Logaritmien historia

Logaritmien historia algebrallisena käsitteenä voidaan jäljittää muinaisiin ajoiin. Ideologinen lähde ja sysäys logaritmien käyttöön oli se ( Arkhimedesen [1] tiedossa ) se, että kun voimat kerrotaan samalla kantalla, niiden indikaattorit laskevat yhteen [2] : .

Edeltäjät

Intialainen 8. vuosisadan matemaatikko Virasena , joka tutki tehoriippuvuuksia, julkaisi taulukon kokonaislukueksponenteista (eli itse asiassa logaritmeista) kantalle 2, 3, 4 [3] .

Ratkaiseva askel otettiin keskiaikaisessa Euroopassa. Monimutkaisten laskelmien tarve kasvoi nopeasti 1500-luvulla , ja suuri osa vaikeuksista liittyi moninumeroisten lukujen kerto- ja jakolaskuihin sekä juurien poimimiseen . Vuosisadan lopulla useat matemaatikot keksivät lähes samanaikaisesti ajatuksen: korvata aikaa vievä kertolasku yksinkertaisella yhteenlaskolla vertaamalla geometrista ja aritmeettista progressiota erikoistaulukoiden avulla, jolloin geometrinen tulee alkuperäiseksi. [1] . Sitten jako korvataan automaattisesti mittaamattoman yksinkertaisemmalla ja luotettavammalla vähennyslaskolla, ja myös eksponentio ja juurien erotus yksinkertaistuvat .

Ensimmäinen, joka julkaisi tämän ajatuksen kirjassaan " Arithmetica integra " (1544) , oli Michael Stiefel , joka ei kuitenkaan tehnyt vakavia ponnisteluja ideansa käytännön toteuttamiseksi [4] [5] . Stiefelin tärkein ansio on siirtyminen kokonaislukueksponenteista mielivaltaisiin rationaalisiin eksponenteihin [6] (ensimmäiset askeleet tähän suuntaan ottivat Nikolay Orem 1300-luvulla ja Nicola Schücke 1400-luvulla).

John Napier ja hänen "hämmästyttävä logaritmitaulukko"

Vuonna 1614 skotlantilainen amatöörimatemaatikko John Napier julkaisi latinaksi teoksen nimeltä Kuvaus hämmästyttävästä logaritmien taulukosta ( latinaksi:  Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). Siinä oli lyhyt kuvaus logaritmeista ja niiden ominaisuuksista sekä 8-numeroiset taulukot sinien , kosinien ja tangenttien logaritmeista 1' askeleella. Napierin ehdottama termi logaritmi on vakiinnuttanut asemansa tieteessä.

Napier selitti työnsä tarkoituksen [7] seuraavasti:

Koska matemaattisen taiteen harjoittamisessa, hyvät matemaatikot, ei ole mitään tylsempää kuin ne valtavat viiveet, joita joutuu kestämään pitkien rutiinitoimintojen aikana - kertominen ja jako, suhdelukujen etsiminen ja neliö- ja kuutiojuurien poimiminen - ja lukuisat virheet joka voi hiipiä mukaan - sitten pohdin sitkeästi, millä luotettavalla ja nopealla taiteella voisin ratkaista nämä vaikeudet. Lopulta pitkän pohdinnan jälkeen löysin hämmästyttävän tavan lyhentää näitä vaiheita... On miellyttävä tehtävä esitellä tämä menetelmä matemaatikoille yleiseen käyttöön.

Napier hahmotteli logaritmitaulukoiden laskentateoriaa toisessa kirjassaan " Hämmästyttävän logaritmien taulukon rakentaminen " ( lat.  Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), jonka hänen poikansa Robert julkaisi postuumisti vuonna 1619.

Asiakirjojen perusteella Napier hallitsi logaritmitekniikan vuoteen 1594 mennessä [8] . Sen kehittämisen välitön tarkoitus oli helpottaa Napierin monimutkaisia ​​astrologisia laskelmia [9] ; siksi taulukoihin sisällytettiin vain trigonometristen funktioiden logaritmit .

