Voevodsky, Vladimir Aleksandrovich

Vladimir Aleksandrovich Voevodsky ( 4. kesäkuuta 1966 [1] [2] , Moskova - 30. syyskuuta 2017 [2] , Princeton , New Jersey ) oli neuvostoliittolainen, venäläinen ja amerikkalainen matemaatikko , joka antoi merkittävän panoksen algebralliseen geometriaan ja sen perustamiseen. matematiikka . Fields Medalist ( 2002), professori Institute for Advanced Studyssa .

Tärkeimpiä tuloksia algebrallisen geometrian ja algebrallisen topologian leikkauskohdassa on motiivikohomologian  teorian rakentaminen ja sen todistaminen Milnorin [ ja Bloch-Katon konjektuurin avulla, jotka muodostivat algebrallisen teorian olennainen ongelmallinen osa . Matematiikan perusteiden alalla hän aloitti ja antoi ratkaisevan panoksen matematiikan yksiarvoisten perusteiden luomiseen  - muodollisen kielen matematiikan abstrakteille osille, joka tarjoaa automaattisen todisteiden tarkistamisen tietokoneella .

Elämäkerta

Syntynyt Moskovan valtionyliopistosta valmistuneiden tiedemiesperheeseen, hänen isänsä on astrofyysikko, valtionpalkinnon saaja työstään Baksanin neutriinoobservatorion luomisessa (1998) [3] , hänen äitinsä on kemisti, asiantuntija. ydinmagneettisessa resonanssissa . Hän vietti varhaislapsuutensa yhteisessä asunnossa Nogin - aukiolla , myöhemmin perhe muutti erilliseen asuntoon Maly Ivanovsky Lanelle [4] .

Lukiossa hän vaihtoi useita kouluja, sai toisen asteen todistuksen vuonna 1983, tiukan ja tarkan matemaattisen ajattelun muodostumisessa hän pani merkille Kolmogorovin toimittaman geometrian oppikirjan vaikutuksen [5] [4] . Samana vuonna hän tuli Moskovan valtionyliopiston mekaniikka-matematiikan tiedekuntaan . Saatuaan " valkoisen lipun " vakavien allergioiden vuoksi - vapautus asepalveluksesta , josta ei myönnetty lykkäystä yliopisto-opinnot keskeyttäneille, jäi akateemisesta lomasta palattuaan, josta hänet erotettiin, mutta toipui myöhemmin [ 6] .

Yliopistossa opiskellessaan hän kiinnostui algebrallisesta geometriasta, muun muassa syistä, miksi hän mainitsi sellaisten mielenkiintoisten ihmisten kuin Igor Shafarevich [4] työn tällä alalla . Akateemisen loman aikana hän työskenteli ohjelmointiopettajana koulutus- ja tuotantolaitoksessa , jossa hän tapasi Georgy Shabatin . Shabat tutustutti Voevodskyn Grothendieck-ohjelmaan , johon hän myöhemmin toistuvasti viittasi työssään, Voevodskyn ensimmäiseen tieteelliseen tutkimukseen, joka tehtiin yhdessä Shabatin kanssa ja johti useisiin julkaisuihin [7] [8] , joista yksi hyväksyttiin Grothendieck . Vuonna 1989 neljännen vuoden ensimmäisen lukukauden tulosten mukaan, huolimatta julkaistuista teoksista johtavissa lehdissä, hänet erotettiin lopulta yliopistosta akateemisen epäonnistumisen vuoksi [6] .

