Erojärjestelmä

Erotuskaavio on johonkin differentiaaliongelmaan liittyvä äärellinen algebrallinen yhtälöjärjestelmä, joka sisältää differentiaaliyhtälön ja lisäehdot (esimerkiksi reunaehdot ja/tai alkujakauma ). Differentiaalikaavioita käytetään siis pelkistämään differentiaaliongelma, jolla on jatkuvuus, äärelliseksi yhtälöjärjestelmäksi, jonka numeerinen ratkaisu on pohjimmiltaan mahdollista tietokoneilla. Differentiaaliyhtälöön liittyvät algebralliset yhtälöt saadaan käyttämällä differentiaalimenetelmää , joka erottaa differentiaalikaavioiden teorian muista numeerisista menetelmistädifferentiaaliongelmien ratkaiseminen (esim. projektiomenetelmät, kuten Galerkin-menetelmä ).

Differentiaalikaavion ratkaisua kutsutaan differentiaalitehtävän likimääräiseksi ratkaisuksi.

Vaikka muodollinen määritelmä ei aseta merkittäviä rajoituksia algebrallisten yhtälöiden muotoon, on käytännössä järkevää tarkastella vain niitä kaavioita, jotka jollakin tavalla vastaavat differentiaaliongelmaa. Erotuskaavioiden teorian tärkeitä käsitteitä ovat konvergenssin, approksimoinnin, stabiilisuuden ja konservatismin käsitteet.

Erokaavioiden ominaisuudet

Otetaan käyttöön seuraava merkintä:

u(t)

on differentiaaliyhtälön tarkka ratkaisu.

u_{h}(t)

- erotuskaavion tarkka ratkaisu

{\tilde {u}}_{h}(t)

- erotuskaavion numeerinen ratkaisu (pyöristyksen kanssa)

Sitten tehtävällä on seuraavat ominaisuudet:

\|u(t+\Delta t)-u(t)\|

- vastuussa tehtävän ehdosta (conditioning) (Ehdollisuuden analogi difuureille on stabiliteetti dynaamisten järjestelmien merkityksessä, Lyapunov-stabiilisuutta käytetään usein )

ja numeerisella ratkaisulla on seuraavat ominaisuudet:

\|u_{h}(t)-u(t)\|

- vastaa ongelman likiarvosta erotuskaaviolla ( johdonmukaisuus , de:Konsistenz_(Numerik) )

\|{\tilde {u}}_{h}(t)-u_{h}(t)\|

- vastaa erokaavion stabiilisuudesta numeerisessa ratkaisussa (stabiilisuus)

\|{\tilde {u}}_{h}(t)-u(t)\|

- vastaa numeerisen ratkaisun konvergenssista (tarkkaan ratkaisuun) (konvergenssi)

Arviointi

Sanotaan, että alueella määritellyille funktioille määritetty differentiaalioperaattori approksimoidaan tietylle funktioluokalle äärellisellä erotusoperaattorilla , joka on määritelty ruudukossa määritellyille funktioille riippuen askeleesta, jos konvergenssiehto täyttyy. $L(u)$ $u$ $D\alajoukko {\mathbb {R}}^{N}$ $olet U:ssa$ $R_{h}(u_{h})$ $u_{h}$ $h$

||L(u)-R_{h}(u_{h})||\to 0,\ \ h\to 0\ \ \ (\kaikki u\in U).

Approksimaation sanotaan olevan tarkkuusluokkaa, jos $k$

||L(u)-R_{h}(u_{h})||\leq h^{k}M,\ \ h\to 0\ \ \ (\kaikki u\in U),

missä on vakio, joka riippuu tietystä funktiosta , mutta ei riipu askeleesta . Yllä käytetty normi voi olla erilainen, ja approksimoinnin käsite riippuu sen valinnasta. Usein käytetään yhtenäisen jatkuvuuden normin erillistä analogia : $M$ $olet U:ssa$ $h$

||u_{h}||=\max _{{n}}|u_{h}(x_{n})|,

joskus käytetään integraalinormien diskreettejä analogeja [1] [2] .

Esimerkki . Operaattorin likiarvo äärellisen erooperaattorin avulla $L(u)=u_{{xx}}$

R_{h}(u_{h})(x_{i})={\frac {u_{i+1}-2u_{i}+u_{i-1}}{h^{2}} },\quad u_{i}=u(x_{i}),\quad x_{i+1}=x_{i}+h,

rajoitetulla aikavälillä on toista kertaluokkaa tasaisten funktioiden luokassa . $D\alajoukko {\mathbb {R}}$ $U=C^{4}(D)$

Todiste

Käyttämällä Taylorin kaavaa

u_{n \pm 1} = u_n \pm h u_x(x_n) + \frac{h^2}{2} u_{xx}(x_n) \pm \frac{h^3}{3!} u_{xxx }(x_n) + \frac{h^4}{4!} u_{xxxx}(x_n+\xi_{\pm}), \quad \xi_{\pm} \in (0, \pm h),

tuloksena arvio:

