Banach-Tarskin paradoksi

Banach-Tarskin paradoksi (kutsutaan myös pallon tuplausparadoksiksi ja Hausdorff-Banach-Tarskin paradoksiksi ) on joukkoteorian lause , joka väittää, että kolmiulotteinen pallo on yhtä suuri kuin sen kaksi kopiota.

Kahta euklidisen avaruuden osajoukkoa kutsutaan yhtäläisiksi koostuneiksi , jos yksi voidaan jakaa äärelliseen määrään (ei välttämättä yhdistetty ) pareittain leikkaamattomiin osiin, siirtää niitä ja muodostaa niistä toinen (väliasemassa osat voivat leikata, mutta alussa ja lopussa he eivät voi).

Tarkemmin sanottuna kaksi joukkoa ja ovat yhtäläisiä, jos ne voidaan esittää pareittain hajautettujen osajoukkojen äärellisenä liittona siten , että jokaiselle osajoukko on kongruentti .

On todistettu, että viisi osaa riittää tuplaamaan pallon, mutta neljä ei riitä.

Vahvempi versio paradoksista on myös totta :

Kolmiulotteisen euklidisen avaruuden mitkä tahansa kaksi rajoitettua osajoukkoa, jossa on ei-tyhjä sisäpuoli, koostuvat yhtäläisesti.

Koska tämän lauseen johtaminen saattaa tuntua epätodennäköiseltä, sitä käytetään joskus argumenttina valinnan aksiooman hyväksymistä vastaan , mikä on olennaista tällaisen osion rakentamisessa. Sopivan vaihtoehtoisen aksiooman ottaminen mahdollistaa määritellyn osion mahdottomuuden osoittamisen jättämättä tilaa tälle paradoksille.

Pallon tuplaaminen, vaikka se arkipäivän intuition näkökulmasta tuntuukin hyvin epäilyttävältä (todellakin on mahdotonta tehdä kahta yhdestä appelsiinista pelkällä veitsellä), se ei kuitenkaan ole paradoksi sen loogisessa mielessä. sana, koska se ei johda loogiseen ristiriitaan aivan kuten ns. parturi paradoksi tai Russellin paradoksi johtaa loogiseen ristiriitaan .

Historia

Paradoksin löysivät vuonna 1926 Stefan Banach ja Alfred Tarski . Hyvin samanlainen kuin aikaisempi Hausdorffin paradoksi , ja sen todiste perustuu samaan ajatukseen. Hausdorff osoitti, että tätä ei voitu tehdä kaksiulotteisella pallolla ja siten kolmiulotteisessa avaruudessa, ja Banach-Tarskin paradoksi on selkeä esimerkki tästä.

Muistiinpanot

Jakamalla pallon äärelliseen määrään osiin, odotamme intuitiivisesti, että yhdistämällä nämä osat yhteen saadaan vain kiinteitä hahmoja, joiden tilavuus on yhtä suuri kuin alkuperäisen pallon tilavuus. Tämä pätee kuitenkin vain siinä tapauksessa, että pallo on jaettu osiin, joilla on tilavuus.

Paradoksin ydin piilee siinä, että kolmiulotteisessa avaruudessa on ei-mitattavissa olevia joukkoja , joilla ei ole tilavuutta, jos tilavuudella tarkoitetaan jotain, jolla on additiivisuuden ominaisuus , ja oletetaan, että kahden kongruentin joukon tilavuudet osua yhteen.

On selvää, että Banach-Tarski-osion "palat" eivät ole mitattavissa (ja sellaisen osion toteuttaminen käytännössä on mahdotonta millään tavalla).

Tasaiselle ympyrälle samanlainen ominaisuus ei ole totta. Lisäksi Banach osoitti, että tasossa pinta-alan käsite voidaan laajentaa kaikkiin rajoitettuihin joukkoihin äärellisesti additiivisena mittana , muuttumattomana liikkeiden alla; erityisesti jokaisella joukolla, joka on yhtä kaukana ympyrästä, on sama pinta-ala.

Kuitenkin tasossa on mahdollista tehdä myös paradoksaalisia osioita: ympyrä voidaan jakaa äärelliseen määrään osia ja tehdä niistä samanpintainen neliö [1] [2] ( Tarskin ympyrän neliöinti ).

Muistiinpanot

  1. ↑ Miklos Laczkovich: "Equidecomposability and Discrepancy: a Solution Tarskin ympyrän neliöintiongelmaan", Crelle's Journal of Reine and Angewandte Mathematik 404 (1990) s. 77-117.
  2. ↑ Miklos Laczkovich: "Paradoksaaliset hajoamat: kysely viimeaikaisista tuloksista." First European Congress of Mathematics, Voi. II (Pariisi, 1992), s. 159-184, Progr. Math., 120, Birkh.user, Basel, 1994.

Kirjallisuus