksoispiste U\–A

sellasta

f = gh.

Tämä universaali ominaisuus voidaan ymmärtää myös seuraavasti: Funktorikuvaus universaaliin vaippaalgebraan jätetään konjugaatiksi funtoriin, joka kuvaa assosiatiivisen algebran vastaavaan Lie-algebraan . $\mathfrak{g}$ $A$ $A_L$

Suora rakentaminen

Tästä universaalista ominaisuudesta voimme päätellä, että jos Lie-algebralla on universaali vaippaalgebra, niin tämä vaippaalgebra määrittää yksilöllisesti algebran isomorfismiin asti. Seuraavan konstruktion avulla, joka ehdottaa itseään yleisistä näkökohdista (esimerkiksi osana adjoint-funktionaaliparia ), todetaan, että itse asiassa jokaisella Lie-algebralla on välttämättä universaali vaippaalgebra. $\mathfrak{g}$

Aloittaen tensorialgebrasta algebran vektoriavaruudessa , saamme tekijöiden jakamisen suhteilla $T(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ $T(\mathfrak{g})$

a \otimes b - b \otimes a = [a,b]

mille tahansa ja in , jossa lausekkeen oikealla puolella olevat hakasulkeet tarkoittavat kommutaattoria in . $a$ $b$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$

Muodollisesti tämä tarkoittaa sitä

U(\mathfrak{g}) = T(\mathfrak{g})/I

jossa on muodon elementtien generoima algebran kaksipuolinen ideaali $minä$ $T(\mathfrak{g})$

a\otimes b - b \otimes a - [a,b], \quad a,b \in \mathfrak{g}.

Luonnollinen kartoitus määrittelee kartoituksen , ja juuri tätä Lie-algebroiden homomorfismia käytetään yllä olevassa universaalissa ominaisuudessa. $\mathfrak{g} \to T(\mathfrak{g})$ $h\colon \mathfrak{g} \to U_L$

Kuvattu rakenne siirtyy lähes sanatarkasti Lie superalgebroiden tapaukseen .

Esimerkkejä

Jos se on Abelin (eli kommutaattori on aina 0), niin se on kommutatiivinen; jos valitaan vektoriavaruuskanta , sitä voidaan pitää polynomialgebrana , jossa on yksi muuttuja jokaiselle kantaelementille . $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ $K$

Jos on Lie- ryhmän Lie-algebra , sitä voidaan pitää vasemmanpuoleisten invarianttien differentiaalioperaattoreiden (kaikkien kertalukujen) algebrana , joka sisältää ensimmäisen kertaluvun differentiaalioperaattoreita (jotka ovat keskinäisessä vastaavuudessa vasemman invarianttien vektorikenttien kanssa päällä ). $\mathfrak{g}$ $G$ $U(\mathfrak{g})$ $G$ $\mathfrak{g}$ $G$

Algebran keskusta on merkitty ja se koostuu differentiaalioperaattoreista, jotka ovat invariantteja sekä ryhmän vasemman että oikean toiminnan alla; ei-kommutatiivisuuden tapauksessa keskustaa eivät usein generoi ensimmäisen kertaluvun operaattorit (esimerkiksi puoliyksinkertaisen Lie-algebran Casimir-operaattori ). $U(\mathfrak{g})$ $Z(\mathfrak{g})$ $G$

Sitä voidaan myös luonnehtia yleistettyjen funktioiden algebraksi , jota tuetaan ryhmän identiteettielementillä konvoluutiooperaatiolla . $U(\mathfrak{g})$ $e$ $G$

Polynomikertoimien muuttujien differentiaalioperaattoreiden Weyl-algebra voidaan saada Heisenberg-ryhmän Lie-algebrasta alkaen . Tätä varten se on tarpeen kertoa niin, että annetun Lie-algebran keskeiset elementit toimivat skalaareina. $n$

Tarkempi kuvaus rakenteesta

Poincaré - Birkhoff - Wittin peruslause antaa tarkan kuvauksen ; tärkein seuraus siitä on, että sitä voidaan pitää lineaarisena aliavaruutena . Tarkemmin sanottuna: kanoninen kartoitus on aina injektiivinen . Lisäksi se generoidaan assosiatiivisena algebrana identiteetin kanssa. $U(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ $h\colon \mathfrak{g} \to U(\mathfrak{g})$ $U(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$

$\mathfrak{g}$ vaikuttaa itseensä Lie-algebran adjoint-esityksen avulla , ja tämä toiminta voidaan laajentaa esitykseen endomorfismeissa : toimii kuin johdannaisten algebra , ja tämä toiminta säilyttää määrätyt suhteet, joten se itse asiassa toimii . (Tämä on puhtaasti äärettömän pieni tapa tarkastella yllä olevia invariantteja differentiaalioperaattoreita.) $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$ $T(\mathfrak{g})$ $U(\mathfrak{g})$

Tässä esityksessä elementtejä , jotka ovat invariantteja toiminnan alla (eli minkä tahansa elementin toiminta niihin on triviaali), kutsutaan muuttumattomiksi elementeiksi . Ne syntyvät Casimir-invarianteista . $U(\mathfrak{g})$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$

Kuten edellä mainittiin, universaalien vaippaalgebroiden rakentaminen on osa adjoint-funktionaaliparia. on funktionaali Lie-algebroiden kategoriasta identiteetin assosiatiivisten -algebroiden kategoriaan. Tämä funktori jätetään funktorikuvauksen algebraan viereen . On huomattava, että universaalin vaippaalgebran rakentaminen ei ole täsmälleen käänteinen muotoon : jos aloitamme assosiatiivisesta algebrasta , se ei ole yhtä suuri kuin ; se on paljon suurempi. $U$ $K$ $K$ $A$ $A_L$ $A_L$ $A$ $U(A_L)$ $A$

Aiemmin mainittua tietoa esitysteoriasta voidaan tarkentaa seuraavasti: Kaikkien esitysten Abelin luokka on isomorfinen kaikkien vasen moduulien Abelin luokan kanssa . $\mathfrak{g}$ $U(\mathfrak{g})$

Ryhmäalgebran rakentaminen tietylle ryhmälle on monella tapaa analoginen yleisen vaippaalgebran rakentamisen kanssa tietylle Lie-algebralle. Molemmat rakenteet ovat universaaleja ja siirtävät esitysteorian moduuliteoriaan. Lisäksi sekä ryhmäalgebroilla että yleisillä vaippaalgebroilla on luonnollinen monimutkainen rakenne , joka muuttaa ne Hopf-algebroiksi .

Kirjallisuus

Dixmier, Jacques. Vaippaalgebrat. Vuoden 1977 käännöksen tarkistettu uusintapainos. . - Providence, RI: American Mathematical Society, 1996. - V. 11. - 379 s. — (matematiikan jatko-opinnot). — ISBN 0-8218-0560-6 .
Serre J.-P. Lie-algebrat ja lie-ryhmät. - Moskova: Mir, 1969. - 376 s. - ISBN 978-5-458-50774-5 .
Zhelobenko D. P. Compact Lie -ryhmät ja niiden esitykset. - 2. painos, lisäys. - Moskova: MTSNMO, 2007. - 552 s. — ISBN 978-5-94057-302-9 .