Vuosina 1989-1990 hän julkaisi useita teoksia yhdessä Mihail Kapranovin kanssa , joka muutti pian Yhdysvaltoihin. Vuonna 1990 Kapranov täytti Voevodskylle hakemuksen Harvardin yliopiston tutkijakouluun pääsyä varten , ja muodollisesta korkeakoulutuksen puutteesta huolimatta hänet hyväksyttiin [9] . Hän läpäisi pätevyyskokeen, jolle on varattu kolme ensimmäistä opiskeluvuotta tutkijakoulussa, kuukausi pääsyn jälkeen, minkä vuoksi hänet vapautettiin luokista ja hän pystyi keskittymään tutkimustyöhön [6] . Valmistuessaan hän rikkoi jatkuvasti sääntöjä: hän lähti Venäjälle 4 kuukaudeksi, asui suoraan toimistossa kieltäytyen vuokraamasta asuntoa, kun taas tiedekunnan johto auttoi kaikissa tapauksissa lupaavan tiedemiehen säilymistä Harvardissa. Hän puolusti väitöskirjaansa aiheesta "Homologia skeemojen ja kovarianttien motiivista" vuonna 1992 David Kazhdanin johdolla .

Valmistuttuaan tutkijakoulusta hän suoritti vuoden pituisen tohtorintutkinnon Princeton Institute for Advanced Studyssa, minkä jälkeen hän palasi Harvardiin ja oli jäsenenä Society of Fellowsissa kolmen vuoden ajan ,  joka rekrytoi vuosittain 8 jatko-opiskelijaa ja tarjoaa mahdollisuus keskittyä tutkimukseen ilman, että opetus häiritsee [6] .

Vuonna 1995 hän meni naimisiin matemaatikko Nadezhda Shalabin (s. 1966) kanssa avioliitossa, joka päättyi eroon vuonna 2008, ja syntyi kaksi tytärtä (Tali ja Dina).

Vuodesta 1996 vuoteen 1999 hän työskenteli apulaisprofessorina Northwestern Universityssä , jossa hän teki yhteistyötä johtavien algebrallisen teorian asiantuntijoiden Andrei Suslinin ja Eric Friedlanderin kanssa myös tänä aikana hän oli vierailevana professorina Max Planck -instituutissa ja Harvard. Vuonna 1998 hän luki täysistuntoraportin "Theory of -homotopies" kansainvälisessä matemaatikoiden kongressissa Berliinissä [10] .

Vuonna 1998 hänet kutsuttiin vakituiseen tehtävään Institute for Advanced Study -instituuttiin; tammikuussa 2002, muutama kuukausi ennen Fields-mitalin myöntämistä, hänet nimitettiin instituutin elinikäiseksi professoriksi. Princetonissa työskennellessään hän kääntyi matemaattisen biologian puoleen historiallisen genetiikan ja todennäköisyysteorian puolella , työskenteli sen uudelleen muotoilun parissa kategorioteorian kielellä [11] pitäen tärkeänä osallistua sovelluksiin , ja kaudella 2005- 2006 kokonaan pois akateemisesta toiminnasta. Vuonna 2006 hän julkaisi ensimmäiset muistiinpanot mahdollisuuksista soveltaa geometrisia käsitteitä tyyppiteoriaan [12] [13] ja Bloch-Katon arvelun lopullisen todisteen jälkeen vuonna 2010 hän uppoutui täysin uuteen suuntaan. välittää yksiarvoisten tukikohtien ohjelmaa . Merkittävä joukko matemaattisen logiikan , luokkateorian ja automaattisten todistusjärjestelmien asiantuntijoita liittyi vähitellen ohjelmaan . julistettiin Voevodskyn aloitteesta "yksiarvoisen perustan vuodeksi", jonka puitteissa yhteistyössä Voevodskyn, Audin ja Kokanin kanssa tehdään erityistutkimusta. Ohjelma avattiin, ja se kokosi yhteen noin 30 tiedemiestä, jotka kirjoittivat yhdessä 600-sivuisen kirjan [14] .

Hän kuoli kotonaan Princetonissa, joka löydettiin hänen entisen vaimonsa pyynnöstä, joka ei jonkin aikaa voinut ottaa häneen yhteyttä ja tiesi vakavasta sairaudesta; hänen raporttinsa mukaan kuolinsyy voi olla aneurysma [15] . Hänet haudattiin 27. joulukuuta 2017 Himkin hautausmaalle Moskovaan [16] .

