Hasse-Weil zeta-funktio

Hasse-Weylin zeta-funktio on analogi Riemannin zeta-funktiolle , joka on rakennettu monimutkaisemmalla tavalla äärellisessä kentässä olevien moniston pisteiden lukumäärästä. Tämä on monimutkainen analyyttinen funktio, jonka elliptisten käyrien käyttäytyminen lähellä pistettä 1 liittyy läheisesti tämän elliptisen käyrän rationaalisten pisteiden ryhmään.

Hasse-Weyl zeta -funktio globaalina L-funktiona

Hasse-Weyl zeta-funktio, joka on liitetty algebralliseen lukukenttään määritettyyn algebralliseen variaatioon , on yksi kahdesta tärkeimmistä L-funktioiden tyypeistä . Tällaisia L - funktioita kutsutaan globaaleiksi , koska ne määritellään paikallisten zeta-funktioiden Euler- tuloksi . Ne muodostavat toisen globaalien L -funktioiden kahdesta pääluokasta , ja toinen on automorfisiin esityksiin liittyvät L -funktiot . Oletetaan hypoteettisesti, että on olemassa vain yksi olennainen globaali L -funktio, jolla on kaksi kuvausta (yksi niistä tulee algebrallisesta variaatiosta, toinen automorfisesta esityksestä); tämä olisi laaja yleistys Taniyama-Shimura-oletuksesta , joka on syvällisin ja viimeisin tulos (vuodelta 2009) lukuteoriassa . $V$ $K$

Hasse-Weilin zeta-funktion kuvaus sen Euler-tuotteen äärelliseen määrään tekijöitä on suhteellisen yksinkertainen. Tämä tuli Hassen ja Weylin alkuperäisistä pohdinnoista , jotka motivoivat tapausta, jossa on ainoa piste ja Riemannin zeta-funktio. $V$

Jos u on ei- singulaarinen projektiivinen muunnelma , voidaan ajatella modulo - pelkistystä lähes kaikille alkuluvuille , eli algebrallinen variaatio äärellisen kentän yli . Lähes kaikille se ei ole erikoista. Määrittelemme Dirichlet - sarjan kompleksiseksi muuttujaksi , joka on paikallisten zeta - funktioiden kaikkien alkulukujen ääretön tulo . Sitten määritelmämme mukaan on hyvin määritelty vain kertomalla rationaalisella funktiolla to äärellisessä määrässä muodon argumentteja . $K=\mathbb {Q}$ $V$ $s$ $V$ $s$ $V_{p}$ $\mathbb {F} _{p}$ $s$ $V_{p}$ $Z_{V/\mathbb {Q} }(s)$ $s$ $\zeta _{V,p}(p^{-s})$ $Z(s)$ ${\displaystyle p^{-s))$

Koska tämä epämääräisyys on suhteellisen vaaraton ja sillä on meromorfinen laajennus kaikkialla, on tunne, että ominaisuudet ovat siitä olennaisesti riippumattomia. Erityisesti, vaikka funktionaalisen yhtälön tarkka muoto , riippuu varmasti puuttuvista tekijöistä, tällaisen funktionaalisen yhtälön olemassaolo ei riipu näistä tekijöistä. $Z(s)$ $Z(s)$

Hasse-Weilin zeta-funktion selkeämpi määrittely mahdollisti etale- kohomologian kehittymisen ; he selittävät siististi mitä tehdä puuttuville tekijöille huonolla vähennyksellä. Haaroitusteorian yleisten periaatteiden mukaan alkuluvut, joilla on huono pelkistys, kuljettavat hyvää tietoa ( johdinteoria ). Tämä ilmenee étalien teoriassa Ogg-Neron-Shafarevich-kriteerissä hyvälle pelkistykselle , eli että tietyssä mielessä on hyvä pelkistys kaikissa alkuluvuissa , joille Galois'n esitys ryhmän etale -kohomologiassa on haarautumaton . Heille paikallisen zeta-funktion määritelmä voidaan palauttaa ominaispolynomin suhteen, jossa on Frobenius - endomorfismi . Mitä tapahtuu haarautuessa , on jotain, joka ei ole triviaalia inertiaryhmässä . Tällaisten alkulukujen määrittely on korjattava ottamalla esityksen suurin osamäärä, johon inertiaryhmä vaikuttaa triviaaliesityksen avulla . Tällä tarkennuksella määritelmä voidaan päivittää onnistuneesti lähes kaikista Euler -tuotteen osapuolista. Serre ja Deligne kehittivät funktionaalisen yhtälön seuraukset 1960-luvun lopulla; itse funktionaalista yhtälöä ei ole todistettu ollenkaan. $s$ $\rho$ $V$ $\rho (\operaattorinimi {Frob} (p)),$ $\operaattorin nimi {Frob} (p)$ $s$ $s$ $\rho$ $I(p)$ $\rho$ $Z(s)$ $s$ $s$

