Erdős-Straussin olettamus

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 27. maaliskuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Erdős-Straussin hypoteesi  on lukuteoreettinen hypoteesi, jonka mukaan kaikille kokonaisluvuille rationaalinen luku voidaan esittää kolmen alikvootin murto -osan (osoittimessa yksikön) summana, eli positiivisia kokonaislukuja on kolme , ja siten, että:

.

Vuonna 1948 muotoiltu Pal Erdős ja Ernst Strauss [1] .

Tietokoneen raakavoima vahvisti hypoteesin kaikille luvuille [2] asti , mutta kaikkien todisteiden todistaminen on edelleen avoin ongelma vuodesta 2015 lähtien .

Rajoitukset

Kokonaisluvut , ja niiden ei tarvitse olla erilaisia, mutta jos ne ovat erilaisia, ne muodostavat egyptiläisen murtoluvun , joka edustaa lukua . Esimerkiksi on olemassa kaksi ratkaisua:

.

Lukujen positiivisuuden rajoitus on olennainen , koska jos negatiiviset luvut sallittaisiin, ongelmasta tulisi triviaali. Lisäksi, jos on komposiitti , ratkaisu löytyy välittömästi tai ratkaisuista . Tästä syystä pienimmän vastaesimerkin, jos sellainen on, on oltava alkuluku ja sen on oltava yhdenmukainen jonkin kuudesta äärettömästä aritmeettisesta progressiosta modulo 840 [3] jäsenen kanssa .

Sillä ei ole väliä, ovatko kaikki kolme numeroa , ja niiden on oltava erilaisia ​​vai eivät - jos on ratkaisu kolmelle kokonaisluvulle , ja , silloin on ratkaisu, jolla on eri arvot. Tässä tapauksessa on kuitenkin ainutlaatuinen ratkaisu summan ehtojen permutaatioon asti.

Historia

Haku rationaalilukujen laajentamiseksi alikvoottiosien summiksi juontaa juurensa muinaisen Egyptin matemaatikoilta , jolloin egyptiläisiä murtolukuja käytettiin edustamaan murto-osuuksia. Egyptiläiset keksivät taulukot, kuten 2/n-taulukon Ahmesin papyruksesta , joka sisältää 2/ n murto-osien laajennuksia , joista useimmat sisältävät kaksi tai kolme termiä. Egyptin murto-osat sisältävät yleensä lisärajoituksen, että kaikkien murtolukujen on oltava erillisiä, mutta Erdős-Straussin oletuksen kannalta tällä ei ole merkitystä - jos 4/ n voidaan esittää enintään kolmena alikvoottimurtolukuna, tämä luku voidaan esittää myös summana enintään kolmesta eri alikvoottifraktiosta.

Egyptin murto-osien ahne algoritmi , joka on kuvattu ensimmäisen kerran Fibonacci 1202 :ssa hänen abacus-kirjassaan , löytää tekijöiden jakamisen, jossa jokainen peräkkäinen termi on suurin alikvoottimurto, joka ei ylitä esityksen loppuosaa (alkuperäinen murtoluku, miinus jo lasketut ehdot). Muodon 2/ n tai 3/ n murtoluvuille ahne algoritmi käyttää enintään kahta tai kolmea termiä, vastaavasti. Voidaan osoittaa, että luvulla muotoa 3/ n on kaksikerroinen hajoaminen, jos ja vain, jos n :llä on 2:n modulo 3:n kanssa kongruenttitekijä, ja muissa laajennuksissa tarvitaan kolme murto-osaa [4] .