Tieteelliset julkaisut

Algebrallinen geometria

Vuosien 1989-1990 korkeampia ryhmäoideja käsittelevissä papereissaan, jotka kirjoitettiin yhdessä Kapranovin kanssa, hän kehitti Grothendieckin ajatuksen mahdollisuudesta kuvata CW-komplekseja homotopian näkökulmasta ryhmäoideiksi . Vuonna 1998 Carlos Simpson rakensi vastaesimerkin yhdelle näiden lehtien päärakenteista [17] , jota Voevodsky ja Kapranov eivät alun perin tunnistaneet, ja Simpsonin artikkelia ei hyväksytty aikakauslehdissä; vasta vuonna 2013 Voevodsky vahvisti Simpsonin väitteet.

Harvardin tutkijakoulun aikakauden teoksissa hän kehitti konstruktion, jossa jokainen kaavio vastaa kolmiomittaista luokkaa ja kovarianttifunktionaalista kaavioiden kategoriasta vuonna . Tuloksena olevalla konstruktiolla on kaikki homologiateorian ominaisuudet , jolloin paljastuu uusi mahdollisuus työskennellä kaavioiden (ja erityisesti algebrallisten variaatioiden ) kanssa algebrallisen topologian avulla .

Väitöskirjassa luotuja työkaluja käyttäen hän osallistui algebrallisen teorian keskeisten ongelmien ratkaisemiseen ja motiivisen kohemologian teorian yksityiskohtien laatimiseen. Vuosina 1996-1998 hän loi yhdessä Fabian Morelin kanssa teorian -homotopy , jonka pääideana on korvata yksikköväli (joka ei ole algebrallinen muunnelma) affiinilla viivalla . homotopian määritelmä homotopian teorian täydellisen algebraation mahdollistamiseksi . Kansainvälisen matemaatikoiden kongressin täysistuntoraportti vuonna 1998 oli omistettu näille teoksille.

Motiivisen kohemologian teoriat saivat vuonna 2000 erillisen koodin matemaattiseen14F42 aineluokitukseen osana "Homologian ja kohemologian teoriat" -osion "Algebrallinen geometria" alaosastoa. Vuonna 2010 -homotopy teoria lisättiin samaan koodiin nimellä "motivational homotopy theory".

Vuonna 1996 hän julkaisi esipainoksen, jossa oli ensimmäinen todistus Milnor -teorian pääongelmasta , jonka mukaan Milnor - renkaiden ja  -etale- kohomologiaryhmien välillä on isomorfismi kertoimilla mille tahansa ominaisuuskentälle , joka eroaa arvosta 2, ja mille tahansa kokonaisuudelle . Todistuksessa hyödynnetään oman kehityksemme ja homotopiateorian lisäksi Merkurievin , Suslinin, Friedlanderin ja Rostin tuloksia . Huolimatta tuloksen yleisestä hyväksymisestä 1990-luvun lopulla ja Fields-palkinnon saamisesta hypoteesin todistamisesta, lopullinen versio, joka eliminoi kaikki todisteiden puutteet, julkaistiin vuonna 2003 .

1990-luvun lopulta lähtien hän alkoi ratkaista Bloch-Kato-ongelmaa, jolle Milnor-oletus on erikoistapaus . Huolimatta siitä, että Voevodsky omien lausuntojensa mukaan työskenteli todistuksen lähestymistavan jo vuoden 1996 lopulla, tuloksen laatiminen vaati huomattavaa valmistelutyötä sekä algebrallisen teorian että motiivisen kohomologian teorian alalla. Vasta 2000-luvun loppuun mennessä Suslin, Zhukhovitsky ja Weibel onnistuivat todistamaan Rostin tuloksen tarpeellisen yleistyksen [18] , ja Voevodsky sai päätökseen työnsä motivoivan kohomologian teorian kehittämisestä ja todisteen kaikkien yksityiskohtien yhdistämisestä helmikuuta 2010 .

