Hassen lause

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 1. kesäkuuta 2019 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 14 muokkausta .

Hassen elliptisen käyrän lause , jota kutsutaan myös Hassen rajaksi , antaa arvion elliptisen käyrän pisteiden lukumäärästä äärellisen kentän yli ja rajoittaa arvoja sekä ylä- että alapuolella. Hassen lause vastaa paikallisen zeta-funktion juurien itseisarvon määrittämistä . Tässä muodossa sitä voidaan pitää Riemannin hypoteesin analogina elliptiseen käyrään liittyvien toimintojen alalla.

Historia

Tärkeä kysymys äärellisten kenttien ylittävien elliptisten käyrien teoriassa on saada tehokas algoritmi tietyllä käyrällä olevien pisteiden laskemiseen. Vuonna 1924 Emil Artin esitti olettamuksen, joka rajoittaa elliptisen käyrän pisteiden määrää äärellisessä kentässä ylhäältä ja alhaalta [1] . Tämän olettamuksen todisti Helmut Hasse vuonna 1933, ja se julkaistiin julkaisusarjassa vuonna 1936 [2] . Myöhemmin André Weil yleisti Hassen työn tulokset mielivaltaisen suvun käyriin ja käytti niitä paikallisten zeta-funktioiden tutkimiseen.

Lauseen lause

Hassen elliptisen käyrän lauseessa sanotaan, että äärellisen kentän elliptisen käyrän pisteiden määrä täyttää epäyhtälön . [3] [4] $N$ $\mathbb {F} _{q}$ $|N-(q+1)|\leqslant 2{\sqrt {q))$

Epäyhtälö johtuu siitä tosiasiasta, että se eroaa projektiivisen suoran pisteiden määrästä saman kentän yli kahden kompleksikonjugaattiluvun summalla, jonka moduuli on . $N$ $q+1$ ${\sqrt {q))$

Todiste

Todistuksen aikana tärkein rooli on muunnetulla yhtälöllä

Y^{2}={\frac {X^{3}+aX+b}{x^{3}+ax+b}}

jonka ratkaisuja etsimme muuttujan rationaalisten funktioiden alueelta . Tämän yhtälön kaksi ratkaisua ovat yksinkertaisia ja yhtäläisiä ; . $x$ $X = x, Y = 1$ $X=x^{p},Y=(x^{3}+ax+b)^{{(p-1)/2}}$

Ratkaisujen lisääminen tähän yhtälöön tapahtuu samoilla kaavoilla kuin pisteiden lisääminen elliptisellä käyrällä, eli kolmas piste valitaan käyrän ja suoran leikkauspisteestä ja tuloksena on piste, jossa on koordinaatit

X_{3}=-X_{1}-X_{2}+{\frac {Y_{2}-Y_{1}}{X_{2}-X_{1}}}(x^{3}+ax +b)

Y_{3}={\frac {Y_{2}-Y_{1}}{X_{2}-X_{1}}}(X_{3}-X_{1})+Y_{1}

Seuraavaksi rakennamme äärettömän ratkaisujonon, joka on aritmeettinen progressio erotuksen ja alkutermin kanssa $(x,1)$

(X_{0},Y_{0})=(x^{p},(x^{3}+ax+b)^{{(p-1)/2}})

Jokainen sekvenssin elementti voidaan esittää redusoitumattomana relaationa . Seuraavaksi esittelemme funktion, joka on yhtä suuri kuin polynomin aste . $X_{n}={\frac {P_{n}}{Q_{n}}}$ $d_{n}$ $P_{n}$

Todistusta varten tarvitsemme 4 lemmaa:

Lemma 1 : $d_{{-1}}-d_{0}-1=N_{p}-p$

Todiste lemasta 1:

Summauskaavojen mukaan meillä on , jolloin huomaamme, että osoittajan aste on 1:llä suurempi kuin nimittäjän aste, koska , missä R(x) on polynomi, jonka aste ei ylitä 2p. Laske murto-osan nimittäjä tekemällä tarvittavat vähennykset. Toisaalta, toisaalta , kuten tiedät, $X_{{-1}}=-xx^{p}+{\frac {(1+(x^{3}+ax+b)^{{(p-1)/2}})^{2} (x^{3}+ax+b)}{(xx^{p})^{2}}}$ $X_{{-1}}={\frac {x^{{2p+1}}+R(x)}{(xx^{p})^{2}}}$ $(xx^{p})^{2}=(x(x-1)...(x-p+1))^{2}$