{\bigl |}u_{{xx}}(x_{n})-R_{h}(u_{h})(x_{n}){\bigr |}={\frac {1}{h^{ 2}}}\,{\bigl |}u_{{n+1}}-2u_{{n}}+u_{{n-1}}-h^{2}u_{{xx}}(x_{ n}){\bigr |}={\frac {h^{2}}{4!}}\,{\Bigl |}u_{{xxxx}}(x_{n}+\xi _{{+} })+u_{{xxxx}}(x_{n}+\xi _{{-}}){\Bigr |}\leq {\frac {h^{2}}{4!}}\,C,

missä on vakio

C=2\sup \limits _{{x\in D}}|u_{{xxxx}}(x)|<\infty .

Äärillinen erotehtävä approkimoi differentiaaliongelmaa, ja approksimaatiolla on tarkkuusluokkaa, jos sekä itse differentiaaliyhtälö että raja- (ja alku-) ehdot on approksimoitu vastaavilla äärelliserooperaattoreilla tarkkuusasteella, joka ei ole pienempi kuin . $k$ $k$

Esimerkki . Lämpöyhtälön likiarvo (osittaiserotuskaavio) äärellisellä differentiaaliyhtälöllä , jossa $u_{{t}}-u_{{xx}}=0$ $R_{h}(u_{h})=0$

R_{h}(u_{h})(t_{m},x_{n})={\frac {u_{n}^{{m+1}}-u_{n}^{{m}}} {\Delta t))-{\frac {u_{{n+1}}^{m}-2u_{{n}}^{m}+u_{{n-1}}^{m}}{h ^{2}}},

u_{j}^{i}=u(t_{i},x_{j}),\quad t_{{i+1}}=t_{{i}}+\Delta t,\quad x_{{j +1}}=x_{{j}}+h,\quad \Delta t=\sigma h^{2},\quad \sigma =const>0,

on toisen kertaluvun tarkkuus koordinaateissa ja ensimmäisen kertaluokan tarkkuus ajassa -smooth-funktioiden luokassa. $C^{4}$

Kestävyys

Approksimaatioehdot eivät riitä siihen, että erotuskaavion tulos lähestyy tarkkaa vastausta arvolle h→0 . Piireissä, joiden kertoimet eivät riipu differentiaaliyhtälön ratkaisusta, stabiilisuusehdon on täytyttävä. Tällaisia piirejä voidaan esittää jonkinlaisena lineaarisena operaattorina , joka muuntaa funktioarvot hetkellä t funktioarvoiksi hetkellä t+h . Stabiilisuusehto edellyttää, että tämän operaattorin ominaisarvot ( yleensä kompleksit ) eivät ylitä moduulia 1+ch , missä c>0 on jokin vakio , kuten h→0 . Jos tämä ehto ei täyty, piirivirheet kasvavat nopeasti ja tulos on sitä huonompi mitä pienempi askel.

Lähentyminen

Numeerisen ratkaisun konvergenssi ymmärretään sen konvergenssina täsmälliseen ratkaisuun ruudukon asteen h pienentyessä.

\lim _{h\to 0+}\|{\tilde {y}}_{h}(t)-y(t_{n})\|=0.

(ruudukkonormin merkityksessä)

Jos sekä approksimaatioehto että stabiilisuusehto täyttyvät, erotuskaavion tulos konvergoi differentiaaliyhtälön ratkaisuun ( Filippov-Ryaben'kii -lause ). [1] [3] Ulkomaisessa kirjallisuudessa tätä lausetta kutsutaan " Lax-ekvivalenssilauseeksi (en) ".

Courantin kunto

Courant-ehto tai Courant-Friedrichs-Levy-kriteeri (CFL) — häiriöiden etenemisnopeus erotusongelmassa ei saa olla pienempi kuin differentiaalissa. Jos tämä ehto ei täyty, erotuskaavion tulos ei ehkä pyri ratkaisemaan differentiaaliyhtälöä. Toisin sanoen, yhdessä aikavaiheessa hiukkasen ei pitäisi "kulkua" useamman kuin yhden solun läpi.

Niiden piirien tapauksessa, joiden kertoimet eivät riipu differentiaaliyhtälön ratkaisusta, Courant-ehto seuraa stabiilisuudesta.

Hyperbolisissa yhtälöjärjestelmissä tämä ehto saa usein muodon

$\tau \leq \min \left({\frac {h}{|\lambda |_{{max}}}}\oikea)$

( on aika-askel, on spatiaalinen ruudukon askel, on suurin modulo-ominaisarvo pisteessä. Minimi otetaan ruudukon kaikkiin pisteisiin.) $\tau$ $h$ $|\lambda |_{{max}}$

Järjestelmien luokitus

Selkeät skeemat

Eksplisiittiset piirit laskevat ruudukkofunktion arvon naapuripistetiedoista. Esimerkki eksplisiittisestä differentiointikaavasta: (2. kertaluku approksimaatiota varten). Selkeät suunnitelmat ovat usein epävakaita. $f'(x)={\frac {f(x+h)-f(xh)}{2t))$

Godunovin lauseen mukaan siirtoyhtälön lineaaristen erokaavioiden joukossa, joiden approksimaatioaste on suurempi kuin ensimmäinen, ei ole monotonisia.