Matematiikan perusteet

1990-luvun puolivälistä lähtien hän piti yhtenä matematiikan uhista mahdollisuutta kerääntyä huomaamattomia virheitä nykyaikaisten alueiden äärimmäisen monimutkaisuuden vuoksi, ja vuodesta 2002 lähtien hän on etsinyt mahdollisuutta soveltaa automaattisia todistusjärjestelmiä matematiikan abstrakteihin osiin, mutta ei löytänyt tyydyttäviä ratkaisuja [19] . Vuoden 2005 lopulla hän löysi mahdollisuuden kuvata korkeampia ryhmäoideja λ-laskennan avulla riippuvaisilla tyypeillä , joiden taustalla on useita automaattisia todistusjärjestelmiä, jotka hyödyntävät Curry-Howard-isomorfismia tietokoneohjelmien ja matemaattisten todisteiden ekvivalenssista. [20] . Ideoita intuitionistisen tyyppiteorian soveltamisesta kategoriateoriaan ja topologiaan on julkaistu 1990-luvun puolivälistä lähtien, mutta ei korkeampiin groupoideihin, jotka Voevodskyn mukaan, joka puolestaan ​​viittaa Grothendieckin vastaavuuteen, ovat perustavanlaatuisia matemaattisia objekteja ja vastaavat homotopiaa . tyypit .

Voevodskyn ensimmäiset kokeilut Coq -järjestelmällä juontavat juurensa vuonna 2006 . Vuonna 2009 hän ratkaisi tärkeimmät tekniset ongelmat intuitionistisen tyyppiteorian soveltamisessa korkeampiin ryhmiin, ensinnäkin kehittämällä universumien hierarkian konstruktion ja postuloimalla univalenssiaksiooman , joka väittää tasa-arvon objektien välillä, joiden välillä on ekvivalenssi. voidaan perustaa:

Vaikka matematiikassa on perinteisesti muodostettu tulosjoukko vastaavien objektien luokille, "jopa ..." - isomorfismi , homeomorfismi , homotopia - uskotaan, että univalenssiaksiooman käyttöönotosta emästen tasolla on tullut vallankumouksellinen innovaatio [21] , muun muassa tarjoamalla monia teknisiä tehosteita, koska on mahdollista päästä eroon hankalia rakenteita formalisaatioiden ekvivalenssiluokilla . Toinen Voevodskin perustavanlaatuisen lähestymistavan perustavanlaatuinen piirre on loogisten ja matemaattisten käsitteiden yhdistäminen yhden teorian puitteissa, jossa samat konstruktiot voidaan antaa jollakin toisella tulkinnalla, toisin kuin klassinen lähestymistapa, joka tulee Hilbertiltä ja Tarskilta , jossa logiikka on epistemologisesti ensisijainen - ensin määritetään looginen järjestelmä ja sitten varsinaiset matemaattiset teoriat rakennetaan sen keinoin [22] .

Vuodesta 2010 lähtien hän alkoi kehittää "Univalent Bases -kirjastoa" [23]  - kokoelmaa muodollisia kuvauksia Coqissa, joka mahdollistaa todisteiden laatimisen matematiikan abstrakteille osille, kolmessa kuukaudessa hän onnistui rakentamaan järjestelmän, jolla on melko laaja kattavuus. [19] . Vuonna 2010 hän valmisteli osana apurahapyyntöä univalenttien tukikohtien kehittämisohjelman [24] , jossa hän nosti esiin seuraavia mahdollisuuksia:

• Kategoristen ja korkeampien kategoristen kielten luonnollinen aksiomatisointi,
• riippuvaisten kielten soveltaminen,
• homotopiatyyppiin perustuvien käsitteiden suora aksiomatisointi ilman joukkoteoriatyökaluja ,
• soveltuvuus sekä rakentavaan että ei-rakentavaan matematiikkaan.