Näin ollen osoittajien 2 ja 3 kohdalla kysymys siitä, kuinka monta termiä Egyptin murto-osan summassa tarvitaan, on täysin ratkaistu, ja muodon 4/ n murtoluvut ovat ensimmäinen tapaus, jolle jää tarvittava määrä summan termejä tuntematon. Ahne algoritmi antaa kahden, kolmen tai neljän termin summat riippuen n: n modulo 4:n arvosta. Jos n on kongruentti 1 modulo 4:n kanssa, ahnealgoritmi antaa nelikertoimen. Näin ollen pahimmassa tapauksessa 4/ n :n laajennuksessa täytyy olla kolme tai neljä termiä. Erdős-Straussin arvelussa sanotaan, että tässä tapauksessa, kuten osoittajalle 3, laajennuksessa vaadittu termien enimmäismäärä on kolme.

Modulo-vertailu

Kun yhtälön 4/ n = 1/ x + 1/ y + 1/ z molemmat puolet kerrotaan nxyz :llä , saadaan yhtälö 4 xyz = n ( xy + xz + yz ) [5] . Koska yhtälö on algebrallinen yhtälö , jossa on kokonaislukumuuttujia, se on esimerkki diofantiiniyhtälöstä . Hassen periaate diofantiiniyhtälöille sanoo, että diofantiiniyhtälön kokonaislukuratkaisu voidaan saada kokonaislukuratkaisujen yhdistelmänä, joka moduloi kaikki mahdolliset alkuluvut . Periaate ei juurikaan vaikuta Erdős-Straussin oletukseen, koska yhtälö 4 xyz = n ( xy + xz + yz ) on helposti ratkaistavissa mille tahansa kongruenssille minkä tahansa alkuluvun modulo. Modulaarinen aritmetiikka on kuitenkin tärkeä työkalu olettamusten tutkimisessa.

Arvolle n , joka tyydyttää joitain kongruenssit , voidaan löytää laajennus 4/ n :lle suoraan yhtälöstä. Esimerkiksi kun n ≡ 2 (mod 3), 4/ n :llä on hajoaminen

Tässä kukin kolmesta nimittäjästä n , ( n − 2)/3 + 1 ja n (( n − 2)/3 + 1) on polynomi luvussa n ja jokainen on kokonaisluku, kun n ≡ 2 (mod 3). Egyptin murtolukujen ahne algoritmi löytää ratkaisun, jossa on kolme tai vähemmän termiä, jos n ei ole 1 tai 17 (mod 24), mutta tapaus n ≡ 17 (mod 24) kattaa tapauksen 2 (mod 3), joten ainoa tapaus jolle kumpikaan menetelmä ei anna laajennusta kolmeen tai vähemmän termiin, tämä on tapaus n ≡ 1 (mod 24).

Jos olisi mahdollista löytää yllä oleva ratkaisu jollekin toiselle moduulille ja siten muodostaa täydellinen kattava vertailujärjestelmä, ongelma ratkeaisi. Kuitenkin, kuten Mordell [3] osoitti , yhtälöt, jotka tarjoavat ratkaisun n :lle, joka on kongruentti r modulo p :n kanssa, voivat olla olemassa vain r :lle , joka ei ole neliöjäännös mod p . Esimerkiksi 2 ei ole neliöllinen jäännös mod 3, joten identiteetin olemassaolo muuttujille n , jotka ovat yhtäpitäviä 2:n modulo 3:n kanssa, ei ole ristiriidassa Mordellin tuloksen kanssa, mutta 1 on neliöllinen jäännös mod 3, joten samanlaista identiteettiä ei voi olla arvot n , jotka ovat yhtäpitäviä 1 modulo 3:n kanssa.