(x^{3}+ax+b)^{{(p-1)/2}}=\vasen({\frac {x^{3}+ax+b}{p}}\oikea)

siksi pelkistäessä vain c-muotoiset tekijät ja c-muodon tekijät putoavat pois nimittäjästä . Antaa olla tekijöiden lukumäärä ensimmäisen tyyppinen, ja olla tekijöiden määrä toisen. Sitten ja ottaen tämä huomioon saamme . Luku on yhtä suuri kuin , koska jokainen jäännösluokka vastaa kahta liuosta ja jäännösluokka - yhtä. Tämä todistaa sen, mitä vaaditaan. $(xk)^{2}$ ${\frac {k^{3}+ak+b}{p}}=-1$ $(xl)$ $l^{3}+al+b=0$ $m$ $n$ $d_{{-1}}=2p-2m-n+1$ $d_{0}=p$ $d_{{-1}}-d_{0}-1=p-2m-n$ $N$ $14 (pm)-n$ $k$ $l$

Lemma 2 : $d_{n}=n^{2}-(d_{{-1}}-d_{0}-1)n+d_{0}$

Todiste lemasta 2:

Päälemman mukaan . Ilmeisesti for ja lemma on totta: olkoon se totta indekseille ja , . Sitten $d_{{n+2}}=2p_{{n+1}}-d_{n}+2$ $n = -1$ $n = 0$ $n$ $n+1$ $n\geqslant 0$

d_{{n+2}}=2p_{{n+1}}-d_{n}+2=2((n+1)^{2}-(d_{{-1}}-d_{0} -1)(n+1)+d_{0})-n^{2}+(d_{{-1}}-d_{0}-1)n-d_{0}+2=(n+2) )^{2}-(d_{{-1}}-d_{0}-1)(n+2)+d_{0})

Lemma on todistettu.

Lemma 3 : Kaikille n:ille, joille funktio X n on määritelty, epäyhtälö Art. R n > art. Q n .

Todiste lemasta 3:

Todistamme tämän epätasa-arvon etsimällä muodollisesti funktion arvon kohdassa . Olkoon seuraavan välilyönnin jälkeen nolla tai ensimmäinen numero $X_n$ $x=\infty$ $m$ [ täsmennä ] , . Rakenteen mukaan a ≠0. Oletetaan päinvastoin. Ottaen huomioon, että murto-osan on oltava neliö, funktion osoittajan ja nimittäjän asteiden eron on oltava pariton luku, jolloin yhdessä antaa . Aritmeettista progressiota varten $m\geqslant 0$ $X|_{{\infty }}=\infty$ $Y|_{{\infty ))$ ${\frac {X_{{n+1}}^{3}+aX_{{n+1}}+b}{x^{3}+ax+b}}$ $X_{{n+1}}$ $Y_{{n+1}}|_{\infty }=0$ $X_{{n+1}}|_{\infty }=0$

Y_{{n+1}}={\frac {1-Y_{n}}{X-X_{n}}}(x-X_{{n+1}})-1

Täältä löydämme

{\frac {1-Y_{n}}{x-X_{n}}}(x-X_{n})|_{\infty }=1

tai

{\frac {1-Y_{n}}{1-{\frac {X_{n}}{x}}}}|_{\infty }=1

tuo on

{\frac {Y_{n}x}{X_{n}}}|_{\infty }=1

{\frac {Y_{n}^{2}x^{2}}{X_{n}^{2}}}|_{\infty }={\frac {(X_{n}^{3}+ aX_{n}+b)x^{2}}{(x^{3}+ax+b)X_{n}^{2}}}|_{\infty }=1

Siitä seuraa, että . Toisaalta $X_{n}|_{\infty }=x|_{\infty }=\infty$ ${\frac {X_{n}}{x}}|_{\infty }=1$

X_{{n+1}}=-x-X_{n}+{\frac {(1-Y_{n}^{2})^{2}}{(x-X_{n})^{2 }}}(x^{3}+ax+b)