Vuonna 2013, hänen yhdessä Audi :n ja Kokanin kanssa Institute for Advanced Studyssa käynnistämän univalent base -vuoden puitteissa, hänestä tuli kirjan "Homotopy Theory of Types" toinen kirjoittaja, minkä jälkeen hän ilmaisi tyytymättömyytensä tulokset huomioiden, että ohjelman osallistujat ehdottivat monia outoja ideoita [20] . Yleisesti ottaen, huolimatta univalenttien tukikohtien luomisohjelmaan liittyneiden asiantuntijoiden suuresta määrästä, työskentelin eristyksissä: kehitin oman peruskirjastoprojektini [23] käyttämällä erityisesti kehitettyä Coqin turvallista alajoukkoa samalla kun osallistuin tutkimusohjelmaan Institute for Advanced Study suoritti työtä standardityökaluilla [25] . Lisäksi hän omisti vuosina 2014-2017 kahdeksan artikkelin sarjan asioiden ja perusteluongelmien mallintamiseen , C-järjestelmien teorian (kontekstuaaliset kategoriat) kehittämiseen, kun taas tutkimuksen pääaallon tavoitteena on laajentaa perusteiden ja sovellusten mahdollisuuksia [ 19] .

Muisti

Lokakuun 8. päivänä 2017 Institute for Advanced Studyssa pidettiin tiedemiehen muistotilaisuus, jossa puhuivat tutkijan sukulaiset ja kollegat, mukaan lukien Pierre Deligne , Richard Taylor , David Kazhdan [26] . Moskovan hautajaisten ja hautajaisten jälkeisenä päivänä 28. joulukuuta 2017 pidettiin yksipäiväinen konferenssi Voevodskin [27] muistoksi Tiedeakatemian Steklovin matemaattisessa instituutissa .

Harvardin opiskelijatoveri Mikhail Verbitskyn mukaan Voevodsky on useissa kirjailija Bayan Shiryanovin teksteissä jalostettu, ja siitä tuli Nikolai Baranskyn romaanin Matka etsimään todellista eloisuutta [28] päähenkilön prototyyppi .

Valitut julkaisut

• Vladimir Voevodsky, Andrei Suslin ja Eric M. Friedlander. Syklit, siirrot ja motiivihomologiateoriat. - Princeton, NJ: Princeton University Press , 2000. - 254 s. — (Annals of Mathematics Studies, osa 143). - ISBN 0-691-04815-0 .
  • Charles A. Weibelin arvosteluarvostelu . Syklit, siirrot ja motiivihomologiateoriat, Vladimir Voevodsky, Andrei Suslin ja Eric M. Friedlander  // Bulletin Of The American Mathematical Society. - 2001. - T. 39 , nro 1 . - S. 137-143 . Arkistoitu 18. lokakuuta 2020.
• Carlo Mazza, Vladimir Voevodsky, Charles Weibel. Luentomuistiinpanot motiivikohomologiasta. - Princeton, NJ: American Mathematical Society , 2006. - 218 s. — (Savimatematiikan monografiat, osa 2). - ISBN 0-8218-3847-4 .

• V. A. Voevodsky, M. M. Kapranov. ∞-ryhmät mallina homotopiakategorialle  // Russian Mathematical Advances . - 1990. - T. 45 , nro 5 . - S. 239-240 . - doi : 10.1070/RM1990v045n05ABEH002673 . Yhteistyö Kapranovin kanssa CW-kompleksien ja korkeampien groupoidien välisestä vastaavuudesta, jolle Simpson löysi myöhemmin vastaesimerkin.
• Vladimir Voevodsky. Motiivikohomologia -kertoimien kanssa //  Julkaisut Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques. - 2003. - T. 98 , nro 1 . — S. 59–104 . - doi : 10.1007/s10240-003-0010-6 . Lopputyö, jossa on täydellinen todiste Milnorin olettamuksesta.
• Vladimir Voevodsky. Motiivista kohemologiaa -kertoimien kanssa  // Annals of Mathematics. - 2011. - T. 174 . — S. 401–438 . - doi : 10.4007/annals.2011.174.1.11 . Artikkeli, jossa on todiste Bloch-Katon arvelusta
• Vladimir Voevodsky. Formalisoidun matematiikan kokeellinen kirjasto, joka perustuu univalenttisiin perusteisiin  // Matemaattiset rakenteet tietojenkäsittelytieteessä. - Cambridge University Press , 2015. - V. 25 . - S. 1278-1294 . - doi : 10.1017/S0960129514000577 . Julkaisu formalisoidun matematiikan kirjastosta, joka perustuu univalenttisiin perusteisiin
• Vladimir Voevodsky. Univalentin säätiön alkuperä ja motiivit .  Henkilökohtainen tehtävä kehittää tietokoneiden todentamista matemaattisten virheiden välttämiseksi . IDEAS, The Institute Letter, kesä 2014 . Institute of Advanced Study (1. heinäkuuta 2014) .  "Luulen, että juuri tällä hetkellä lopetin suurelta osin niin sanotun "uteliaisuusvetoisen tutkimuksen" ja aloin ajatella vakavasti tulevaisuutta." Haettu 29. joulukuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 22. tammikuuta 2018. Teos, jossa Voevodsky luettelee jälkeenpäin havaittuja vaikeasti havaittavia virheitä todisteissa sekä omissa töissään että kollegoiden tuloksissa, jotka motivoivat häntä työskennellä yksiarvoisin perustein.

