Brun-Tichmarshin lause

Brun-Tichmarshin lause on analyyttisen lukuteorian lause, joka määrittelee ylärajan alkulukujen aritmeettisten kulkujen jakautumiselle . Se kantaa matemaatikoiden Viggo Brunin ja Edward Charles Tichmarshin nimeä .

Lause sanoo, että jos se on yhtä suuri kuin moduuleilla verrattavissa olevien alkulukujen määrä kohdassa , niin: ${\näyttötyyli \pi (x;q,a)}$ $s$ $a$ $q$ $p\leqslant x$

{\displaystyle \pi (x;q,a)\leqslant {2x \over \varphi (q)\log(x/q)))

kaikille . $q<x$

Historia

Montgomery ja Vaughn osoittivat lauseen seulontamenetelmillä vuonna 1973 [1] . Brunin ja Tichmarshin aikaisempi tulos on heikompi versio tästä epätasa-arvosta (lisätekijällä ). ${\näyttötyyli 1+o(1)}$

Buffs

Jos suhteellisen pieni, eli , silloin on parempi raja: $q$ $q\leqslant x^{9/20}$

{\displaystyle \pi (x;q,a)\leqslant {(2+o(1))x \over \varphi (q)\ln(x/q^{3/8)))))

Tämän osoitti Motohashi [2] , joka käytti bilineaarista rakennetta itsensä löytämässä Selberg - seulan jäännöstermissä . Myöhemmin ajatus käyttää rakenteita seulan loppuosassa H. Iwaniecin kombinatorisen seulan laajennuksien ansiosta kehitettiin analyyttisen lukuteorian päämenetelmäksi.

Vertailu Dirichlet'n lauseeseen

Toisin kuin Brun-Tichmarshin lause, Dirichlet-lause alkuluvuista aritmeettisessa progressiossa antaa asymptoottisen arvion, joka voidaan ilmaista muodossa:

\pi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)\log(x)}}\left({1+O\left({\frac {1}{\ kirjaudu x}}\oikea)}\oikea)

mutta tämä arvio voidaan todistaa vain vahvemmilla rajoituksilla vakiolle , ja tämä on Siegel-Wolfitzin lause . ${\displaystyle q<(\log x)^{c))$ $c$

Kirjallisuus

Yoichi Motohashi. Seulamenetelmät ja alkulukuteoria. - Tata IFR ja Springer-Verlag, 1983. - ISBN 3-540-12281-8 .
Christopher Hooley. Seulamenetelmien sovellukset lukuteoriassa. - Cambridge University Press, 1976. - P. 10. - ISBN 0-521-20915-3 .
H. Mikawa. Matematiikan tietosanakirja. - Springer. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
H. L. Montgomery, R. C. Vaughan. Suuri seula // Mathematica. - 1973. - T. 20 . - S. 119-134 . - doi : 10.1112/s0025579300004708 .