Sturmer-Werlet -menetelmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 5. toukokuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Sturmer-Werlet- menetelmä on numeerinen menetelmä Cauchyn ongelman ratkaisemiseksi differentiaaliyhtälöille . Käytetään usein lain mukaan liikkuvan materiaalipisteen liikeradan löytämiseen : hiukkasten liikeradan laskemiseen molekyylidynamiikkamalleissa ja tietokonepeleissä. Werlet-menetelmä on vakaampi kuin yksinkertaisempi Euler-menetelmä , ja samalla sillä on muita ominaisuuksia, joita tarvitaan fyysisten prosessien reaaliaikaiseen simulointiin. ${\ddot {{\vec {x}}}}={\vec {a}}({\vec {x}}),t)$

Historia ja otsikot

Isaac Newton käytti sitä [1] Principian ensimmäisessä kirjassa todistaakseen Keplerin toisen lain .

Nimetty ranskalaisen fyysikon Lou Werlen mukaan, joka käytti menetelmää molekyylidynamiikan mallintamiseen, ja norjalaisen astrofyysikon Carl Störmerin mukaan .

Menetelmää (ja sen vastineita) kutsutaan eri tavalla laajuuden mukaan [1] [2] :

Sturmerin menetelmä , Encken menetelmä - tähtitiedessä;
Werlet-menetelmä - molekyylidynamiikassa;
sammakkomenetelmä ( eng. leapfrog ) - osittaisdifferentiaaliyhtälöiden alalla .

Perusalgoritmi

Verlet-algoritmia käytetään laskemaan pisteen seuraava sijainti nykyisestä ja menneisyydestä ilman nopeutta. Kaava saadaan seuraavasti. Taylor -sarjan pisteen sijaintivektorin laajennus aikapisteissä ja kirjoitetaan : ${\vec {x}}(t)$ ${\näyttötyyli (t+\Delta t)}$ ${\näyttötyyli (t-\Delta t)}$

{\vec {x}}(t+\Delta t)={\vec {x}}(t)+{\vec {v}}(t)\Delta t+{\frac {{\vec {a }}(t)\Delta t^{2}}{2}}+{\frac {{\vec {b}}(t)\Delta t^{3}}{6}}+O(\Delta t ^{4}),

{\vec {x}}(t-\Delta t)={\vec {x}}(t)-{\vec {v}}(t)\Delta t+{\frac {{\vec { a}}(t)\Delta t^{2}}{2}}-{\frac {{\vec {b}}(t)\Delta t^{3}}{6}}+O(\Delta t^{4}),

missä

{\vec {x}}

- pisteen koordinaatit,

\vec{v}

- nopeus,

{\vec {a}}

- kiihtyvyys,

{\vec {b}}

- nykiminen ( kiihtyvyyden johdannainen ajan suhteen).

Lisäämällä nämä 2 yhtälöä ja ilmaisemalla , saamme ${\vec {x}}(t+\Delta t)$

{\vec {x}}(t+\Delta t)=2{\vec {x}}(t)-{\vec {x}}(t-\Delta t)+{\vec {a} }(t)\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4}).

Näin ollen pisteen sädevektorin arvo voidaan laskea tietämättä nopeutta.

Ominaisuudet

Algoritmin pääominaisuus on kyky asettaa erilaisia rajoituksia pistejärjestelmälle. Voit esimerkiksi yhdistää osan niistä tietyn pituisilla kiinteillä sauvoilla. Tässä tapauksessa algoritmi toimii seuraavasti:

Kappaleiden uudet paikat lasketaan (katso yllä oleva kaava).
Jokaisen yhteyden kohdalla vastaava rajoitus täyttyy, eli pisteiden välinen etäisyys tehdään sellaisena kuin sen pitäisi olla.
Vaihe 2 toistetaan useita kertoja, jolloin kaikki ehdot täyttyvät (ehtojärjestelmä on sallittu).

Tämä menetelmä, huolimatta vaiheen 2 toistumisesta, on erittäin tehokas.

Ominaisuudet

Menetelmä on tyypillinen geometrisen numeerisen integroinnin menetelmä ja sillä on seuraavat ominaisuudet [2] [3] :

kuuluu yksivaiheisten yleisten lineaaristen menetelmien luokkaan;
on 2. kertaluokan tarkkuus;
on symmetrinen (itseliittyvä) integraattori;
on symplektinen integraattori;
säilyttää vaihetilavuuden useille järjestelmille;
säilyttää järjestelmien lineaariset ensimmäiset integraalit .

Voidaan pitää seuraavasti:

Nyströmin 2. kertaluvun menetelmä;
Eulerin symplektisen menetelmän kokoonpano sen adjungin kanssa;
jakomenetelmä muotoisille järjestelmille ; ${\piste {\vec {q}}}=f({\vec {p}}),\ {\piste {\vec {p}}}=g({\vec {q}}))$
split Runge-Kutta Butcher taulukoiden määrittämille ${\piste {\vec {q}}}=f({\vec {q}},{\vec {p}}),\ {\piste {\vec {p}}}=g({ \vec {q)),{\vec {p)))$ 0 0 0 yksi yksi / 2 yksi / 2 yksi / 2 yksi / 2 yksi / 2 yksi / 2 0 yksi / 2 yksi / 2 0 yksi / 2 yksi / 2 {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}\qquad {\begin{array}{c| cc}1/2&1/2&0\\1/2&1/2&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}} ${\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}\qquad {\begin{array}{c| cc}1/2&1/2&0\\1/2&1/2&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}$

Sovellus

Menetelmä saavutti suosion tietokonepelien kehittäjien keskuudessa vuonna 2000, kun Hitman: Codename 47 -peli julkaistiin .

Muistiinpanot

↑ 1 2 Ernst Hairer, Christian Lubich, Gerhard Wanner. Geometrinen numeerinen integrointi Störmer–Verlet-menetelmällä // Acta Numerica. – 2003-5. — Voi. 12 . — s. 399–450 . — ISSN 1474-0508 0962-4929, 1474-0508 . - doi : 10.1017/S0962492902000144 .
↑ 1 2 Ernst Hairer, Christian Lubich, Gerhard Wanner. Geometrinen numeerinen integrointi . - Berlin/Heidelberg: Springer-Verlag, 2006. - (Springer-sarja laskennallisessa matematiikassa). — ISBN 9783540306634 .
↑ Sergio Blanes, Fernando Casas. Lyhyt johdatus geometriseen numeeriseen integrointiin . – Chapman ja Hall/CRC, 6.6.2016. — (Matematiikan monografioita ja tutkimusmuistiinpanoja). — ISBN 9781482263428 , 9781482263442. Arkistoitu 3. kesäkuuta 2018 Wayback Machinessa

Linkit

Äärillisen eron menetelmä
Yleiset artikkelit	Äärillisen eron menetelmä erojärjestelmä erotusyhtälö
Erotusjärjestelmien tyypit	Eulerin menetelmä Runge-Kutta -menetelmä Adamsin menetelmä Werlet-integraatio Aika-alueen rajallisen eron menetelmä