Funktion käsitettä ei vielä ollut olemassa, ja Napier määritteli logaritmin kinemaattisesti vertaamalla tasaista ja logaritmisesti hidasta liikettä; esimerkiksi hän määritteli sinin logaritmin seuraavasti [10] :

Tietyn sinin logaritmi on luku, joka aina kasvoi aritmeettisesti samalla nopeudella kuin täysisini alkoi pienentyä geometrisesti.

Nykyaikaisessa merkinnässä Napierin kinemaattinen malli voidaan esittää differentiaaliyhtälöllä [11] :

,

missä M on skaalaustekijä, joka on otettu käyttöön, jotta arvo osoittautuisi kokonaisluvuksi, jossa on tarvittava määrä numeroita ( desimaalimurtolukuja ei silloin vielä käytetty laajalti). Napier otti M = 10 000 000.

Tarkkaan ottaen Napier taulukoi väärän funktion, jota nyt kutsutaan logaritmiksi. Jos merkitsemme sen funktiota , niin se liittyy luonnolliseen logaritmiin seuraavasti [11] :

Ilmeisesti eli "täysinin" logaritmi (vastaa 90 °) on nolla - tämän Napier saavutti määritelmällään. Hän halusi myös kaikkien logaritmien olevan positiivisia; on helppo varmistaa, että tämä ehto täyttyy. .

Napier-logaritmin pääominaisuus: jos suureet muodostavat geometrisen progression , niin niiden logaritmit muodostavat aritmeettisen progression . Ei-peer-funktion logaritmin säännöt erosivat kuitenkin nykyaikaisen logaritmin säännöistä, esimerkiksi:

Jatkokehitys

Kuten pian kävi ilmi, algoritmivirheen vuoksi kaikki Napier-taulukon arvot sisälsivät vääriä numeroita kuudennen numeron jälkeen [12] . Tämä ei kuitenkaan estänyt uutta laskentamenetelmää saamasta laajaa suosiota, ja monet eurooppalaiset matemaatikot ryhtyivät laatimaan logaritmisia taulukoita. Kepler lisäsi innostuneen omistuksen Napierille vuonna 1620 julkaisemaansa tähtitieteelliseen hakukirjaan (ei tiennyt, että logaritmien keksijä oli jo kuollut). Vuonna 1624 Kepler julkaisi oman versionsa logaritmisista taulukoista ( lat.  Chilias Logarithmorum ad totidem numeros rotundos ) [13] . Logaritmien käyttö mahdollisti Keplerin useiden vuosien Rudolphian Tables -työn päätökseen suhteellisen nopeasti , mikä vahvisti heliosentrisen tähtitieteen menestystä .

Muutama vuosi Napierin kirjan jälkeen ilmestyi logaritmiset taulukot, joissa käytettiin nykyaikaisempaa logaritmin ymmärrystä. Lontoon professori Henry Briggs julkaisi 14-numeroisia desimaalilogaritmien taulukoita (1617), eikä trigonometrisille funktioille, vaan mielivaltaisille kokonaisluvuille 1000 asti (7 vuotta myöhemmin Briggs lisäsi lukujen määrän 20 000:een). Vuonna 1619 Lontoon matematiikan opettaja John Spidell julkaisi uudelleen  Napierin logaritmiset taulukot korjaten ja täydennettyinä niin, että niistä tuli itse asiassa luonnollisten logaritmien taulukoita. Spidellillä oli myös itse lukujen logaritmit 1000 asti (lisäksi ykseyden logaritmi, kuten Briggs, oli yhtä suuri kuin nolla) - vaikka Spidell säilyttikin skaalan kokonaislukuihin [14] [15] .

Edmund Wingate ja William Oughtred keksivät 1620-luvulla ensimmäisen diasäännön , joka toimi välttämättömänä laskentatyökaluna insinöörille taskulaskimien tuloon asti [16] . Tällä kompaktilla työkalulla voit suorittaa nopeasti kaikki algebralliset operaatiot, mukaan lukien ne, jotka sisältävät trigonometrisiä funktioita [17] . Laskelmien tarkkuus on noin 3 merkitsevää numeroa.

