Hausdorffin lause

Hausdorffin teoreema (tai paradoksi ) on joukkoteoriassa todistettu väite kaksiulotteisen pallon laskettavan osajoukon olemassaolosta , jonka komplementti voidaan esittää kolmen epäsuhtaisen joukon liittona ja joka on yhteneväinen keskenään ja settiä . Julkaisi ensimmäisen kerran [1] vuonna 1914 Felix Hausdorffin toimesta . Tämä teoreema (sekä paradoksi pallon tuplaamisesta sen ideoiden perusteella ) osoittaa ristiriidan tavallisen geometrisen käytännön joukkoteoreettisten esitysten välillä (varsinkin, että kaksi kopiota voidaan jakaa kuuteen osaan ja tehdä niistä kolme kopiota ). Tästä syystä sitä kutsutaan joskus "paradoksiksi". $T$ $S^{2}$ ${\bar S}^{2}=S^{2}\setminus T$ $A$ $B$ $C$ $B\cup C$ ${\bar S}^{2}$ ${\bar S}^{2}$

Lauseen todistuksessa hyödynnetään olennaisesti valinnan aksioomaa . Tämän aksiooman korvaaminen joillakin vaihtoehtoisilla antaa meille mahdollisuuden todistaa Hausdorffin lauseen negaatio (eli pallon vastaavan osion mahdottomuus).

Lauseesta seuraa, että kaksiulotteisella pallolla ei ole äärellisesti additiivista mittaa , joka on määritelty kaikille osajoukoille ja ottaa samat arvot kongruenttisille joukoille (eli invariantti pallon liikkeiden alla ).

Joskus "Hausdorffin paradoksi" ymmärretään tarkoittavan toista lausetta, joka on todistettu samassa artikkelissa kuin tarkasteltavana oleva. Tämä lause antaa esimerkin, joka on samanlainen kuin Vitali-joukko . Hän väittää, että yksittäinen segmentti voidaan jakaa laskettavaan määrään kappaleita ja pelkkien siirtymien avulla voidaan muodostaa kahden pituinen segmentti. Tämä osoittaa, että rivillä ei ole mittaa , joka on määritelty kaikille osajoukoille ja joka on muuttumaton siirtymien aikana. On kuitenkin mahdollista määritellä äärellisesti additiivinen mitta kaikille tason (sekä suoralle) rajatuille osajoukoille, jotta joukoilla, jotka koostuvat tasaisesti, on sama mitta.

Todistuksen idea

Tässä todistamme lauseen yksinkertaistetun version. Todistamme nimittäin pallon osion olemassaolon, jossa on laskettava pisteiden joukko, joka on lävistetty (kutsutaanko sitä ) kolmeen parittaiseen yhteneväiseen osaan ja sellainen, joka on yhteneväinen osajoukon kanssa . Kuten Hausdorffin lause, tämä väite osoittaa, että kaksiulotteisella pallolla on mahdotonta määritellä "aluetta", jonka arvo olisi olemassa mille tahansa osajoukolle ja pysyisi muuttumattomana liikkeiden aikana . ${\bar S}^{2}$ $A$ $B$ $C$ $B\cup C$ $A$

Todistus jakautuu kolmeen seuraavaan vaiheeseen:

Löydämme tietyn ryhmän , jossa on kaksi generaattoria , erikoisosion kolmeen osajoukkoon. $\Gamma$
Rakennamme tämän ryhmän ilmaisen isometrisen toiminnon . ${\bar S}^{2}$
Käytämme osiointia ja valinnan aksioomaa tuottaaksemme pallon halutun osioinnin. $\Gamma$

