Tiivistäminen

Tiivistäminen on toimenpide, joka muuttaa topologiset avaruudet kompakteiksi avaruuksiksi .

Määritelmä

Muodollisesti tilan tiivistäminen määritellään pariksi , jossa on kompakti, upotukseksi , joka on tiheä . $X$ $(Y,\;f)$ $Y$ $f:X \-Y$ $f(X)$ $Y$

Esimerkkejä

Todellinen projektiivinen taso on yksi euklidisen tason kompaktifikaatioista . Sen toinen (yhden pisteen) kopaktifikaatio on homeomorfinen pallolle.

Yhden pisteen tiivistys

Yhden pisteen tiivistys (tai Aleksandrov - tiivistys ) järjestetään seuraavasti. Let- ja open -joukot ovat kaikki avoimia joukkoja sekä muodon joukkoja , joissa on suljettu ja kompakti (in ) komplementti. pidetään luonnollisena uppoutumisena . silloin tiivistys on Hausdorff jos ja vain jos se on Hausdorff ja paikallisesti kompakti . $Y=X \cup \{\infty\}$ $Y$ $X$ $O \cup \{\infty\}$ $O\subseteq X$ $X$ $f$ $X$ $Y$ $(Y,\;f)$ $Y$ $X$

Esimerkkejä

$\R \cup \{\infty\}$ kun topologia on rakennettu kuten edellä, on kompakti tila. On helppo todistaa, että jos kaksi avaruutta ovat homeomorfisia, niin myös vastaavat yksipistetiivistykset ovat homeomorfisia.
- Erityisesti, koska ympyrä tasossa ilman yhtä pistettä on homeomorfinen c:n kanssa (esimerkki homeomorfismista on stereografinen projektio ), koko ympyrä on homeomorfinen c:lle . $\mathbb {R}$ $\R \cup \{\infty\}$
- Samoin homeomorfinen ulottuvuuspallo . _ $\mathbb R^n \cup \{\infty\}$ $n$

Stone-Cech-tiivistys

Joidenkin kiinteän tilan tiivistyksissä voidaan ottaa käyttöön osittainen järjestys . Olkoon kaksi tiivistystä , jos on olemassa jatkuva kuvaus siten, että . Maksimaalista ( homeomorfismiin asti ) elementtiä tässä järjestyksessä kutsutaan Stone-Cech-tiivistykseksi [1] ja sitä merkitään . Jotta tilassa olisi Stone-Cech-tiivistys, joka täyttää Hausdorffin erotusaksiooman , on välttämätöntä ja riittävää , että se täyttää erotusaksiooman eli se on täysin säännöllinen . $X$ $f_1 \leqslant f_2$ $f_1: X\-Y_1$ $f_2: X\to Y_2$ $g: Y_2 \to Y_1$ $g f_2 = f_1$ $\beta X$ $X$ $X$ $T_{3\frac{1}{2}}$

Muistiinpanot

↑ Myös "Stonechech-tiivistys" ja "Chechstone-tiivistys".