Pian kävi selväksi, että logaritmien paikka matematiikassa ei rajoitu laskennallisiin mukavuuksiin. Vuonna 1629 belgialainen matemaatikko Gregoire de Saint-Vincent osoitti, että hyperbolin alla oleva pinta-ala vaihtelee logaritmisen lain mukaan [18] . Vuonna 1668 saksalainen matemaatikko Nicholas Mercator (Kaufmann) löysi ja julkaisi kirjassaan Logarithmotechnia logaritmin laajentamisen äärettömäksi " Mercator-sarjaksi " [19] . Monien historioitsijoiden mukaan logaritmien tulo vaikutti voimakkaasti moniin matemaattisiin käsitteisiin, mukaan lukien:

  1. Irrationaalisten ja transsendenttisten lukujen yleisen käsitteen muodostuminen ja tunnistaminen [20] .
  2. Eksponentiaalisen funktion syntyminen ja numeerisen funktion yleinen käsite , Euler-luku , eroyhtälöiden teorian kehitys [21] .
  3. Infinite-sarjan käytön aloittaminen [19] .
  4. Yleisiä menetelmiä erilaisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi .
  5. Tarkkojen logaritmien taulukoiden laskemiseen tarvittavien numeeristen menetelmien teorian merkittävä kehitys .

1800-luvun loppuun asti logaritmilla ei ollut yleisesti hyväksyttyä nimitystä, kanta a merkittiin joko vasemmalle ja lokisymbolin yläpuolelle , sitten sen yläpuolelle. Lopulta matemaatikot tulivat siihen tulokseen, että sopivin paikka pohjalle on rivin alapuolella, lokin : symbolin jälkeen . Lyhyet nimitykset yleisimmistä logaritmityypeistä - desimaali- ja luonnollisille - ilmestyivät useilta kirjoittajilta heti paljon aikaisemmin ja ne korjattiin lopulta myös 1800-luvun loppuun mennessä [22] .

Lähellä nykyaikaista ymmärrystä logaritmista - operaationa, joka on käänteinen potenssiin nostamiseen - ilmestyi ensimmäisen kerran teoksissa Wallis (1685) ja Johann Bernoulli (1694), ja lopulta Euler legitimoi sen [12] . Kirjassa "Johdatus äärettömän analyysiin" ( 1748 ) Euler antoi nykyaikaiset määritelmät sekä eksponentiaalisille että logaritmisille funktioille, laajensi ne potenssisarjoiksi ja pani erityisesti merkille luonnollisen logaritmin roolin [23] . Eulerilla on myös se etu, että se laajentaa logaritmisen funktion monimutkaiseen alueeseen .

Logaritmiset taulukot

Logaritmin ominaisuuksista seuraa, että moniarvoisten lukujen aikaa vievän kertolaskujen sijaan riittää, että etsit (taulukoiden mukaan) ja lisäät niiden logaritmit ja suoritat sitten potentioinnin samojen taulukoiden avulla (osio " Antilogaritmit " ) eli etsi tuloksen arvo sen logaritmin avulla. Jakaminen eroaa vain siinä, että logaritmit vähennetään.

Ensimmäiset logaritmitaulukot julkaisi John Napier (1614), ja ne sisälsivät vain trigonometristen funktioiden logaritmit ja niissä oli virheitä. Hänestä riippumatta Keplerin ystävä Jost Bürgi julkaisi taulukonsa ( 1620 ). Vuonna 1617 Oxfordin matematiikan professori Henry Briggs julkaisi taulukoita, jotka sisälsivät jo itse numeroiden desimaalilogaritmit 1:stä 1000:een 8 (myöhemmin 14) numerolla. Mutta myös Briggsin taulukoissa oli virheitä. Ensimmäinen Georg Vegan ( 1783 ) taulukoihin perustuva erehtymätön painos ilmestyi vasta vuonna 1857 Berliinissä ( Bremikerin taulukot ) [24] .