Muistiinpanot

1. ↑ 1 2 MacTutor History of Mathematics -arkisto
2. ↑ 1 2 3 4 Vladimir Voevodsky // Identifiants et Référentiels  (fr.) - ABES , 2011.
3. ↑ Venäjän federaation presidentin asetus nro 870, 22. heinäkuuta 1998
4. ↑ 1 2 3 Novosyolova, 2002 .
5. ↑ Kolmogorovin koulukirjojen aktiivinen kritiikki esityksen liiallisesta muodollisuudesta on peräisin suunnilleen samoista vuosista.
6. ↑ 1 2 3 4 Beljajeva, 2011 .
7. ↑ Voevodsky V. A., Shabat G. B. Riemannin pintojen ja käyrien tasasivuiset kolmiot algebrallisten lukujen kenttien yli // Neuvostoliiton tiedeakatemian raportit. - 1989. - T. 304 , nro 2 . - S. 265-268 .
8. ↑ Voevodsky, V. A. ja G. B. Shabat. Algebrallisten käyrien jakobilaisten palatarkkainen euklidinen approksimaatio  // CSTARCI Math. Preprints. – 1988.
9. ↑ Kevin Hartnett. Visionääri matemaatikko Vladimir Voevodsky kuoli 51-vuotiaana  (englanniksi) . Quanta Magazine (11. lokakuuta 2017). Haettu 27. lokakuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 28. lokakuuta 2017.
10. ↑ V. Voevodsky. -Homotopy Theory  // Documenta Mathematica. - 1998. - T. Extra (ICM) , nro I. — S. 579–604 .
11. ↑ V. A. Voevodsky. kategorinen todennäköisyys . Matematiikan instituutin kaikkien instituuttien seminaari "Matematiikka ja sen sovellukset". V. A. Steklov Venäjän tiedeakatemiasta (20. marraskuuta 2008). Haettu 29. joulukuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 29. joulukuuta 2017. (määrätön)
12. ↑ Georgy Shabat, Andrei Rodin, Anatoli Vershik. "Hän oli valmis työskentelemään päiviä ilman unta ja ruokaa . " Kolminaisuuden vaihtoehto - tiede , nro 239 s. 16 (10. lokakuuta 2017). Haettu 26. joulukuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 27. joulukuuta 2017. (määrätön)
13. ↑ V. Voevodsky. Hyvin lyhyt huomautus homotopian λ-laskennasta . – 2006.
14. ↑ Homotopy Type Theory: Univalent Funds of Mathematics . - Princeton : Institute for Advanced Study , 2013. - 603 s.
15. ↑ Vladimir Voevodsky, vallankumouksellinen matemaatikko, kuolee 51-vuotiaana . New York Times (6. lokakuuta 2017). Haettu 26. joulukuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 9. helmikuuta 2021. (määrätön)