Täältä löydämme

{\frac {X_{n}}{x}}=-1-{\frac {X_{n}}{x}}+{\frac {(1-Y_{n}^{2})^{2 }}{(1-{\frac {X_{n}}{x}})^{2}}}(1+{\frac {a}{x^{2}}}+{\frac {b} {x^{3}}})

niin

{\frac {X_{{n+1}}}{x}}|_{\infty }=-1

Mutta tästä tasa-arvosta seuraa, että mikä on ristiriidassa tehdyn oletuksen kanssa . Lemma on todistettu. $Y_{{n+1}}^{2}|_{\infty }$ $Y_{{n+1}}^{2}|_{\infty }=0$

Pääleima : . $d_{{n-1}}+d_{{n+1}}=2p_{n}+2$

Todiste päälemmästä:

Lauseen todistuksen päävaikeudet keskittyvät päälemmaan. Jatketaan sen todistamiseen. mille tahansa polynomin P-symbolille st. R tarkoittaa tämän polynomin astetta.

Pelentämällä yhteiseksi nimittäjäksi ja keräämällä samanlaisia termejä ratkaisun yhteenlaskukaavaan löydämme

X_{{n-1}}={\frac {-(xQ_{n}+P_{n})(xQ_{n}-P_{n})^{2}+(1+Y_{n})^ {2}(x^{3}+ax+b)Q_{n}}{(xQ_{n}-P_{n})^{2}}}={\frac {(xQ_{n}+P_{ n})(xP_{n}+aQ_{n})+2bQ_{n}^{2}+2Y_{n}(x^{3}+ax+b)Q_{n}^{2}}{( xQ_{n}-P_{n})^{2}}}={\frac {S}{(xQ_{n}-P_{n})^{2}}}

Kertomalla termillä termillä edellä saadut kaksi kaavaa ja tekemällä vähennyksiä, saadaan

X_{{n-1}}X_{{n+1}}={\frac {P_{{n-1)P_{{n+1}}}}{Q_{{n-1}}Q_{ {n+1))))={\frac {(xP_{n}-aQ_{n})^{2}-2b(xQ_{n}+P_{n})}{(xQ_{n}-P_ {n})^{2}}}

Seuraavan päättelyn tarkoituksena on osoittaa, että . Tästä yhtälöstä saamme suoraan päälemman, itse asiassa siitä seuraa se $Q_{{n-1}}*Q_{{n+1}}=(xP_{n}-aQ_{n})^{2}$

P_{{n-1}}*P_{{n+1}}=(xP_{n}-aQ_{n})^{2}-4bQ_{n}(xQ_{n}+P_{n})

tarkoittaa Art. = Art. , koska Lemman 3 perusteella polynomin päätermi osuu yhteen polynomin päätermin kanssa . Todistetaan nyt haluttu tasa-arvo. $d_{{n-1}}+d_{{n+1}}=$ $(P_{{n-1}}P_{{n+1}})$ $(x^{2}P_{n}^{2})=2d_{n}+2$ $P_{{n-1}}P_{{n+1}}$ $x^{2}P_{n}^{2}$

Muista, että polynomien alueella on ainutlaatuinen tekijöiden jakaminen redusoitumattomiksi tekijöiksi. Antaa olla redusoitumaton polynomi ja antaa olla mikä tahansa positiivinen kokonaisluku. Sanotaan, että polynomi jakaa tiukasti jonkin redusoitumattoman rationaalisen funktion, jos sen osoittaja on jaollinen :llä, mutta ei jaollinen :llä . Vaaditun yhtäläisyyden todistamiseksi on tarpeen todeta, että jos polynomi tiukasti jakaa , niin se jakaa tiukasti myös . Todellakin, silloin osamäärä on polynomi, joka on suhteellisen alkuluku polynomin (xQ_n-P_n)^2 suhteen. Mutta koska yllä olevasta yhtälöstä seuraa, että funktio on polynomi, niin edellisistä yhtälöistä <X_{n-1}> ja <X_{n+1}> käy helposti ilmi, että nimittäjät , jakavat polynomin . Näin ollen osamäärä voi olla vain vakio, ja tämä vakio on yhtä suuri kuin yksi johtuen osoittajien johtavien termien hyväksytystä normalisoinnista . $E$ $e$ $E^{e}$ $E^{e}$ $E^{{e+1}}$ $E^{e}$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $Q_{{n-1}}Q_{{n+1}}$ ${\frac {Q_{{n-1}}Q_{{n+1}}}{(xQ_{n}-P_{n})^{2}}}$ $Y_{n}(x^{3}+ax+b)Q_{n}^{2}$ $Q_{{n-1}}$ $Q_{{n+1}}$ $(xQ_{n}-P_{n})^{4}$ ${\frac {Q_{{n-1}}Q_{{n+1}}}{(xQ_{n}-P_{n})^{2}}}$ $P_{n}$

