Lebesguen mitta

Lebesgue-mitta on mitta , joka yleistää janan pituuden, kuvion alueen ja kappaleen tilavuuden käsitteet mielivaltaiseen euklidiseen avaruuteen . Muodollisemmin Lebesgue-mitta on Jordan-mitan laajennus laajempaan joukkojen luokkaan [ 1] . $\mathbb {R} ^{n}$ $n$

Erityisesti todellisen suoran janan Lebesgue-mitta on yhtä suuri kuin sen pituus, tasossa olevan monikulmion Lebesgue-mitta on yhtä suuri kuin sen pinta-ala.

Sen esitteli ranskalainen matemaatikko Henri Lebesgue vuonna 1902 väitöskirjassaan.

Rakentaminen suoralle viivalle

Ulkoinen mitta

Reaaliviivan mielivaltaiselle osajoukolle voidaan löytää mielivaltaisesti monta erilaista järjestelmää äärellisestä tai laskettavasta määrästä intervalleja, joiden liitto sisältää joukon . Kutsumme tällaisia järjestelmiä pinnoitteiksi . Koska minkä tahansa kannen muodostavien välien pituuksien summa on ei-negatiivinen arvo, se on rajoitettu alhaalta, ja siksi kaikkien kansien pituuksien joukolla on infimum . Näitä kasvoja vain sarjasta riippuen kutsutaan ulkomittaksi : $E$ $E$ $E$

m^{*}E=\inf \left\{\sum _{i}\Delta _{i}\right\}.

Vaihtoehdot ulkoisen toimenpiteen määrittämiseen:

m^{*}E=\varphi (E)=|E|^{*}.

Minkä tahansa intervallin ulkomitta osuu yhteen sen pituuden kanssa, mikä on seurausta Lebesguen suuren laskettavasta additiivisuudesta intervallien, segmenttien ja puolivälien puolittamisessa. Tarkemmin sanottuna tämä laskettava additio antaa , kun taas päinvastainen epäyhtälö on todellakin ilmeinen ja seuraa suoraan ulkomitan määritelmästä. Lisäksi voidaan antaa esimerkki algebran suuresta siten, että jonkin tämän algebran joukon ulkomitta on tiukasti pienempi kuin sen alkuperäinen mitta. $m(a,b)\leqslant m^{*}(a,b)$

Ulkomitan ominaisuudet

(monotoninen) $E_{1}\subseteq E_{2}\Rightarrow m^{*}E_{1}\leqslant m^{*}E_{2}.$
(laskettavissa oleva puolilisäys) $E=\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\Rightarrow m^{*}E\leqslant \sum _{k=1}^{\infty }m^{*} E_{k}.$
$\forall E,\ \varepsilon >0\ \exists G\supseteq E\colon m^{*}G\leqslant m^{*}E+\varepsilon$ , missä on avoin sarja . Todellakin, riittää, kun otetaan kattavuuden muodostavien välien summa , niin että . Tällaisen suojan olemassaolo seuraa alimman alarajan määritelmästä. $G$ $G$ $E$ $\textstyle \sum _{i}\Delta _{i}\leqslant m^{*}E+\varepsilon$

Sisäinen mitta

Jos joukko on rajoitettu, joukon sisämitta on erotus sisältävän segmentin pituuden ja komplementin ulkomitan välillä : $E$ $E$ $[a,\;b]$ $E$ $E$ $[a,\;b]$

m_*E=(ba)-m^*([a,\;b]\setminus E).

Rajoittamattomille joukoille määritetään kaikkien segmenttien pienimmäksi ylärajaksi . $m_*E$ $(ba)-m^*([a,\;b]\setminus E)$ $[a,\;b]$

Mitattavissa olevat joukot

Joukkoa kutsutaan Lebesguen mitattavaksi , jos sen ulko- ja sisämitat ovat yhtä suuret. Sitten jälkimmäisen kokonaisarvoa kutsutaan joukon Lebesguen mittaksi ja sitä merkitään , , , tai . $me$ $\mu E$ $|E|$ $\lambda(E)$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {mes} E}$

Esimerkki mittaamattomasta joukosta

J. Vitali rakensi esimerkin Lebesguen mittaamattomasta sarjasta vuonna 1905. Tarkastellaan seuraavaa ekvivalenssirelaatiota välillä : jos ero on rationaalinen . Lisäksi jokaisesta ekvivalenssiluokasta valitaan yksi edustaja - yksi piste (tässä käytämme valintaaksioomaa ). Sitten tuloksena oleva edustajajoukko on mittaamaton. $\sim$ $[0, 1]$ $x\sim y$ $xy$ $E$

Todellakin, jos siirrämme laskettavan määrän kertoja kaikilla välin rationaalisilla luvuilla , niin liitto sisältää koko segmentin , mutta samalla se sisältyy segmenttiin . Tässä tapauksessa joukon "siirretyt kopiot" eivät leikkaa toisiaan, mikä seuraa suoraan ja rakentamisesta . $E$ $[-1,1]$ $[0, 1]$ ${\näyttötyyli [-1,2]}$ $E$ $\sim$ $E$

Siksi, kun otetaan huomioon Lebesguen mittarin laskettava additiivisuus,

1=\mu {\big (}[0;1]{\big )}\leqslant \mu {\bigg (}\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}{\ bigg )}=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})\leqslant \mu {\big (}[-1;2]{\big )}=3.