16. ↑ Vladimir Voevodskin muistotilaisuudet Moskovassa, Venäjällä  . Institute of Advanced Study (26. joulukuuta 2017). Haettu 26. joulukuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 26. joulukuuta 2017.
17. ↑ Carlos Simpson. Tiukkojen 3- ryhmien homotopiatyypit  // ArXiv.org .
18. ↑ Mihailov, 2012 .
19. ↑ 1 2 3 Daniel R. Grayson . Vladimir Voevodsky (1966–2017 ) Matemaatikko, joka mullisti algebrallisen geometrian ja tietokonetodistuksen . Luonto (6.11.2017) . doi : 10.1038/d41586-017-05477-9 . Haettu 24. joulukuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 10. kesäkuuta 2020. (määrätön)
20. ↑ 1 2 Hannes Hummel. Määrittävätkö tietokoneet matematiikan juuret uudelleen? . Kun legendaarinen matemaatikko havaitsi virheen omassa työssään, hän ryhtyi tietokoneavusteiseen pyrkimykseen eliminoida inhimilliset erehdykset.  Hänen on kirjoitettava uudelleen koko matematiikan taustalla olleet vuosisadan vanhat säännöt . Quanta Magazine (19. toukokuuta 2015) . Haettu 30. joulukuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 30. joulukuuta 2017.
21. ↑ Steve Awodey, Álvaro Pelayo, Michael A. Warren. Voevodskyn univalenssiaksiooma homotopian tyyppiteoriassa  (englanniksi)  // AMS:n huomautuksia . - 2013. - Vol. 60 , ei. 9 . - s. 1164-1167 .
22. ↑ Andrei Rodin. Looginen ja geometrinen atomismi Leibnizistä Voevodskyyn  // Filosofian ongelmat . - 2016. - Nro 6 . - S. 134-142 .
23. ↑ 1 2 Univalent Base Library Project GitHubissa
24. ↑ Vladimir Voevodsky. Univalent Foundations -projekti . (muokattu versio NSF-apurahahakemuksesta) . Institute of Advanced Study (1. lokakuuta 2010) . Haettu 30. joulukuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 7. toukokuuta 2020. (määrätön)
25. ↑ Voevodskyn projekti GitHubin UniMath - kirjastossa
26. ↑ Muistaen Vladimir Voevodskia, 1966–2017  (englanniksi) . IAS (8. lokakuuta 2017). Haettu 27. joulukuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 27. joulukuuta 2017.
27. ↑ Yhden päivän konferenssi, joka on omistettu V. A. Voevodskyn muistolle . Koko venäläinen matemaattinen portaali (27. joulukuuta 2017). Haettu 27. joulukuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 27. joulukuuta 2017. (määrätön)
28. ↑ Mihail Verbitsky. Kaksinkertainen kronometri . LJ.Russia.org (1. lokakuuta 2017). Haettu: 26. joulukuuta 2017. (määrätön)

