Egyptin jakeet

Egyptin murtoluku - matematiikassa useiden muodon pareittain erilaisten murto -osien summa (ns. alikvoottimurto ). Toisin sanoen jokaisella summan murto-osalla on osoittaja , joka on yhtä suuri kuin yksi, ja nimittäjä , joka on luonnollinen luku . ${\frac {1}{n}}$

Esimerkki: . ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{16}}$

Egyptin murtoluku on positiivinen rationaalinen luku muodossa a / b ; esimerkiksi yllä kirjoitettu egyptiläinen murtoluku voitaisiin kirjoittaa muodossa 43/48. Voidaan osoittaa, että jokainen positiivinen rationaalinen luku voidaan esittää egyptiläisenä murtolukuna (yleensä äärettömällä määrällä [1] ). Matemaatikko käytti tämän tyyppistä summaa mielivaltaisten murtolukujen kirjoittamiseen muinaisesta Egyptistä keskiaikaan . Modernissa matematiikassa käytetään yksinkertaisia ja desimaalilukuja egyptiläisten murtolukujen sijaan , mutta egyptiläisten murtolukujen tutkiminen jatkuu lukuteoriassa ja matematiikan historiassa ..

Historia

Muinainen Egypti

Lisätietoja tästä aiheesta on artikkelissa Egyptin numerot , Mathematics in Ancient Egypt .

Egyptiläiset fraktiot keksittiin ja niitä käytettiin ensimmäisen kerran muinaisessa Egyptissä . Yksi varhaisimmista tunnetuista viittauksista egyptiläisiin murtolukuihin on Rhindan matemaattinen papyrus . Kolme vanhempaa tekstiä, joissa mainitaan egyptiläiset murtoluvut, ovat Egyptin matemaattinen nahkakäärö , Moskovan matemaattinen papyrus ja Akhmim Wooden Tablet. Rinda-papyruksen kirjoitti kirjuri Ahmes toisen välikauden aikana ; se sisältää taulukon egyptiläisistä murtoluvuista muotoa 2/ n oleville rationaalisille lukuille sekä 84 matemaattista tehtävää, niiden ratkaisuja ja vastauksia egyptiläisillä murtoluvuilla.

Egyptiläiset käyttivät hieroglyfiä

( ep , "[yksi] of" tai re , rot) luvun päällä edustamaan yksikkömurtolukua perinteisessä merkinnässä, kun taas riviä käytettiin hieraattisissa teksteissä. Esimerkiksi:

={\frac {1}{3}}

={\frac {1}{10}}

Niissä oli myös erikoissymbolit murtoluvuille 1/2, 2/3 ja 3/4 (kaksi viimeistä numeroa olivat ainoat egyptiläisten käyttämät ei-alikvoottiset murtoluvut), joita voitiin käyttää myös muiden murtolukujen (suurempia kuin 1) kirjoittamiseen. /2).

={\frac {1}{2}}

={\frac {2}{3))

={\frac {3}{4))

Egyptiläiset käyttivät myös muita merkintätapoja, jotka perustuivat hieroglyfiin Horuksen silmä , edustamaan erityistä murtojoukkoa muodon 1/2 k (jos k = 1, 2, ..., 6), eli kaksi. -elementin rationaaliluvut . Tällaisia fraktioita käytettiin muiden egyptiläisten jakemuotojen ohella heqaatin ( ~4,785 litraa ) jakamiseen, joka oli muinaisen Egyptin tärkein tilavuuden mitta. Tätä yhdistettyä merkintää on käytetty myös viljan , leivän ja oluen tilavuuden mittaamiseen . Jos määrän kirjaamisen jälkeen Horuksen silmän murto-osan muodossa oli jäljellä jonkin verran jäljellä, se kirjattiin tavalliseen muotoon rho :n kerrannaisena , mittayksikkönä 1/320 hekat.

Esimerkiksi näin:

={\frac {1}{331}}

Samaan aikaan "suu" asetettiin kaikkien hieroglyfien eteen.

Antiikki ja keskiaika

Egyptin murtolukuja käytettiin edelleen muinaisessa Kreikassa ja myöhemmin matemaatikot ympäri maailmaa keskiajalle asti , vaikka muinaiset matemaatikot huomauttivat niistä (esimerkiksi Claudius Ptolemaios puhui egyptiläisten murtolukujen käytön haitallisuudesta Babylonian järjestelmään verrattuna ). Tärkeää työtä egyptiläisten murtolukujen tutkimiseksi suoritti 1200-luvun matemaatikko Fibonacci teoksessaan " Liber Abaci ".