Mordell listasi identiteetit, jotka tarjoavat kolmitekijähajotelman 4/ n tapauksille n ≡ 2 (mod 3) (kuten edellä), ≡ 3 (mod 4), ≡ 5 (mod 8), ≡ 2 tai 3 (mod 5) ), ≡ 3, 5 tai 6 (mod 7). Nämä identiteetit kattavat kaikki tapaukset, joissa luvut eivät ole kvadraattisia jäännöksiä määritellyissä emäksissä. Suurille emäksille ei kuitenkaan tunneta kaikkia ei-kvadraattisia tähteitä, jotka voidaan kattaa tämän tyyppisillä suhteilla. Mordellin identiteetistä voidaan päätellä, että kaikille n :ille on ratkaisuja , mahdollisesti paitsi 1, 121, 169, 289, 361 tai 529 modulo 840. 1009 on pienin alkuluku, jota kongruenssijärjestelmä ei kata. Yhdistämällä suuria moduuli-identiteettejä Webb (ja muut) osoittivat, että murto-osien lukumäärä, joilla on nimittäjä välissä [1, N ], joka voisi toimia vastaesimerkkinä olettamukselle, on taipumus nollaan, kun N menee äärettömään [6] .

Toisin kuin Mordellin tulokset rajoittavat identiteettien käyttöä, on toivoa käyttää modulaarista aritmetiikkaa olettamuksen todistamiseen. Mikään alkuluku ei voi olla neliö, joten Hasse-Minkowski-lauseen mukaan jos p  on alkuluku, niin on olemassa suurempi alkuluku q , jolloin p ei ole neliöjäännös mod q . Yksi lähestymistapa lauseen todistamiseen on löytää jokaiselle alkuluvulle p suurempi alkuluku q ja kongruenssi, joka ratkaisee 4/ n -tehtävän n ≡ p (mod q ). Jos tämä onnistuisi, todistettaisiin, ettei mikään alkuluku olisi vastaesimerkki, ja näin ollen olettamus todistettaisiin.

Laskennallinen vahvistus

Useat kirjoittajat ovat etsineet suoraa vastaesimerkkiä. Näitä hakuja voidaan nopeuttaa huomattavasti, jos otetaan huomioon vain alkuluvut, joita tunnetut modulovertailuyhtälöt eivät kata [7] . Allan Swettin tekemät haut johtivat siihen johtopäätökseen, että hypoteesi on totta kaikille n :lle 10 14 asti [2] .

Ratkaisujen määrä

Tehtävän 4/ n eri ratkaisujen määrä n: n funktiona löydettiin myös tietokonehaulla pienelle n :lle ja kävi ilmi, että funktio kasvaa hieman epäsäännöllisesti. Arvosta n = 3 alkaen eri nimittäjien eri ratkaisujen määrä on [8] :

1, 1, 2, 5, 5, 6, 4, 9, 7, 15, 4, 14, 33, 22, 4, 21, 9, ….

Jopa suurella n :llä on tapauksia, joissa on suhteellisen pieni määrä ratkaisuja. Joten arvolle n = 73 on vain seitsemän ratkaisua.

Elsholtz ja Tao [9] osoittivat, että 4/ n -hajoamisongelman ratkaisujen keskimääräinen määrä (keskiarvo alkulukujen lukumäärästä n asti ) on ylhäältä rajoitettu polylogaritmisesti n: ssä . Joillekin muille diofantiinitehtäville on mahdollista todistaa, että ratkaisu on olemassa etsimällä asymptoottinen alaraja ratkaisujen lukumäärälle, mutta tällainen todiste on olemassa pääasiassa ongelmille, joissa ratkaisujen lukumäärä kasvaa polynomisesti, joten Elsholtz ja Taon tulos tekee tämän mahdollisuuden epätodennäköiseksi [10] . Elsholtzin ja Taon todistus ratkaisujen lukumäärän rajoituksesta perustuu Bombieri-Vinogradov-lauseeseen , Brun-Tichmarshin lauseeseen ja moduloyhtälöiden järjestelmään, joka on voimassa n :lle, joka on kongruentissa −c :n tai −1/ c :n modulo . 4 ab , jossa a ja b  ovat kaksi positiivista yhteislukua ja c on  mikä tahansa a + b pariton tekijä . Esimerkiksi asettamalla a = b = 1, saadaan yksi Mordellin identiteeteistä, joka on voimassa n ≡ 3 (mod 4).