Jaamme kaikki polynomin redusoitumattomat jakajat kolmeen ryhmään. Ensimmäiseen ryhmään kuuluvat ne polynomit, jotka jakavat R:n, mutta eivät jaa S:tä. Tästä seuraa välittömästi, että jos polynomi tiukasti jakaa , niin se jakaa tiukasti nimittäjän ja on nimittäjän kanssa samassa alkuluvussa . Toiseen ryhmään kuuluvat ne polynomit , jotka jakavat S:n, mutta eivät jaa R:tä. Samalla tavalla käy ilmi, että jos polynomi jakaa tiukasti , niin se jakaa tiukasti nimittäjän ja on yhteisalkunimittäjän kanssa . Lopuksi kolmanteen ryhmään kuuluvat ne polynomit , jotka jakavat sekä R:n että S:n. Koska $E$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $E^{e}$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $Q_{{n+1}}$ $Q_{{n-1}}$ $>E$ $E^{e}$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $Q_{{n-1}}$ $Q_{{n+1}}$ $E$

P_{n}=xQ_{n}(moodi)

seuraa sitä

R=2Q_{n}(1-Y_{n})(x^{3}+ax+b)(moodi)

S=2Q_{n}(1+Y_{n})(x^{3}+ax+b)(moodi)

Polynomi , joka jakaa polynomin , ei voi jakaa, koska ja ovat koprime. Tästä ja viimeisistä kaavoista seuraa, että , joten jos jakaa ja , niin tiukasti jakaa polynomin (oletuksena tällä polynomilla ei ole useita juuria). $E$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $Q_{n}$ $P_{n}$ $Q_{n}$ $S+R=4Q_{n}^{2}(x^{3}+ax+b)moE$ $E$ $R$ $S$ $E$ $x^{3}+ax+b$

Joten, anna olla redusoitumaton jakaja polynomin . Oletetaan ensin, että ≠±1 (määritelmän mukaan tämä merkintä tarkoittaa, että funktion pelkistymättömän esityksen osoittaja ±1 ei ole jaollinen :llä ). Siitä seuraa, että tiukasti jakaa , koska polynomi on jaollinen vähintään . Samoin käy ilmi, että jakaa , mutta sitten seuraa, että tiukasti jakaa . $E$ $x^{3}+ax+b$ $Y_{n}$ $(tila)$ $Y_{n}$ $E$ $E$ $R$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $E^{2}$ $E$ $S$ $E^{2}$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$

Näin ollen on vielä tarkistettava tapaus =±1 . Olkoon esimerkiksi (toinen jäsennetään samalla tavalla). Sitten tiukasti jakaa . Olkoon tiukasti jakaa , ja tiukasti jakaa . Ilmeisesti jakaa tiukasti myös funktion . Mutta $Y_{n}+$ $(tila)$ $Y_{n}=-1 (tila)$ $E$ $S$ $E^{2}$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $E^{{2f+1}}$ $(1+Y_{n})(X^{3}+ax+b)Q_{n}^{2}$ $E^{{2f}}$ $(1+Y_{n})^{2}(1-Y_{n})^{2}=(1-Y_{n}^{2})^{2}$

(1-Y_{n}^{2})^{2}={\frac {(x^{3}+ax-X_{n}^{2}-aX_{n}^{2})^{ 2}}{(x^{3}+ax+b)^{2}}}={\frac {(x-X_{n})^{2}(x^{2}+xX_{n}+ X_{n}^{2}+a)^{2}}{(x^{3}+ax+b)^{2}}}

Lisäksi , ≠0 , joten ja siksi luku on pienempi kuin potenssi, johon tiukasti jaetaan . Siksi jakaa tiukasti . Tästä seuraa, että tiukasti jakaa . Q.E.D. $x=X_{n}(tila)$ $x^{2}+xX_{n}+X_{n}^{2}=3x^{2}+a$ $(tila)$ $2f = 2e-2$ $2f+1=2e-1$ $E$ $(xQ_{n}+P_{n})(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $E^{{2e}}$ $RS$ $E^{{2e}}$ $Q_{{n-1}}Q_{{n+1}}$