Liber Abacin pääteema on laskutoimitukset desimaali- ja yhteisten murtolukujen avulla, jotka lopulta syrjäyttivät egyptiläiset murtoluvut. Fibonacci käytti murtoluvuille monimutkaista merkintää, mukaan lukien lukujen merkintä sekapohjalla ja merkintä murtolukujen summana, ja Egyptin murtolukuja käytettiin usein. Kirjassa annettiin myös algoritmeja tavallisten murtolukujen muuntamiseksi egyptiläisiksi.

Fibonacci-algoritmi

Fibonacci kuvaili ensimmäisen yleisen menetelmän mielivaltaisen murto-osan hajottamiseksi egyptiläisiksi komponenteiksi 1200-luvulla. Nykyaikaisessa merkinnässä sen algoritmi voidaan ilmaista seuraavasti.

1. Murto-osa jaetaan kahdeksi termiksi: ${\frac {m}{n}}$

{\frac {m}{n}}={\frac {1}{\lceil n/m\rceil }}+{\frac {(-n){\bmod {m}}}{n\ lceil n/m\rceil }}.

Tässä on n: n jaon osamäärä m : llä pyöristettynä ylöspäin lähimpään kokonaislukuun, ja se on (positiivinen) jakojäännös luvun −n : llä m :llä . $\lceil n/m\rceil$ $(-n){\bmod {m))$

2. Oikean puolen ensimmäinen termi on jo egyptiläisen murtoluvun muodossa. Kaavasta voidaan nähdä, että toisen termin osoittaja on tiukasti pienempi kuin alkuperäisen murtoluvun. Samalla tavalla, käyttämällä samaa kaavaa, laajennamme toista termiä ja jatkamme tätä prosessia, kunnes saamme termin, jonka osoittaja on 1.

Fibonacci-menetelmä konvergoi aina rajallisen määrän vaiheita jälkeen ja antaa halutun laajennuksen. Esimerkki:

{\frac {7}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{120}}.

Tällä menetelmällä saatu hajoaminen ei kuitenkaan välttämättä ole lyhin. Esimerkki sen epäonnistuneesta sovelluksesta:

{\frac {5}{121}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{757}}+{\frac {1}{763\,309}}+ {\frac {1}{873\,960\,180\,913}}+{\frac {1}{1\,527\,612\,795\,642\,093\,418\,846\ ,225}},

kun taas edistyneemmät algoritmit johtavat hajoamiseen

{\frac {5}{121}}={\frac {1}{33}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{363}}.

Nykyaikainen lukuteoria

Nykyaikaiset matemaatikot tutkivat edelleen useita egyptiläisiin murtolukuihin liittyviä ongelmia.

1900-luvun lopulla annettiin arvioita mielivaltaisen murto-osan maksiminimittäjästä ja pituudesta egyptiläisiksi. Murtoluku x / y laajenee egyptiläisiksi murto-osiksi, joiden enimmäisnimittäjä on enintään

O\left({\frac {y\log ^{2}y}{\log \log y}}\right)

( Tenenbaum & Yokota 1990 ) ja enintään

O\left({\sqrt {\log y}}\right)

( Vose 1985 ).

Erdős-Grahamin arvelussa sanotaan, että kun värjätään kokonaislukuja, jotka ovat suurempia kuin 1 väreissä r > 0, on olemassa äärellinen monokromaattinen kokonaislukujen osajoukko S , jolle $\sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1.$

Tämän olettamuksen todisti Ernest Krut vuonna 2003 .

Avoimet numerot

Egyptin murtoluvut aiheuttavat useita vaikeita ja tähän päivään asti ratkaisemattomia matemaattisia ongelmia.

Erdős-Straussin oletus väittää, että millä tahansa kokonaisluvulla n ≥ 2 on positiivisia kokonaislukuja x , y ja z siten, että

{\frac 4n}={\frac 1x}+{\frac 1y}+{\frac 1z}.

Tietokonekokeet osoittavat, että olettamus on totta kaikille n ≤ 10 14 , mutta todisteita ei ole vielä löydetty. Tämän oletuksen yleistys väittää, että jokaiselle positiiviselle k :lle on olemassa N siten, että kaikille n ≥ N on olemassa hajoaminen

{\frac {k}{n}}={\frac 1x}+{\frac 1y}+{\frac 1z}.

Tämä hypoteesi kuuluu Andrzej Schinzelille .

Muistiinpanot

↑ R. Knott . Egyptian Fractions Arkistoitu 2. toukokuuta 2016 Wayback Machinessa .