Implisiittiset skeemat

Implisiittisissä kaavioissa käytetään yhtälöitä, jotka ilmaisevat tiedot useiden vierekkäisten tulospisteiden muodossa. Tuloksen löytämiseksi ratkaistaan lineaarinen yhtälöjärjestelmä. Esimerkki implisiittisestä kaaviosta merkkijonoyhtälölle: . Implisiittiset skeemat ovat yleensä vakaita. $f(x,t+h)-2f(x,t)+f(x,th)=f(x+h,t+h)-2f(x,t+h)+f(xh,t+h) )$

Puoli-implisiittiset mallit

Joissakin vaiheissa käytetään eksplisiittistä järjestelmää, toisissa implisiittistä (pääsääntöisesti nämä vaiheet vuorottelevat).
Esimerkki - Crank-Nicholson-kaavio, kun päätös tehdään eksplisiittisten ja implisiittisten päätösmenetelmien keskiarvona tarkkuuden parantamiseksi

Kompaktipiirit

Kompakteissa kaavioissa käytetään yhtälöitä, jotka yhdistävät useiden vierekkäisten pisteiden tulosarvot useiden vierekkäisten pisteiden dataarvoihin. Tämä mahdollistaa approksimaatiojärjestyksen kasvattamisen. Esimerkki kompaktista differentiointikaavasta: (4. kertaluku approksimaatiota). ${\frac {1}{6}}f'(xh)+{\frac {2}{3}}f'(x)+{\frac {1}{6}}f'(x+h)= {\frac {f(x+h)-f(xh)}{2t))$

Konservatiiviset mallit

Kun erotuskaavio tyydyttää samat integraalisuhteet (esimerkiksi energian säilyminen, entropia) kuin alkuperäinen differentiaaliyhtälö, puhutaan konservatiivisuuden ominaisuudesta. Konservatiiviset järjestelmät esitetään yleensä poikkeavassa muodossa.

Esimerkkejä konservatiivisista hydrodynamiikan kaavioista ovat Samarskin kaavio , Belotserkovskyn menetelmä suurille hiukkasille .

Kaaviot offset-ruudukoille

Näissä ruudukkomalleissa, joissa tulos asetetaan ja tiedot siirretään toisistaan. Esimerkiksi tulospisteet ovat datapisteiden keskellä. Joissakin tapauksissa tämä mahdollistaa yksinkertaisempien rajaehtojen käytön.

Katso myös

Linkit

"Erotuskaaviot" - Wikikirjojen luku "Hyperbolisten yhtälöiden erotuskaaviot"
Demyanov A. Yu., Chizhikov D. V. Implisittinen hybridi monotonierotuskaavio toisen kertaluvun tarkkuudella
Ryaben'kiy V. S. , Filippov A. F. Erotusyhtälöiden stabiilisuudesta. - M .: Gostekhizdat, 1956.
Godunov S. K. , Ryaben'kiy V. S. Johdatus erotusjärjestelmien teoriaan. - M .: Fizmatgiz, 1962.
Babenko K. I. Numeerisen analyysin perusteet. - M .: Nauka, 1986.
Berezin I. S. , Zhidkov N. P. Laskennalliset menetelmät, - Mikä tahansa painos.
Bakhvalov N. S. , Zhidkov N. P., Kobelkov G. M. Numeeriset menetelmät, - Mikä tahansa painos.
Marchuk GI Metody vychislitel'noi matematiki [Laskennallisen matematiikan menetelmät]. - M .: Nauka, 1977.
Shishkin GI Grid approksimaatiot singulaarisesti häiriintyneille elliptisille ja parabolisille yhtälöille. - Jekaterinburg: Venäjän tiedeakatemian Uralin haara, 1992. - ISBN 5-7691-0159-8 .

Muistiinpanot

↑ 1 2 Ryaben'kii V. S., Filippov A. F. Erotusyhtälöiden stabiilisuudesta. M., Gostekhizdat, 1956.
↑ Godunov S.K., Ryabenky V.S. Johdatus erotuskaavioiden teoriaan. Moskova: Fizmatgiz, 1962.
↑ Babenko K.I. Numeerisen analyysin perusteet. M.: Tiede. 1986.

Äärillisen eron menetelmä
Yleiset artikkelit	Äärillisen eron menetelmä erojärjestelmä erotusyhtälö
Erotusjärjestelmien tyypit	Eulerin menetelmä Runge-Kutta -menetelmä Adamsin menetelmä Werlet-integraatio Aika-alueen rajallisen eron menetelmä