Algebrallinen topologia

Algebrallinen topologia (vanhentunut nimi: kombinatorinen topologia ) on topologian osa, joka tutkii topologisia avaruksia vertaamalla niitä algebrallisiin objekteihin ( ryhmiin , renkaisiin jne.) sekä näiden objektien käyttäytymistä erilaisten topologisten operaatioiden vaikutuksesta.

Perusmenetelmät

Algebrallisen topologian menetelmät perustuvat olettamukseen, että yleiset algebralliset rakenteet ovat yksinkertaisempia kuin topologiset.

Tärkeä työkalu algebrallisessa topologiassa ovat ns. homologiaryhmät (esimerkiksi yksinkertaiset tai singulaariset). Jokainen topologinen avaruus vastaa kussakin ulottuvuudessa omaa Abelin homologiaryhmäänsä ja jokainen jatkuva kartoitus vastaa ryhmähomomorfismia , ja kartoitus vastaa homomorfismien koostumusta ja identtinen kartoitus vastaa identtistä homomorfismia . Kategoriateorian kielellä tämä tarkoittaa, että -. homologiaryhmä on kovarianttifunktionaali topologisten avaruuksien kategoriasta Abelin ryhmien kategoriaan. $X$ $n$ $H_{n}(X)$ $f:X\Y:ksi$ $f_{*}:H_{n}(X)\-H_{n}(Y)$ $fg$ $f_{*}g_{*}$ ${\mathrm {id}}$ ${\mathrm {id}}_{*}$ $n$

Erilaisten homologiateorioiden lisäksi ( epätavallinen homologia , kuten bordismiteoria tai -teoria on nyt tullut erittäin tärkeäksi ) homotopiaryhmät ovat tärkeitä algebrallisen topologian kannalta . Näistä tärkein on ns. perusryhmä , joka, toisin kuin kaikkien muiden ulottuvuuksien ryhmät, voi olla ei-abelilainen. $K$ $\pi _{n}(X)$ $\pi _{1}(X)$

Esimerkki tekniikasta

Yksi klassinen esimerkki algebrallisen topologian menetelmien soveltamisesta on Brouwerin kiinteän pisteen lauseen todistus . Lauseen väite on, että jokaisella suljetun ulottuvuuden pallon jatkuvalla kartoituksella itseensä on kiinteä piste, eli . $n$ $f\colon D_{n}\to D_{n}$ $\exists x\colon f(x)=x$

Todistuksessa käytetään seuraavaa lemmaa: -ulotteisen pallon vetäytymistä sen rajalle ei ole, -ulotteista palloa (sellainen jatkuva kartoitus , joka koskee kaikkia rajan pisteitä). Todellakin: jos kartoituksella ei ole kiinteitä pisteitä, on mahdollista rakentaa pallon kartoitus pallolle piirtämällä jokaiselle pallon pisteelle säde, joka lähtee ulos ja kulkee läpi (kiinteiden pisteiden puuttuessa nämä ovat eri pisteet); Antaa olla leikkauspiste ray kanssa pallon , Ja . Kartoitus on jatkuvaa, ja jos se kuuluu palloon, niin . Siten saadaan pallon takaisinveto pallolle, mikä on mahdotonta lemman perusteella. Siksi ainakin yksi kiinteä piste on olemassa. $n$ $D_{n}$ $(n-1)$ $S_{{n-1}}$ $g:D_{n}\to S_{n-1},$ $g(x)=x$ $f$ $g$ $x$ $f(x)$ $x$ $y$ $S_{{n-1}}$ $g(x)=y$ $g(x)=y$ $x$ $g(x)=x$

Lemman todistamiseksi oletetaan, että tällainen takaisinveto on olemassa . Pallon upottamiseksi palloon seuraava ominaisuus pätee: kuvausten koostumus on identtinen pallon kuvaus (ensin , sitten ). Lisäksi on osoitettu, että , ja . Tällöin kartoitus on mappaus 0:aan, mutta toisaalta, koska meillä on — ei ole nollahomomorfismi, vaan identtinen isomorfismi. $g$ $i(x)=x$ $gi={\mathrm {id}}$ $i$ $g$ $H_{{n-1}}(S_{{n-1}})={\mathbf {Z}}$ $H_{{n-1}}(D_{n})=0$ $g_{*}:H_{{n-1}}(D_{n})\to H_{{n-1}}(S_{{n-1}})$ $gi={\mathrm {id}}$ $g_{*}i_{*}={\mathrm {id}}_{*}:{\mathbf {Z}}\to {\mathbf {Z}}$

Brouwerin lauseen ei-algebrallisia todisteita tunnetaan myös, mutta homologian käyttöönotto helpotti heti monien toistensa kanssa toisiinsa liittymättömien väitteiden todistamista.

