Homotoopia

Homotopy on sarja jatkuvia kartoituksia , jotka ovat jatkuvasti riippuvaisia parametrista, tarkemmin sanottuna jatkuvasta kartoituksesta . $F_{t}\colon X\to Y,\;t\in [0,1]$ $F\kaksoispiste [0,1]\kertaa X\-Y$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Kuvauksia kutsutaan homotoopiksiksi ( ), jos on olemassa homotopia , jossa ja . $f,g\kaksoispiste X\Y:ksi$ $g\sim f$ $f_t$ $f_0=f$ $f_1=g$
- Tämä määrittelee jatkuvien kartoitusten välisen ekvivalenssisuhteen . $X\Y:ksi$

Topologisten avaruuksien homotopiaekvivalenssi ja on jatkuvien kuvausten pari ja sellainen, että ja , tarkoittaa tässä kartoitusten homotopiaa. Tässä tapauksessa c:llä sanotaan myös olevan yksi homotoopiatyyppi . $X$ $Y$ $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $g\kaksoispiste Y\-X$ $f\circ g\sim \operaattorinimi {id}_{Y}$ $g\circ f\sim \operaattorinimi {id}_{X}$ $\sim$ $X$ $Y$
- Jos ja ovat
homeomorfisia ( ), ne ovat homotooppisesti ekvivalentteja; päinvastoin ei yleensä pidä paikkaansa. $X$ $Y$ $X\simeq Y$
Homotopian invariantti on avaruuden ominaisuus, joka säilyy topologisten avaruuksien homotooppiekvivalenssissa; eli jos kaksi avaruutta ovat homotooppisesti ekvivalentteja, niillä on sama ominaisuus. Esimerkiksi: liitettävyys , perusryhmä , Eulerin ominaisuus .

Jos jossain osajoukossa kaikille , joilla on , niin sitä kutsutaan homotoopiaksi suhteessa ja homotoopikseksi suhteessa . $A\alajoukko X,\;F(t,a)=f(a)$ $t$ $a\in A$ $F$ $A$ $f$ $g$ $A$

Kuvausta, joka on homotooppinen vakioon, eli kuvausta pisteeseen, kutsutaan supistuvaksi tai homotooppiseksi nollaan .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Isotoopia on topologisen avaruuden homotopia suhteessa topologiseen avaruuteen , jossa missä tahansa kartoitus on homeomorfismi . $X$ $Y$ $f_{t}\kaksoispiste X\Y:ksi,\;t\in [0,1]$ $t$ $f_t$ $X$ $f_{t}(X)\alajoukko Y$

Kartoitusta kutsutaan heikoksi homotoopiaekvivalenssiksi , jos se indusoi homotooppiryhmien isomorfismin . Topologisen avaruuden aliavaruutta , jossa inkluusio on heikko homotoopiaekvivalenssi, kutsutaan edustavaksi aliavaruudeksi . $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $A$ $X$ $A\alajoukko X$

Jos ja yli on mielivaltaisia nippuja , niin homotooppia kutsutaan kuitusuuntaiseksi, jos morfismit ovat kuiduittain homotooppisia, jos on olemassa kuitukohtainen homotooppia , jonka yhtäläisyydet ja morfismi ovat kuiduittain homotooppisia, jos on olemassa sellainen morfismi , että ja ovat kuiduittain homotooppisia Kimput ja kuuluvat samaan kuitumuotoiseen homotooppityyppiin, jos on vähintään yksi kerrostettu ekvivalenssi $\varphi :E\to X$ $\varphi ':E'\to X$ $x,$ $f_{t}:E\to E'$ $\varphi 'f_{t}=\varphi .$ $f,g:E\to E'$ $f_{t}:E\to E',$ $f_{0}=f$ $f_{1}=g.$ $f:E\to E'$ $g:E'\to E$ $gf$ $fg$ $\mathrm {Id} .$ $E$ $E'$ $f:E\to E'.$

Katso myös

Kirjallisuus

Vasiliev V. A. Johdatus topologiaan. - M .: FAZIS, 1997. - 132 s. — ISBN 5-7036-0036-7 .
Rokhlin V. A., Fuchs D. B. Topologian alkukurssi. Geometriset päät. - M .: Nauka, 1977
Spanier E. Algebrallinen topologia. - M .: Mir, 1971