Paikallinen zeta-funktio

Kongruenssi zeta -funktio on prototyyppi tärkeän Hasse-Weilin L-funktion rakentamiseen , sarjan muotoa

Z(V,T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}T^{k}\oikea )

rakennettu äärellisissä kentissä affiinin tai projektiivisen muunnelman pisteiden lukumäärän sarjaan. $N_{k}$ $V$

Paikallinen zeta-funktio . Sille on olemassa analogi Riemannin hypoteesille . $\zeta (X,s)=Z(X,p^{-s})$

Määritelmä

Antaa olla affiini tai projektiivinen lajike rajallisen kentän yli . Moninkertaisen zeta-funktio määritellään muodolliseksi potenssisarjaksi $V$ $\mathbb {F} _{q}$ $V$ $\mathbb {F} _{q}$

Z(V/\mathbb {F} _{q},T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k)){ k}}T^{k}\oikea)

missä , ja on pisteiden määrä . Luvut ovat äärellisiä johtuen minkä tahansa äärellisen ulottuvuuden affiinin tai projektiivisen muunnelman äärellisyydestä äärellisessä kentässä. $\exp(u)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {u^{k}}{k!)}}$ $N_{k}$ $V$ $\mathbb {F} _{q^{k))$ $N_{k}$

Paikallinen Zeta-funktio on funktio , tässä on kentän ominaisuus , on monimutkainen muuttuja. $\zeta (X,s)=Z(X,p^{-s})$ $s$ $\mathbb {F} _{q}$ $s\in \mathbb {C}$

Esimerkkejä

Otetaan yhtälö , geometrisesti tämä tarkoittaa, että se on vain piste. Tässä tapauksessa kaikki . Sitten $x=0$ $V$ $N_{k}=1$

Z(V,t)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {T^{k}}{k}}\right)=\exp (-\ln(1-T))={\frac {1}{1-T))

Antaa olla projektiivinen viiva yli . Jos , niin sillä on piste: kentän kaikki kohdat ja ääretön piste. Näin ollen $V$ $0x=0$ $F$ $F=\mathbb {F} _{q^{k))$ $V$ $N_{k}=q^{k}+1$

Z(V,T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {(qT)^{k)){k))+{\frac {T^{k}}{k}}\right)=\exp \left(-\ln(1-qT)-\ln(1-T)\right)={\frac {1}{(1- T)(1-qT)}}

Ominaisuudet

$Z(X,T)$ esitetään äärettömänä tuotteena

Z(X,T)=\prod \limits _{x}(1-T^{\deg(x)})^{-1},

jossa kulkee kaikkien suljettujen pisteiden läpi ja on aste . Edellä käsitellyssä tapauksessa suljetut pisteet ovat pisteiden ekvivalenssiluokkia , joissa kaksi pistettä ovat ekvivalentteja, jos ne ovat konjugoituja kentän yli . Aste on koordinaattien synnyttämän kentän laajenemisaste . Silloin äärettömän tulon logaritminen derivaatta on yhtä suuri kuin generoiva funktio $x$ $X$ $\deg x$ $x$ $X=V$ $x=[P]$ $P\in {\overline {V}}$ $F$ $x$ $F$ $P$ $Z(X,T)$

N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,

Jos on elliptinen käyrä, niin tässä tapauksessa zeta-funktio on yhtä suuri kuin $E$

Z(E/\mathbb {F} _{q},T)={\frac {1-2a_{E}T+qT^{2}}{(1-T)(1-qT)} }

Jos , niin suppenee avoimeen ympyrään, jonka säde on . ${\displaystyle (\forall k)N_{k}<CA^{k))$ $Z(T)$ $R=A^{-1}$

Jos , ja ovat vastaavat zeta-funktiot, niin . ${\displaystyle N_{k}=N_{k}^{(1)}+N_{k}^{(2)))$ $Z(T),Z^{(1)}(T),Z^{(2)}(T)$ $Z(T)=Z^{(1)}(T)Z^{(2)}(T)$

Jos , niin . $N_{k}=\beta _{1}^{k}+...+\beta _{t}^{k}-\alpha _{1}^{k}-...-\ alfa _{s}^{k}$ $Z(T)={\frac {(1-\alpha _{1}T)...(1-\alpha _{s}T)}{(1-\beta _{1}T) ...(1-\beta _{t}T)}}$

Sovellus

Hasse-Weylin L-funktio määritellään kongruenssi-zeta-funktiona seuraavasti

L(V,s)={\dfrac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\prod \limits _{p}Z(V/\mathbb {F} _{p}, p^{-s})}}

Riemannin arvelu äärellisten kenttien ylittävistä käyristä

Jos on projektiivinen ei- singulaarinen käyrä yli , niin se voidaan osoittaa $C$ $F$

Z(C,T)={\frac {P(t)}{(1-T)(1-qT)))\ ,

missä on astepolynomi , missä on käyrän suku . Kuvitella $P(t)$ $2g$ $g$ $C$

P(t)=\prod \limits _{i=1}^{2g}(1-\omega _{i}t)\ ,

niin Riemannin hypoteesi äärellisten kenttien ylittävistä käyristä väittää, että

{\displaystyle |\omega _{i}|=q^{1/2))

Paikalliselle zeta-funktiolle tämä lause vastaa sitä tosiasiaa, että juurien reaaliosa on . $\zeta (X,s)$ $1/2$

Esimerkiksi elliptiselle käyrälle saadaan tapaus, jossa juuria on tasan 2, ja sitten voimme osoittaa, että juuren absoluuttiset arvot ovat yhtä suuret . Tämä tapaus vastaa Hassen lausetta rajallisen kentän käyrän pisteiden lukumäärän arvioinnista. ${\sqrt {q))$

Zeta-funktion yleiset kaavat

Frobenius-morfismin Lefschetzin jäljityskaavasta seuraa , että

Z(X,T)=\prod \limits _{i=0}^{2\dim X}\det(1-T\operaattorinimi {Frob} _{q}|H_{c}^{i }({\overline {X)),{\mathbb {Q} }_{\ell }))^{(-1)^{i+1)).

Tässä on rajallisen tyypin erotettavissa oleva kaavio äärellisen kentän yli , ja se on Frobenius-geometrinen toiminta kompaktisti tuetulle -adic etale -kohomologialle . Tämä osoittaa, että annettu zeta-funktio on rationaalinen funktio . $X$ $\mathbb {F} _{q}$ $\operaattorin nimi {Frob} _{q}$ $\ell$ $\overline {X}$ $T$

Kirjallisuus

Ireland K., Rosen M. Klassinen johdatus nykyaikaiseen lukuteoriaan. - M .: Mir, 1987. - 428 s.
Koblitz N. Johdatus elliptisiin käyriin ja modulaarisiin muotoihin. - M .: Mir, 1988. - 319 s.
Hartshorne R. Algebrallinen geometria. - M .: Mir, 1981. - 597 s.