Esimerkki: elliptinen käyrä rationaalisten lukujen kentän päällä

Antaa olla elliptinen käyrä yli c kapellimestari , Ja olla mielivaltainen alkuluku. Sitten sillä on hyvä pelkistys kaikille , ei jakamalla , sillä on kertova pelkistys , jos se jakaa , mutta ei jaa , ja sillä on additiivinen pelkistys muissa tapauksissa (eli jos se jakaa ). Sitten Hasse-Weilin zeta-funktio saa muodon $E$ $\mathbb {Q}$ $N$ $s$ $E$ $s$ $N$ $s$ $N$ $p^{2}$ $N$ $p^{2}$ $N$ $E$

Z_{E/\mathbb {Q} }(s)={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{L(s,E))).\,

Tässä on tavallinen Riemannin zeta-funktio, ja sitä kutsutaan nimellä L - funktio , jolla on muoto $\zeta (s)$ $L(s,E)$ $E/\mathbb {Q}$

L(s,E)=\prod \limits _{p}L_{p}(s,E)^{-1}\,

missä annettu , $s$

L_{p}(s,E)={\begin{cases}(1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}),&{\text{ jos )) p\nmid N\\(1-a_{p}p^{-s}),&{\text{ if }}p\mid N{\text{ ja }}p^{2}\nmid N\\ 1,&{\text{ if }}p^{2}\mid N\end{cases}}

missä, kun kyseessä on hyvä pelkistys , ja jos kyseessä on kertova vähennys , riippuen siitä, erotetaanko se jakamattomalla kertolaskulla . $a_{p}=p+1-{\text{pisteiden määrä }}E{\bmodissa {p}}$ $a_{p}=\pm 1$ $E$ $s$

Hasse-Weylin hypoteesi

Hasse-Weilin arvelussa todetaan, että Hasse-Weilin zeta-funktio on laajennettava analyyttisesti meromorfiseen funktioon koko kompleksitasolla, ja sen on täytettävä funktionaalinen yhtälö, joka on samanlainen kuin Riemannin zeta-funktion funktionaalinen yhtälö. Rationaalilukujen ylittävien elliptisten käyrien osalta Hasse-Weilin oletus seuraa modulaarisuuslauseesta .

Katso myös

Aritmeettinen zeta-funktio

Kirjallisuus

Koblitz N. Johdatus elliptisiin käyriin ja modulaarisiin muotoihin. - Novokuznetsk: IO NFMI, 2000. - S. 99. - 312 s. - ISBN 5-8032-3325-0 .
[La. J. Bersteinin ja St. Gelbartin toimittamat teokset Introduction to the Langlands Program] = An Introduction to the Langlands Program. - Moskova, Izhevsk: Tutkimuskeskus "säännöllinen ja kaoottinen dynamiikka", 2008. - S. 118. - 368 s. — ISBN 978-5-93972-697-9 .

L -funktiot lukuteoriassa _
Analyyttisiä esimerkkejä	Riemannin zeta-funktio L -Dirichlet-funktiot Hecke-merkkien L -funktiot Automorfiset L -funktiot Selberg-luokka
Algebrallisia esimerkkejä	Dedekind zeta -funktiot Artin L -funktiot Hasse-Weyl L -funktiot Motiivi L -funktiot
Lauseet	Analyyttinen kaava luokkien lukumäärälle Riemann-von Mangoldtin kaava Weilin hypoteeseja
Analyyttiset hypoteesit	Riemmannin hypoteesi Yleistetyt Riemannin hypoteesit Lindelöfin hypoteesi Ramanujan hypoteesi Artinin hypoteesi
Algebralliset olettamukset	Birch-Swinnerton-Dyer hypoteesi Delignen arvelu Beilinsonin hypoteesit Bloch-Katon arvelu Langlandsin hypoteesi
p - adic L -funktiot	Iwasawan teorian päähypoteesi Selmer Group Euler-järjestelmä