Lemmien 1 ja 2 mukaan , ja tämä neliötrinomi ottaa ei-negatiivisia arvoja kaikille , eikä sillä voi määritelmän mukaan olla kahta peräkkäistä nollaa. Tästä seuraa, että erottaja ei voi olla positiivinen, muuten oli 2 juuria , välillä ja , ja numeroita, eivätkä ne voi olla samanaikaisesti kokonaislukuja. Näin ollen $d_{n}=n^{2}-(Np)n+p$ $n$ $a,b$ $n$ $n+1$ $ab$ $a+b$

(Np)^{2}-4p\leqslant 0

niin

|Np|\leqslant 2{\sqrt {p}}

. Lause on todistettu.

Todistus käyttämällä Frobenius-endomorfismia

Hassen lauseelle on olemassa vaihtoehtoinen todistus, joka perustuu Frobeniuksen endomorfismiin .

Algebrallisella sulkeutuneella äärellisellä kentällä otetaan käyttöön kartoitus: $\mathbb {F} _{q}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} _{q))))$

${\begin{array}{lcl}\phi _{q}:{\overline {\mathbb {F} _{q))}\rightarrow {\overline {\mathbb {F} _{q)) }\\\qquad x\mapsto x^{q}\end{array}}$

Se vaikuttaa elliptisen käyrän pisteisiin seuraavasti: , . $E(\mathbb {F} _{q})$ $\phi _{q}(x,y)=(x^{q},y^{q})$ $\phi _{q}(\infty )=\infty$

Todistuksessa käytetään seuraavia 4 lemmaa.

Lemmas

Lemma 1. Kentän ja pisteiden yli olevaa elliptistä käyrää varten meillä on: $E(\mathbb {F} _{q})$ $\mathbb {F} _{q}$ $(x,y)\in E({\overline {\mathbb {F} _{q))})$

1) , $\phi _{q}(x,y)\in E({\overline {\mathbb {F} _{q))})$

2) jos ja vain jos . $(x,y)\in E(\mathbb {{F}_{q}} )$ $\phi _{q}(x,y)=(x,y)$

Lemma 2. Elliptiselle käyrälle kartoitus on asteisen käyrän endomorfismi , eikä se ole erotettavissa. $E(\mathbb {F} _{q})$ ${\displaystyle \phi _{q))$ $E$ $q$ ${\displaystyle \phi _{q))$

Lemma 3. Olkoon elliptinen käyrä ja määritellään . Sitten $E(\mathbb {F} _{q})$ $n\geqslant 1$

1) , $\ker(\phi _{q}-1)=E(\mathbb {F} _{q^{n)))$

2) on erotettava endomorfismi, ja siksi . $\phi _{q}^{n}-1$ $|E(\mathbb {F} _{q^{n)))|=\deg(\phi _{q}^{n}-1)$

Lemma 4. Merkitse . Antaa olla kokonaislukuja ja . Sitten . $a=q+1-|E(\mathbb {F} _{q})|=q+1-\deg(\phi _{q}-1)$ $r,s$ $\gcd(s,q)=1$ $\deg(r\phi _{q}-s)=r^{2}q+s^{2}-rsa$

Perustuu Lemma 4:ään ja siitä lähtien , niin käy ilmi $\deg(r\phi _{q}-s)\geqslant 0$

q{\biggl (}{r \over s}{\biggl )}^{2}-a{\biggl (}{r \over s}{\biggl )}+1\geqslant 0

minne tahansa . $r,s$ $\gcd(s,q)=1$

Rationaalilukujen joukko , jossa , on tiheä . Siten merkitsemällä , saamme epätasa-arvon tosi kaikille todellisille . $r/s$ $\gcd(s,q)=1$ $\mathbb {R}$ $r/s=x$ $qx^{2}-ax+1\geqslant 0$ $x$

Koska polynomin diskriminantti on pienempi tai yhtä suuri kuin nolla, eli meillä on . $a^{2}-4q\leqslant 0$ $|a|\leqslant 2{\sqrt {q))$

Frobeniuksen endomorfismiin perustuva todistus Hassen lauseesta on myös Schuf-algoritmin taustalla . Tämän algoritmin avulla voit laskea pistemäärän tietylle elliptiselle käyrälle polynomiajassa.