Vaihe 1

Tarkastellaan ryhmää , jossa on kaksi generaattoria ja ja -suhteet ja (toisin sanoen , jossa tarkoittaa ryhmien vapaata tuotetta ). Ryhmä koostuu tyhjästä sanasta, jota merkitsemme (tämä on ryhmämme yksikkö) ja kaikista äärellisistä sanoista, joissa on kolme merkkiä ja , niin että ja vuorottelevat kanssa . Siten kaikki elementit (paitsi yksi) voidaan esittää yksiselitteisesti joko tai tai tai . $\Gamma$ $a$ $b$ $a^{2}=1$ $b^{3}=1$ $\Gamma ={{\mathbb Z}}_{2}*{{\mathbb Z}}_{3}$ $*$ $\Gamma$ $yksi$ $b,\;b^{{-1}}$ $a$ $b$ $b^{{-1}}$ $a$ $ab^{{\pm 1}}ab^{{\pm 1}}\pisteet b^{{\pm 1}}a$ $b^{{\pm 1}}ab^{{\pm 1}}a\ldots b^{{\pm 1}}a$ $ab^{{\pm 1}}ab^{{\pm 1}}\ldots ab^{{\pm 1}}$ $b^{{\pm 1}}ab^{{\pm 1}}a\ldots ab^{{\pm 1}}$

Ryhmä voidaan jakaa seuraavasti: olkoon joukko kaikkia sanoja, jotka alkavat kirjaimella , tulee joukko kaikkia sanoja, jotka alkavat kirjaimella , ja siellä on joukko kaikkia muita elementtejä . Se on selvää $\Gamma$ ${{\mathbb A}}$ $b$ ${{\mathbb B}}$ $b^{{-1}}$ ${{\mathbb C}}$ $\Gamma$

\Gamma ={{\mathbb A}}\cup {{\mathbb B}}\cup {{\mathbb C)),

eli jaamme ryhmämme kolmeen ei-päällekkäiseen osajoukkoon. Myös $\Gamma$

{{\mathbb A}}=b{{\mathbb C}},

{{\mathbb B}}=b^{{-1}}{{\mathbb C}},

{{\mathbb A}}\kuppi {{\mathbb B}}\subset {{\mathbb A}}\kuppi {{\mathbb B}}\kuppi \{1,\;a\}=a{{\ mathbb C}}.

Vaihe 2

On helppo osoittaa, että on olemassa esitys pallon kiertojen avulla siten, että tuloksena oleva toiminta on vapaa koko pallolla, lukuun ottamatta laskettavaa määrää pisteitä. Pudotetaan tämä laskettava joukko pallosta ja kutsutaan loput . (Itse asiassa, jos otamme kaksi kiertoa pallon kulmilla ja yleisessä asennossa ja yhdistämme ne generaattoreihin ja , indusoitu toiminta täyttää tämän ehdon). $\Gamma$ ${\bar S}^{2}$ $\pi$ $2\pi /3$ $a$ $b$ $\Gamma$

Vaihe 3

Tarkastellaan joukkoa , joka sisältää yhden elementin jokaisesta radasta ( väite tämän joukon olemassaolosta perustuu valinnan aksioomaan ). Sitten "jaettu" pallomme esitetään seuraavien epäyhtenäisten joukkojen liittona: $X$ $\Gamma$ ${\bar S}^{2}$ ${\bar S}^{2}$

{\bar S}^{2}=A\kuppi B\kuppi C,

missä

A={{\mathbb A}}X,\;B={{\mathbb B}}X,\;C={{\mathbb C}}X.

Käyttämällä samaa tekniikkaa kuin vaiheessa 1, saamme:

A=bC,

B=b^{{-1}}C,

A\kuppi B\alajoukko aC,

ja koska ja ovat isometrioita, saamme, että , Ja ovat yhteneväisiä ja yhteneväisiä osajoukkoon . $a$ $b$ $A$ $B$ $C$ $A\kuppi B$ $C$

Kirjallisuus

↑ F. Hausdorff, Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen (downlink) (downlink alkaen 13-05-2013 [3454 päivää]) , Mathematische Annalen Arkistoitu 6. maaliskuuta 2005. , voi 75. (1914) s. 428-434.