Ratkaisut negatiivisissa luvuissa

Positiivisuus rajoitus , ja on välttämätöntä. Jos oletetaan negatiivisia lukuja, ratkaisu voidaan saada triviaalisti seuraavilla kahdella identiteetillä:

ja

Parittomalla n :llä on ratkaisu, joka sisältää kolme termiä, joista yksi on negatiivinen [11] :

Yleistykset

Arvelun yleistetty versio sanoo, että millä tahansa positiivisella k :lla on luku N siten, että millä tahansa n ≥ N :llä on ratkaisu yhtälön k / n = 1/ x + 1/ y + 1/ z positiivisina kokonaislukuina . Version tästä oletuksesta k = 5:lle ehdotti Vaclav Sierpinski , ja olettamuksen täysversio johtuu Andrzej Schinzelistä [12] .

Vaikka yleinen hypoteesi epäonnistuu jollekin k:n arvolle, k / n : n murto-osien lukumäärän, joiden n on välillä 1 ja N , ja joilla ei ole kolmen termisen laajenemista, täytyy kasvaa sublineaarisesti N :n funktiona [6] . Erityisesti, jos itse Erdős-Straussin oletus (tapaus k = 4) on väärä, niin vastaesimerkkien määrä kasvaa vain sublineaarisesti. Vielä vahvempi, millä tahansa kiinteällä k :llä vain alilineaarinen n: n arvojen lukumäärä vaatii enemmän kuin kaksi termiä Egyptin murto-osan laajennuksessa [13] . Oletuksen yleistetty versio vastaa väitettä, jonka mukaan hajoamattomien murtolukujen määrä ei ole vain alilineaarinen, vaan rajoitettu.

Jos n on pariton, niin parittoihin [en] egyptiläisiin murtolukuihin laskemisen ongelman mukaisesti voidaan ratkaisuista k / n = 1/ x + 1/ y + 1/ z , joissa x , y ja z ovat erilaiset positiiviset parittomat luvut. Tiedetään, että tässä tapauksessa ratkaisut ovat aina olemassa k = 3 :lle [14] .

Muistiinpanot

  1. ↑ Elsholtz, 2001 . Varhaisin julkaisu on Erdős, 1950
  2. ↑ 12 Allan Swett . Erdos-Strausin arvelu. (linkki ei saatavilla) 
  3. ↑ 12 Mordell , 1967 .
  4. ↑ Eppstein, 1995
  5. ↑ Katso esimerkiksi Sander, 1994 yksinkertaisesta diofantiiniyhtälön muotoilusta olettaen, mikä luvuista x , y tai z on jaollinen n :llä .
  6. ↑ 12 Webb , 1970 ; Vaughan, 1970 ; Li, 1981 ; Yang, 1982 ; Ahmadi, Bleicher, 1998 ; Elsholtz, 2001 .
  7. ↑ Obláth, 1950 ; Rosati, 1954 ; Kiss, 1959 ; Bernstein , 1962 Yamamoto , 1965 Terzi, 1971 ; Jollensten 1976 ; Kotsireas, 1999 .
  8. ↑ OEIS - sekvenssi A073101 _
  9. ↑ Elsholtz, Tao, 2011 .
  10. ↑ Ratkaisujen määrästä 4/p = 1/n_1 + 1/n_2 + 1/n_3 Arkistoitu 4. tammikuuta 2015 Wayback Machinessa , Terence Tao, "Mitä uutta", 7. heinäkuuta 2011.
  11. ↑ Jaroma, 2004 .
  12. ↑ Sierpiński, 1956 ; Vaughan, 1970 .
  13. ↑ Hofmeister, Stoll, 1985 .
  14. ↑ Schinzel, 1956 ; Suryanarayana, Rao, 1965 ; Hagedorn, 2000 .

Kirjallisuus

Linkit