Historia

Joitakin algebrallisen topologian lauseita tiesi jo Euler , esimerkiksi että mille tahansa kuperalle polyhedrille, jolla on määrä pisteitä , reunoja ja kasvoja , . $V$ $E$ $F$ $V-E+F=2$

Gauss ja Riemann olivat kiinnostuneita topologisista kysymyksistä .

Mutta päärooli algebrallisen topologian luomisessa tieteenä oli Poincarélla - hän omistaa yksinkertaisen homologian ja perusryhmän käsitteet. Suuren panoksen antoivat Alexander , Veblen , Lefschetz , Whitehead , Borsuk , Gurevich , Steenrod , Eilenberg , Serre , Tom , Atiyah , Hirzebruch , Bott , Adams , Smale , Milnor , Quillen ; Neuvostoliiton/venäläisistä matemaatikoista on syytä mainita P. S. Aleksandrov , Kolmogorov , Pontryagin , Lyusternik , Rokhlin , Novikov , Fomenko , Kontsevich , Voevodsky , Perelman .

Kirjallisuus

Vasiliev V. A. Johdatus topologiaan. - M.: Fazis, 1997
Wick J. W. Homologian teoria. Johdatus algebralliseen topologiaan. — M.: MTsNMO, 2005
Viro O. Ya., Ivanov O. A., Kharlamov V. M., Netsvetaev N. Yu. Topologian ongelmaoppikirja Arkistoitu 19. helmikuuta 2012 Wayback Machinessa
Dold A. Luentoja algebrallisesta topologiasta. - M.: Mir, 1976
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderni geometria: menetelmät ja sovellukset. - M.: Nauka, 1979
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderni geometria: Homologiateorian menetelmät. - M.: Nauka, 1984
Seifert G., Trefall W. Topology. - Iževsk: RHD, 2001
Kosniewski C. Algebrallisen topologian alkukurssi. - M.: Mir, 1983
Lefshetz S. Algebrallinen topologia. - M.: IL, 1949
Novikov P.S. Topologia. - 2. painos, korjattu. ja ylimääräisiä - Izhevsk: Tietokonetutkimuslaitos, 2002
Prasolov VV Homologiateorian elementit. — M.: MTsNMO , 2006
Switzer R. M. Algebrallinen topologia - homotopia ja homologia. - M.: Nauka, 1985
Spanier E. Algebrallinen topologia. - M.: Mir, 1971
Steenrod N., Eilenberg S. Algebrallisen topologian perusteet. - M.: Fizmatgiz, 1958
Fomenko A. T., Fuchs D. B. Homotopian topologian kurssi. - M.: Nauka, 1989

Hatcher A., Algebraic Topology - M.: MTsMNO, 2011. (Alkuperäinen: Hatcher A. Algebraic Topology arkistoitu 19. toukokuuta 2018 Wayback Machinessa )

Matematiikan alat

Portaali "Tiede"

Matematiikan perusteet joukko teoria matemaattinen logiikka logiikan algebra

Lukuteoria ( aritmetiikka )

Algebra
Algebra	Yhtälön ratkaisu
Lineaarialgebra	Vektorilaskenta matriiseja Tensorilaskenta Multilineaarinen algebra
Yleisalgebra	Kommutatiivinen algebra Edustusteoria Differentiaalialgebra Homologinen algebra Yleisalgebra Luokkateoria

Analyysi
Klassinen analyysi	Differentiaalilaskenta Integraalilaskenta
Funktion teoria	Harmoninen analyysi Quaternion Analysis Monimutkainen analyysi mittateoria Reaalimuuttujan funktioiden teoria toiminnallinen analyysi Variaatiolaskelma
Differentiaali- ja integraaliyhtälöt	Dynaamiset järjestelmät ja ergodinen teoria Differentiaaliyhtälöt tavallinen osittaisissa johdannaisissa Integraaliyhtälöt
Vektorianalyysi Globaali analyysi Katastrofi teoria Mukautettu analyysi Sujuva äärettömän pieni analyysi

Geometria ja topologia
Geometria	Algebrallinen geometria Analyyttinen geometria Euklidinen geometria Ei-euklidinen geometria Planimetria Stereometria
Topologia	Yleinen topologia Algebrallinen topologia Differentiaaligeometria ja topologia

Diskreetti matematiikka
Kombinatoriikka graafiteoria

Sovellettu matematiikka
Matemaattinen fysiikka Matemaattinen kemia matemaattinen biologia Matemaattiset tilastot Matemaattinen mallinnus Algoritmien teoria Numeeriset menetelmät matemaattinen taloustiede talousmatematiikka Todennäköisyysteoria Toimintatutkimus Peliteoria

Portaali "Matematiikka"
Luokka "Matematiikka"