Hasse-Weil border

Hasse-Weilin raja on yleistys korkeampien suvun algebrallisten käyrien Hasse-rajasta. Olkoon suvun ehdottoman redusoitumaton ei-singulaarinen käyrä äärellisen kentän yli . Tällöin tämän käyrän pisteiden määrä tyydyttää epäyhtälön $C$ $g$ $\mathbb {F} _{q}$ $\#C({\mathbb {F}}_{q})$

|\#C(\mathbb {F} _{q})-(q+1)|\leqslant 2g{\sqrt {q)).

Kuten tavanomaisen Hasse-rajoituksen tapauksessa , tämä tulos vastaa käyrän paikallisen zeta-funktion juurien absoluuttisen arvon määrittämistä ja on analoginen Riemmannin hypoteesin kanssa käyrään liittyvien funktioiden alalla. Elliptisten käyrien tapauksessa Hasse-Weil-raja osuu yhteen tavallisen Hasse-rajan kanssa, koska elliptisillä käyrillä on suku . $C$ $g=1$

Hasse-Weil-raja on seurausta yleisemmistä Weyl -oletuksista rajallisen kentän projektitiivisille lajikkeille , jotka André Weyl muotoili vuonna 1949 [5] ja jotka hän todisti käyrien tapauksessa.

Sovellus

Kryptografia

Kryptografiassa käytetään elliptisiin käyriin perustuvia salausalgoritmeja. Näiden algoritmien vakaus perustuu diskreetin logaritmin laskemisen monimutkaisuuteen elliptisellä käyrällä olevien pisteiden ryhmässä. Koska elliptisellä käyrällä ei ole vieläkään nopeita algoritmeja diskreetin logaritmin laskemiseen, elliptisten käyrien käyttö voi nopeuttaa huomattavasti salausalgoritmeja pienentämällä käytetyn moduulin kokoa . Hassen lause sen sijaan mahdollistaa algoritmin riittävän monimutkaisuuden edellyttämän alkuluvun koon määrittämisen erittäin tarkasti . $s$ $q$

Yhteys paikalliseen Riemannin zeta-funktioon

Kentän yli olevan elliptisen käyrän zeta-funktio voidaan kirjoittaa muodossa $E$ $\mathbb {F} _{q}$

{\displaystyle Z_{E}(t)={1-a_{q}(E)t+qt^{2} \over (1-t)(1-qt)))

missä ja on projektitiivisen käyrän affiinisten pisteiden lukumäärä . Riemannin arvelu äärellisten kenttien käyriin sanoo, että kaikki funktion nollat ovat suoralla tai vastaavasti täyttävät yhtälön . ${\displaystyle a_{q}=q-N_{q))$ $N_q$ $E$ $\zeta _{E}(s)=Z_{E}(q^{-s})$ $\operatorname {Re} (s)=1/2$ $|q^{s}|={\sqrt {q}}$

On helppo osoittaa, että elliptisille käyrälle tämä olettamus vastaa Hassen lausetta. Todellakin, jos , niin on juuri neliöpolynomin jonka diskriminantti on Hassen lause. Tämä tarkoittaa, että polynomin juuret ovat kompleksikonjugaatti ja , mikä todistaa Riemannin hypoteesin. Päinvastoin, Riemannin hypoteesin täyttyminen edellyttää tasa-arvoa , mikä tarkoittaa, että juuret ovat monimutkaisia konjugaattia, mikä tarkoittaa, että diskriminantti on ei-positiivinen, mikä todistaa Hassen lauseen. $Z_{E}(q^{-s})=0$ ${\displaystyle q^{s))$ $f(u)=u^{2}-a_{q}u+q$ $a_{q}^{2}-4q\leqslant 0$ ${\displaystyle u_{1},u_{2))$ $f(u)$ $|q^{s}|=|u_{1}|=|u_{2}|={\sqrt {q))$ $|u_{1}|=|u_{2}|={\sqrt {q))$ ${\displaystyle u_{1},u_{2))$ $f(u)$