Linkit

• Profiili korkeakoulun verkkosivuilla  (englanniksi) . Institute of Advanced Study. Haettu 26. joulukuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 29. marraskuuta 2017.
• Georgy Shabat, Olga Orlova. Jumalallinen kipinä . Vladimir Voevodskyn muistolle . " Kolminaisuuden vaihtoehto - tiede ", nro 249 s. 2–3 (13. maaliskuuta 2018) . Haettu 14. maaliskuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 15. maaliskuuta 2018. (määrätön)
• A. A. Beilinson , A. S. Vishik , D. A. Kazhdan , M. M. Kapranov , A. S. Merkuriev , D. O. Orlov , I. A. Panin , A. A. Suslin , N. A. Tyurin , G. B. Shabat . Vladimir Aleksandrovich Voevodsky (muistokirjoitus)  // Matemaattisten tieteiden edistysaskel . - 2018. - T. 73 , nro 3 (441) . — S. 157–168 . doi :/ rm9821 .
• Charles Weibel Vladimir Voevodsky (englanti) //AMS:n ilmoitukset. - 2019. -Vol. 66,nro. 4. -s. 526-533. -doi:10.1090/noti1850.

• Vladimir Voevodsky. Intuitiivinen johdatus Motivic Homotopy Theory -teoriaan  . Savitutkimuslaitoksen vuosikonferenssi 2002 . Savitutkimuslaitos (10. lokakuuta 2002). Haettu 26. joulukuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 1. maaliskuuta 2020.
• Puhe 1. Heidelberg Forum of Laureates in Mathematics and Informatics  (englanniksi) . Heidelbergin palkintofoorumi (26. syyskuuta 2013). Haettu 26. joulukuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 8. lokakuuta 2020.
• Matematiikan perusteet: menneisyys, nykyisyys ja tulevaisuus. Osa 1: käsitteen historiaan  (englanniksi) . Bernaysin luento . ETH Zürich (10. syyskuuta 2014). Käyttöpäivä: 31. joulukuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 10. maaliskuuta 2016. Osa 2: joukkoteorian historia . Haettu 31. joulukuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 8. maaliskuuta 2016.  (määrätön) Osa 3: Univalent Bases . Haettu: 31. joulukuuta 2017. (määrätön)
• Miten kiinnostuin  matematiikan perusteista . 9. Aasian tiedeleiri - 2015 . NSTDA Channel, Thaimaa (5. elokuuta 2015). Haettu 26. joulukuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 3. tammikuuta 2020.

• Jelena Novosjolova. Vastauksemme Nobelille . Venäläinen Vladimir Voevodsky karkotettiin Mekhmatista, ja 15 vuotta myöhemmin hänestä tuli planeetan paras matemaatikko . Venäläinen sanomalehti (19. lokakuuta 2002) . Haettu 26. joulukuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 2. kesäkuuta 2017. (määrätön)
• Olga Orlova. Yleisesti Fieldsian tili . polit.ru (22. elokuuta 2006). Haettu 26. joulukuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 13. joulukuuta 2017. (määrätön)
• Svetlana Belyaeva. Hyviä syitä . Maanmieheni kehittää uusimpia matemaattisia teorioita Amerikassa . Haku (13. toukokuuta 2011) . Haettu 26. joulukuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 18. tammikuuta 2021. (määrätön)
• Roman Mihailov . Haastattelu Vladimir Voevodskyn kanssa, osa 1 (1. heinäkuuta 2012). Haettu 26. joulukuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 22. elokuuta 2017.  (määrätön) Osa 2 (5. heinäkuuta 2012). Haettu 26. joulukuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 12. joulukuuta 2017. (määrätön)
• Gael Octavia. Vladimir Voevodskyn bifurkaatio. De la théorie de l'homotopie à la théorie des types  (ranska) . SMF-Gazette-142, lokakuu 2014 . Société Mathematique de France (1. lokakuuta 2014). Haettu 1. tammikuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 16. toukokuuta 2018.
• Olga Baklitskaja-Kameneva. Vladimir Voevodsky: Matematiikka mielen stabilointimenetelmänä . Elements (8. marraskuuta 2017). Haettu 26. joulukuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 27. joulukuuta 2017. (määrätön)
• Svetlana Belyaeva. Ulostulo reiästä on näkyvissä . Matemaatikkojen työtä voidaan helpottaa (pääsemätön linkki) . Haku (18. syyskuuta 2015) . Haettu 24. joulukuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 26. joulukuuta 2017. (määrätön) 

Sosiaalisissa verkostoissa	Live-journal Facebook
Temaattiset sivustot	Matemaattinen sukututkimus ORCID Tutkijan ID ResearchGate zbMATH Avoinna Koko venäläinen matemaattinen portaali Matematiikan historian arkisto MacTutor
Sanakirjat ja tietosanakirjat	kroatialainen Britannica (verkossa) Universalis
Bibliografisissa luetteloissa BNF : 15508862d GND : 143160605 ISNI : 0000 0001 1570 456X J9U : 987007432673205171 LCCN : no00033776 NTA : 226522733 NUKAT : n01105766 SUDOC : 099890747 VIAF : 51996397 WorldCat VIAF : 51996397