Kaksoispolyhedron

Monitahoinen duaali (tai duaali) tietylle polyhedronille  on monitahoinen , jossa alkuperäisen monitahoisen kukin pinta vastaa duaalin kärkeä ja alkuperäisen polyhedronin kukin huippu vastaa duaalin pintaa. Alkuperäisen ja kaksoispolyhedronin reunojen lukumäärä on sama. Monitahoinen duaali duaaliin on homoteettinen alkuperäisen kanssa.

Rakennus

Yksinkertaisin tapa rakentaa kaksoispolytooppi on seuraava:

• Vertices : ovat alkuperäisen polyhedronin pintojen keskellä.
• Reunat : Piikkien väliin piirretään reuna, jos vastaavilla pinnoilla on yhteinen reuna.

Rakennus Dorman Luke

Tasaisten polytooppien osalta kaksoispolytoopin pinnat löytyvät alkuperäisen polytoopin kärkikuviosta Dorman Luken konstruktia käyttäen . Tämän konstruktion kuvasivat alun perin Cundy ja Rollett (1961), ja myöhemmin Wenninger (1983) yleisti.

Otetaan esimerkkinä kuutio -oktaedrin huippukuvio (punainen) , jota käytetään (sinisen) rombisen dodekaedrin pinnan saamiseksi .

Ennen rakentamisen aloittamista saadaan kärkiluku ABCD leikkaamalla jokainen viereinen reuna keskeltä.

Dorman Luken rakentaminen etenee seuraavasti:

1. Piirrä kärkikuvio ABCD
2. Piirrä rajattu ympyrä (kulkee jokaisen kulman A , B , C ja D läpi ).
3. Piirretään rajatun ympyrän tangentit kulmiin A , B , C , D .
4. Merkitään vierekkäisten pisteiden E , F , G , H tangenttien leikkauspisteet .
5. Monikulmio EFGH on kaksoispolytoopin pinta.

Tässä esimerkissä kärkikuvion koko valitaan siten, että sen rajattu ympyrä on kuutioktaedrin puolikirjoitetulla pallolla (pallo koskettaa kaikkia reunoja), josta tulee myös sen kaksoisrombisen puolimerkitty pallo. dodekaedri.

Dorman Luken konstruktiota voidaan käyttää vain, kun polyhedrissä on tällainen puolikirjoitettu pallo ja huippukuvio on syklinen, ts. yhtenäiselle polyhedralle .

Self-dual polyhedra

Topologisesti itseduaaliset polytoopit ovat sellaisia, joiden duaaleilla on täsmälleen sama suhde kärkien, reunojen ja pintojen välillä. Abstraktisti nämä ovat monitahoja, joilla on identtiset Hasse-kaaviot .

Geometrisesti itseduaalinen polytooppi ei ole vain topologisesti itseduaali, vaan polytoopin polaarinen muunnos johonkin pisteeseen, yleensä sen keskipisteeseen, on yhteneväinen kuvio. Esimerkiksi säännöllisen tetraedrin kaksoispolyedri on toinen säännöllinen tetraedri ( keskisymmetrinen tetraedrin keskustan suhteen).

Mikä tahansa monikulmio on topologisesti itseduaali (sillä on sama määrä pisteitä ja reunoja, ja ne vaihtavat paikkoja kaksinaisuuden seurauksena), mutta yleensä ne eivät ole geometrisesti itseduaalisia (jos sitä pidetään jäykänä kappaleena). Säännölliset monikulmiot ovat geometrisesti kaksoiskappaleita – kaikki kulmat ovat yhtä suuret, samoin kuin reunat.

Kuperan polyhedronin hyväksytyin geometrinen esitys on kanonisessa muodossa oleva esitys, jolloin sen kaikkien reunojen on koskettava tiettyä palloa, jonka keskipiste on sama kuin tangenttipisteiden painopiste. Jos tällainen luku on itseduaali, polaarinen muunnos on sen kanssa yhdenmukainen.

Geometrisesti itsenäisiä monitahoja on äärettömän monta. Yksinkertaisin ääretön perhe on pyramidit , joissa on n sivua kanonisessa muodossa. Toinen ääretön perhe, pitkänomaiset pyramidit , koostuu monitahoisista pyramideista, joita voidaan ajatella prismojen huipuilla (sama määrä sivuja) istuvina pyramideina. Lisää katkaistu pyramidi prisman pohjalle ja sinulla on toinen ääretön perhe.

On olemassa monia muita kupera itsekaksoispolyhedra. Esimerkiksi on 6 erilaista polyhedraa, joissa on 7 kärkeä ja 16, joissa on 8 pistettä [1]

Löytyy myös ei-kupera itsekaksoispolyhedra, kuten lovettu dodekaedri

Katso myös

• Puolisäännöllinen monitahoinen
• Polyhedron

Muistiinpanot

1. ↑ Kanonisten itsekaksoispolyhedrien symmetria Arkistoitu 5. lokakuuta 2013 Wayback Machinessa  - 3D Java -mallit perustuvat Brinkmannin ja McKayn nopeaan tasograafien sukupolveen [1] Arkistoitu 1. maaliskuuta 2014 Wayback Machinessa