Venäjällä ensimmäiset logaritmitaulukot julkaistiin vuonna 1703 L. F. Magnitskyn osallistuessa [25] . Neuvostoliitossa julkaistiin useita logaritmitaulukoiden kokoelmia [26] :

  1. Bradis V. M. Neliarvoiset matemaattiset taulukot. M.: Bustard, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0 . Vuodesta 1921 julkaistuja Bradis-taulukoita käytettiin oppilaitoksissa ja teknisissä laskelmissa, jotka eivät vaadi suurta tarkkuutta. Ne sisälsivät numeroiden ja trigonometristen funktioiden desimaalilogaritmien mantissoja , luonnollisia logaritmeja ja joitain muita hyödyllisiä laskentatyökaluja.
  2. Vega G. Seitsennumeroisten logaritmien taulukot, 4. painos, M.: Nedra, 1971. Ammattimainen kokoelma tarkkoja laskelmia varten.
  3. Bremiker K. Logaritmis-trigonometriset taulukot. M.: Nauka, 1962. 664 s. Klassiset kuusinumeroiset taulukot, jotka sopivat laskelmiin trigonometrisilla funktioilla .
  4. Viisinumeroiset trigonometristen suureiden luonnollisten arvojen taulukot, niiden logaritmit ja lukujen logaritmit, 6. painos, M .: Nauka, 1972.
  5. Luonnonlogaritmien taulukot, 2. painos, 2 osaa, Moskova: Nauka, 1971.
  6. Kymmennumeroiset kompleksilukujen logaritmitaulukot. M., 1952.

Logaritmin laajentaminen kompleksiseen verkkoalueeseen

Ensimmäiset yritykset laajentaa logaritmia kompleksilukuihin tehtiin 1600-1700-luvun vaihteessa Leibnizin ja Johann Bernoullin toimesta , mutta he eivät onnistuneet luomaan kokonaisvaltaista teoriaa ennen kaikkea siitä syystä, että logaritmin käsite ei ollut vielä selkeä. määritelty [27] . Keskustelu tästä asiasta käytiin ensin Leibnizin ja Bernoullin välillä ja 1700-luvun puolivälissä d'Alembertin ja Eulerin välillä. Bernoulli ja D'Alembert uskoivat, että pitäisi määritellä , kun taas Leibniz väitti, että negatiivisen luvun logaritmi on imaginaariluku [27] . Negatiivisten ja kompleksilukujen logaritmien täydellisen teorian julkaisi Euler vuosina 1747-1751, eikä se pohjimmiltaan eroa nykyisestä [28] . Vaikka kiista jatkui (d'Alembert puolusti näkemystään ja perusteli sitä yksityiskohtaisesti artikkelissa Encyclopediassa ja muissa teoksissa), Eulerin lähestymistapa 1700-luvun loppuun mennessä sai yleismaailmallisen tunnustuksen.

1800-luvulla monimutkaisen analyysin kehittyessä monimutkaisen logaritmin tutkiminen stimuloi uusia löytöjä. Gauss kehitti vuonna 1811 täydellisen teorian logaritmisen funktion [29] moniarvoisuudesta , joka määritellään funktion integraaliksi . Riemann rakensi yleisen teorian Riemannin pinnoista tukeutuen jo tunnettuihin faktoihin tästä ja vastaavista toiminnoista .

Konformisten kartoitusten teorian kehitys osoitti, että Mercator-projektio kartografiassa , joka syntyi jo ennen logaritmien löytämistä (1550), voidaan kuvata kompleksiseksi logaritmiksi [30] .