Jos konstruoitu joukko on kuitenkin mitattavissa, tämä on mahdotonta: kaikki johtuu Lebesguen suuren invarianssiominaisuudesta (joukon mitta ei muutu siirtyessä), ja siten sarjan summa. $E$ $\mu (E_{n})=\mu (E)$

\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})

joko ääretön (jos ) tai yhtä suuri kuin nolla (jos ); Ei ole kolmatta. $\mu (E)>0$ $\mu (E)=0$

Molemmissa tapauksissa saamme ristiriidan, ja siksi joukko on mittaamaton; eli mittafunktio ei koske. $E$ $E$

Huomaa, että tämän, samoin kuin minkä tahansa muun esimerkin segmentin ei-mitattavasta joukosta, rakentaminen olisi mahdotonta hyväksymättä valinnan aksioomaa (jossakin ekvivalenssiluokassa edustajaa olisi mahdotonta valita).

Ominaisuudet

Lebesguen toimenpide täyttää seuraavat kaksi ehtoa:
- Yksikkökuution mitta on yhtä suuri kuin yksi.
- Yhteensopivien joukkojen mitat ovat keskenään yhtä suuret.

Lisäksi

Mitattavat joukot muodostavat maksimaalisen (inkluusio) joukon luokan, jossa nämä kaksi ehtoa määrittävät yhden suuren.

Historia

Luennoissaan integraatiosta ja primitiivisten funktioiden etsimisestä (1904) Henri Lebesgue totesi, että hänen tavoitteensa oli löytää (ei-negatiivinen) mitta reaaliviivalta, joka olisi olemassa kaikille rajoitetuille joukoille ja täyttäisi kolme ehtoa:

Yhdenmukaisilla joukoilla on yhtä suuri mitta (eli mitta on invariantti translaation ja symmetrioiden suhteen).
Mitta on laskettavasti additiivinen .
Välin (0, 1) mitta on 1.

Lebesguen rakenne kattoi suuren luokan reaalilukujoukkoja ja määritti joukon mitattavissa olevia funktioita , jotka olivat laajempia kuin analyyttisten funktioiden joukko . Lisäksi mikä tahansa mitattavissa oleva funktio mahdollisti monien analyyttisten menetelmien käytön. Tähän mennessä E. Borelin (1898) kehittämä yleinen mittateoria oli jo olemassa , ja Lebesguen ensimmäiset teokset perustuivat Borelin teoriaan. Lebesguen väitöskirjassa (1902) mittateoria kuitenkin yleistettiin olennaisesti "Lebesguen mittaksi". Lebesgue määritteli rajattujen mitattavien funktioiden käsitteet ja niille integraalit, osoitti, että kaikki analyysissä tutkitut "tavalliset" rajalliset funktiot ovat mitattavissa ja että mitattavien funktioiden luokka on suljettu analyyttisten perusoperaatioiden, mukaan lukien rajaan siirtymisen operaatiossa . Vuonna 1904 Lebesgue yleisti teoriansa poistamalla funktion rajallisuusehdon.

Heti seuraavana vuonna (1905) J. Vitali osoitti, että mitta, joka täyttää kolme yllä olevaa ehtoa, ei kata kaikkia rajoitettuja reaalijoukkoja: hän rakensi joukon , jolla ei ole mittaa, jolla oli osoitetut ominaisuudet. Lisäksi vuonna 1914 Hausdorff osoitti, että vaikka korvaammekin laskettavan additiivisuuden vaatimuksen äärellisen additiivisuuden heikommalla ehdolla, löydämme silti kolmiulotteisesta avaruudesta rajallisia ei-mitattavia joukkoja. Suoralle viivalla, kuten Banach havaitsi vuonna 1923, on olemassa universaali, äärellisesti additiivinen mitta, eikä se ole edes ainutlaatuinen [2] .

Lebesguen tutkimukset saivat laajan tieteellisen vastauksen, niitä jatkoivat ja kehittivät monet matemaatikot: E. Borel , M. Ries , J. Vitali , M. R. Fréchet , N. N. Luzin , D. F. Egorov jne. Konvergenssin käsite otettiin käyttöön mitan mukaan ( 1909).

Lebesguen teoksilla oli toinenkin tärkeä käsitteellinen merkitys: ne perustuivat täysin Cantorin joukkoteoriaan , joka oli noina vuosina kiistanalainen , ja Lebesguen teorian hedelmällisyys toimi vahvana perusteena joukkoteorian hyväksymiselle matematiikan perustana.

Katso myös

Kirjallisuus

Brylevskaya L. I. Mittausongelman historiasta 1900-luvun ensimmäisellä puoliskolla // Historiallinen ja matemaattinen tutkimus . - M . : Nauka , 1986. - Nro 30 . - S. 97-112 .
Vulikh BZ Lyhyt kurssi reaalimuuttujan funktioiden teoriasta (johdanto integraalin teoriaan). - M .: Nauka, 1973. - 352 s.
Gelbaum, B., Olmsted, J. Counterexamples in Analysis = Counterexamples in Analysis. — M. : LKI, 2007. — 258 s. — ISBN 978-5-382-00046-6 . .

Muistiinpanot

↑ Mitta // Mathematical Encyclopedia (5 osassa). - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1982. - T. 3. - S. 636-645. — 1184 s.
↑ Brylevskaya L.I., 1986 , s. 100.

Integraalilaskenta

Main

Riemannin integraalin yleistykset

Integraalit
muunnokset

Numeerinen
integrointi

mittateoria

liittyvät aiheet

Listat integraaleista