Muistiinpanot

↑ Artin, Emil . Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil // Mathematische Zeitschrift : Journal. - Luxemburg: Springer-Verlag , 1924. - Voi. 19, ei. 1. - s. 207-246. — ISSN 0025-5874 . - doi : 10.1007/BF01181075 . — . — MR 1544652 Arkistoitu 11. syyskuuta 2018 Wayback Machinessa .
↑ Hasse, Helmut . Zur Theorie der abstrakten elliptinen Funktionenkörper. I, II & III // Crelle's Journal : päiväkirja. - Berliini: Walter de Gruyter , 1936. - Voi. 1936, nro. 175. - ISSN 0075-4102 . - doi : 10.1515/crll.1936.175.193 . — .
↑ Hassen sidottu elliptisille käyrälle äärellisten kenttien yli . PlanetMath . Haettu 18. joulukuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 27. tammikuuta 2021. (määrätön)
↑ Bolotov A. A., Gashkov S. B., Frolov A. B., Chasovskikh A. A. Perusjohdanto elliptiseen kryptografiaan: Algebralliset ja algoritmiset perusteet. - M . : KomKniga, 2006. - T. 1. - 328 s. — ISBN 5-484-00443-8 .
↑ Weil, Andre . Yhtälöiden ratkaisujen lukumäärä äärellisissä kentissä // Bulletin of the American Mathematical Society : Journal. - N. Y .: American Mathematical Society , 1949. - Voi. 55, nro. 5. - s. 497-508. — ISSN 0002-9904 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 . — MR 0029393 Arkistoitu 1. toukokuuta 2018 Wayback Machinessa

Kirjallisuus

Hurt, Norman E. (2003), Many Rational Points. Koodausteoria ja algebrallinen geometria , voi. 564, Matematiikka ja sen sovellukset , Dordrecht: Kluwer / Springer-Verlag , MR : 2042828 , ISBN 1-4020-1766-9
Niederreiter, Harald & Xing, Chaoping (2009), Algebraic Geometry in Coding Theory and Cryptography , Princeton: Princeton University Press , MR : 2573098 ,, ISBN 978-0-6911-0288-7
Luku V Silverman, Joseph H. (1994), The aritmetic of elliptic curves , voi. 106, Graduate Texts in Mathematics , New York: Springer-Verlag , MR : 1329092 , ISBN 978-0-387-96203-0
Washington, Lawrence C. (2008), Elliptiset käyrät. Numeroteoria ja kryptografia, 2. painos , Diskreetti matematiikka ja sen sovellukset , Boca Raton: Chapman & Hall / CRC Press , MR : 2404461 ,, ISBN 978-1-4200-7146-7
Luku 10 Gelfand, A.O. & Linnik, Yu.V. (1962), Elementary Methods in Analytic Number Theory , Moskova: Fizmatgiz
Chahal, JS & Osserman, B. (2008), The Riemann Hypothesis for Elliptic Curves , Mathematical Association of America

Käyrät

Määritelmät

Muuntunut

Ei-tasomainen

Litteä
algebrallinen

Kartioprofiilit

3. tilaus ( kuutio )

Elliptinen	Elliptinen käyrä Jacobin elliptiset funktiot Elliptinen integraali Elliptiset toiminnot
Muut	Verziera Agnesi Karteesinen arkki Maklauriinin trisektori Chirnhaus Ophiurida Strophoid Puolikuutioinen paraabeli Trident Diokleen sissoidi

4. tilaus

Lemniscates

Lähentäminen

Spline
- B-spline
- Kuutio
- monospline
- Tasoitus
- Täydellinen
- Eremiitti
beziers

Sykloidinen

Muut

Kiero maatila

Tasainen
transsendenttinen

Spiraalit	Arkhimedov Maatila Galilea hyperbolinen "Sauva" Kultainen clothoid logaritminen sinimuotoinen
Sykloidinen	trokoidi Cycloid Epitrochoid Episykloidi Hypotrochoid Hyposykloidi Quasitrochoid "Ruusu" quadrifolium Nopea laskeutuminen (brachistochrone, sykloidikaari)
Muut	Quadratrix sisäkorvakalvo ajojahti traktori trokoidi ketjun linja ylösalaisin kaareva vakio leveys sinusoidi Ribokura Super kaava Superellipsi Reuleaux'n kolmio monikulmio Lissajous-hahmot

fraktaali

Yksinkertainen	Gilbert Gosper lohikäärmeen käyrä Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologinen	Sierpinski-lautasliina Sierpinski matto Sieni Menger pyöreä fraktaali Apolloniuksen matto