Kirjallisuus

Muistiinpanot

  1. ↑ 1 2 Uspensky Ya. V. Essee logaritmien historiasta, 1923 , s. 9.
  2. ↑ Klein F. Alkeismatematiikka korkeammasta näkökulmasta, 1987 , s. 206.
  3. ↑ Gupta, RC (2000), History of Mathematics in India , Hoiberg, Dale & Ramchandani, Students' Britannica India: Select essays , New Delhi: Popular Prakashan, s. 329 Arkistoitu 17. maaliskuuta 2018 Wayback Machinessa 
  4. ↑ Matematiikan historia, osa II, 1970 , s. 54-55.
  5. ↑ Vivian Shaw Groza, Susanne M. Shelley (1972), Precalculus mathematics , New York: Holt, Rinehart, Winston, s. 182, ISBN 978-0-03-077670-0 , < https://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logathm&q=stifel > 
  6. ↑ Klein F. Alkeismatematiikka korkeammasta näkökulmasta, 1987 , s. 210.
  7. ↑ Stewart, Ian . Professori Stewartin uskomattomat numerot = Professori Stewartin uskomattomat numerot. - M . : Alpina tietokirjallisuus, 2016. - S. 244. - 422 s. - ISBN 978-5-91671-530-9 .
  8. ↑ Uspensky Ya. V. Essee logaritmien historiasta, 1923 , s. 13.
  9. ↑ Matematiikan historia, osa II, 1970 , s. 56.
  10. ↑ Lukija matematiikan historiasta. Matemaattinen analyysi. Todennäköisyysteoria / Toim. A. P. Juskevitš . - M . : Koulutus, 1977. - S. 40. - 224 s.
  11. ↑ 1 2 Matematiikan historia, II osa, 1970 , s. 59.
  12. ↑ 1 2 Matematiikan historia, II osa, 1970 , s. 61.
  13. ↑ Uspensky Ya. V. Essee logaritmien historiasta, 1923 , s. 39.
  14. ↑ Matematiikan historia, osa II, 1970 , s. 63.
  15. ↑ Charles Hutton. Matemaattiset taulukot. Arkistoitu 11. syyskuuta 2016 Wayback Machinessa London, 1811, s. kolmekymmentä.
  16. ↑ Matematiikan historia, osa II, 1970 , s. 65-66.
  17. ↑ Berezin S.I. Laskennan liukusääntö. - M . : Mashinostroenie, 1968.
  18. ↑ Matematiikan historia, osa II, 1970 , s. 133.
  19. ↑ 1 2 Uspensky Ya. V. Essee logaritmien historiasta, 1923 , s. 52.
  20. ↑ Klein F. Alkeismatematiikka korkeammasta näkökulmasta, 1987 , s. 51, 286, 352.
  21. ↑ Klein F. Alkeismatematiikka korkeammasta näkökulmasta, 1987 , s. 213, 217.
  22. ↑ Florian Cajori . A History of Mathematics, 5. painos  (määrätön) . - AMS Bookstore, 1991. - S. 152. - ISBN 0821821024 .
  23. ↑ Rybnikov K. A. Matematiikan historia. Kahdessa osassa. - M .: Toim. Moskovan valtionyliopisto, 1963. - T. II. - S. 25.
  24. ↑ Matematiikan historia, osa II, 1970 , s. 62.
  25. ↑ Gnedenko B. V. Esseitä Venäjän matematiikan historiasta, 2. painos. - M. : KomKniga, 2005. - S. 66. - 296 s. - ISBN 5-484-00123-4 .
  26. ↑ Logaritmiset taulukot // Suuri Neuvostoliiton Encyclopedia.
  27. ↑ 1 2 Matematiikan historia, osa III, 1972 , s. 325-328.
  28. ↑ Rybnikov K. A. Matematiikan historia. Kahdessa osassa. - M .: Toim. Moskovan valtionyliopisto, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231.
  29. ↑ 1800-luvun matematiikka. Osa II: Geometria. Analyyttisten funktioiden teoria, 1981 , s. 122-123.
  30. ↑ Klein F. Perusmatematiikka korkeammasta näkökulmasta . - M . : Nauka, 1987. - T. II. Geometria. - S. 159-161. — 416 s.
 Matematiikan historia
Maat ja aikakaudet
Temaattiset
osat
Katso myös