Kirjallisuus

Van der Waerden. Heräävä tiede. Muinaisen Egyptin, Babylonin ja Kreikan matematiikka. Käännös hollannista N. Veselovsky. Moskova: Fizmatgiz, 1959, 456 s. (Uudelleenpainos: M.: URSS, 2007)
Neugebauer O. Luennot muinaisten matemaattisten tieteiden historiasta (pre-kreikkalainen matematiikka). T. 1. M.-L.: ONTI, 1937.
Neugebauer O. Tarkat tieteet antiikin aikana. M.: Nauka, 1968. (Uudelleenpainos: M.: URSS, 2003)
Raik A.E. Esseitä antiikin matematiikan historiasta. Saransk, Mordovian osavaltio. kustantamo, 1977.
Raik A.E. Egyptin murto-osien historiasta. Historical and Mathematical Research, 23, 1978, s. 181-191.
Yanovskaya S. A. Egyptin murto-osien teoriasta. Proceedings of Natural History Institute, 1, 1947, s. 269-282.
Beeckmans, L. Egyptin murtolukujen jakoalgoritmi (epämääräinen) // Journal of Number Theory . - 1993. - T. 43 . - S. 173-185 .
Botts, Truman. Ketjureaktioprosessi lukuteoriassa (neopr.) // Mathematics Magazine . - 1967. - S. 55-65 .
Breusch, R. Egyptin murtolukujen erikoistapaus, ratkaisu edistyneeseen tehtävään 4512 // American Mathematical Monthly : Journal . - 1954. - Voi. 61 . - s. 200-201 .
Bruins, Evert M. Platon et la tablégyptienne 2/n (indefinite) // Janus. - 1957. - T. 46 . - S. 253-263 .
Eves, Howard. Johdatus matematiikan historiaan, (englanniksi) . - Holt, Reinhard ja Winston, 1953.
Gillings, Richard J. Mathematics in the Time of the Pharaohs (uuspr.) . – Dover, 1982.
Graham, RL Erillisten n . potenssien käänteissummat // Pacific Journal of Mathematics : Journal. - 1964. - Voi. 14 , ei. 1 . - s. 85-92 . Arkistoitu alkuperäisestä 22. marraskuuta 2009. Arkistoitu 22. marraskuuta 2009 Wayback Machinessa
Hultsch, Friedrich. Die Elemente der ägyptischen Theilungsrechnung (saksa) . - Leipzig: S. Hirzel, 1895.
Knorr, Wilbur R. Murtolukutekniikat muinaisessa Egyptissä ja Kreikassa (englanniksi) // Historia Mathematica : päiväkirja. - 1982. - Voi. 9 . - s. 133-171 .
Luneburg, Heinz Leonardi Pisani Liber Abbaci tai Lesevergnügen eines Mathematikers (saksa) . - Mannheim: B.I. Wissenschaftsverlag, 1993.
Martin, G. Tiheät Egyptin murtoluvut (englanniksi) // Transactions of the American Mathematical Society . - 1999. - Voi. 351 . - P. 3641-3657 .
Menninger, Karl W. Numerosanat ja numerosymbolit : Numeroiden kulttuurihistoria . - MIT Press , 1969.
Robins, homo; Sulje, Charles. Rhindin matemaattinen papyrus: muinainen egyptiläinen teksti (englanniksi) . – Dover, 1990.
Stewart, BM Erillisten jakajien summat (epämääräinen) // American Journal of Mathematics . - 1954. - T. 76 . - S. 779-785 .
Stewart, I. Kadonneen kamelin arvoitus // Scientific American . - Springer Nature , 1992. - Ei. kesäkuuta . - s. 122-124 .
Struik, Dirk J. Lyhyt matematiikan historia (määrätön) . - Dover, 1967. - S. 20-25 .
Takenouchi, T. Määrittämättömästä yhtälöstä (neopr.) // Proc. Physico-Mathematical Soc. Japanin, 3. ser.. - 1921. - Vol . 3 . - S. 78-92 .
Tenenbaum, G.; Yokota, H. Egyptin murtolukujen pituus ja nimittäjät (epämääräinen) // Journal of Number Theory . - 1990. - T. 35 . - S. 150-156 .
Vose, M. Egyptin murtoluvut (epämääräinen) // London Mathematical Society . - 1985. - T. 17 . - S. 21 .
Wagon, S. Mathematica in Action (uuspr.) . - W. H. Freeman, 1991. - S. 271-277 .

Linkit

David Eppstein. Egyptin fraktiot . Arkistoitu alkuperäisestä 19. helmikuuta 2012. (määrätön)
Egyptin jakeet . Arkistoitu alkuperäisestä 19. helmikuuta 2012. (määrätön)
Matematiikka egyptiläisissä papyruksissa (2000). Arkistoitu alkuperäisestä 19. helmikuuta 2012. (määrätön)
Weisstein, Eric W. Egyptian Fraction (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Brown, Kevin. RMP 2/nth taulukko (ei saatavilla linkki) . Haettu 24. joulukuuta 2006. Arkistoitu alkuperäisestä 16. lokakuuta 2006. (määrätön)

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri katalaani