Kirchhoffin kaava

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 5.1.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 13 muokkausta .

Kirchhoffin kaava on analyyttinen lauseke hyperbolisen osittaisdifferentiaaliyhtälön (ns. "aaltoyhtälön") ratkaisemiseksi koko kolmiulotteisessa avaruudessa. Laskeutumismenetelmällä (eli dimensiovähennyksellä) voidaan saada siitä kaksiulotteisen ( Poissonin kaava ) ja yksiulotteisen ( D'Alembertin kaava ) yhtälön ratkaisut.

Ongelman täydellinen sanamuoto ja vastaus

Harkitse yhtälöä

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-a^{2}\triangle u=f

, jossa funktiot ja on määritelty kohdassa ja on Laplace-operaattori .

u=u(\mathbf {x} ,t)

f=f(\mathbf {x} ,t)

{\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{+))

\kolmio

Tämä yhtälö määrittelee liikkuvan aallon etenemisen -ulotteisessa homogeenisessa väliaineessa, jonka nopeus on ajoittain . $n$ $a$ $t>0$

Jotta ratkaisu olisi yksiselitteinen, on tarpeen määrittää alkuehdot. Alkuolosuhteet määräävät avaruuden tilan (tai sanotaan "alkuhäiriön") ajanhetkellä : $t = 0$

u|_{t=0}=\varphi _{0}({\bar {x))),\quad \left.{\frac {\partial u}{\partial t))\right| _{t=0}=\varphi _{1}({\bar {x)))

Sitten yleistetty Kirchhoffin kaava antaa ratkaisun tähän ongelmaan kolmiulotteisessa tapauksessa:

u(\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial }{\partial t))\left[{\frac {1}{4\pi a^{2}t))\iint \limits _{S}\varphi _{0}(\mathbf {y} )d^{2}S_{n}\right]+{\frac {1}{4\pi a^{2}t)) \iint \limits _{S}\varphi _{1}(\mathbf {y} )d^{2}S_{n}+{\frac {1}{4\pi a^{2))}\iiint \limits _{\left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|\leqslant at}{\frac {f\left(\mathbf {y} ,t-{\frac {\left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|}{a}}\right)}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|}}d^{3}\mathbf {y }

jossa pintaintegraalit otetaan pallon yli . $S\colon \left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|=at$

Kirchhoff itse tarkasteli vain kolmiulotteista tapausta.

Yksinkertainen pääongelman ratkaisun johtaminen käyttää Fourier-muunnosta .

Fyysiset seuraukset

Olkoon paikallinen häiriö ( ja/tai ) jossain kompaktissa joukossa alkuhetkellä . Jos olemme jossain vaiheessa , niin, kuten kaavasta (integraatioalue) voidaan nähdä, tunnemme häiriön ajan kuluttua . $t = 0$ $M$ $\varphi _{0}\neq 0$ $\varphi _{1}\neq 0$ ${\bar {x}}_{0}\in \mathbb {R} ^{3}$ $t_{1}={\frac {1}{a}}\inf _({\bar {y}}\in M}\left|{\bar {y}}-{\bar {x} }_{0}\right|$

Aikavälin ulkopuolella , jossa , funktio on yhtä suuri kuin nolla. $\left[t_{1};t_{2}\right]$ $t_{2}={\frac {1}{a}}\sup _({\bar {y}}\in M}\left|{\bar {y}}-{\bar {x} }_{0}\right|$ ${\näyttötyyli u(x_{0},t)}$

Siten avaruuteen lokalisoitu alkuhäiriö aiheuttaa jokaisessa avaruuden pisteessä ajassa lokalisoidun toiminnan, toisin sanoen häiriö etenee aallon muodossa, jolla on etu- ja takarintama, mikä ilmaisee Huygensin periaatetta ). Lentokoneessa tätä periaatetta rikotaan. Tämän perusteluna on se, että häiriön kantaja, joka on kompakti kohdassa , ei ole enää kompakti klo , vaan muodostaa äärettömän sylinterin, ja tämän seurauksena häiriö on ajallisesti rajaton (sylinteriaaloilla ei ole takareunaa) . [yksi] $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$

Poisson - Parseval -kaava

Kalvon värähtelyyhtälön ratkaisu (kaksiulotteinen avaruus)

u_{tt}=a^{2}\kolmio u+f

(toiminto vastaa ulkoista käyttövoimaa)

f(x,t)

alkuehtojen kanssa

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)

annetaan kaavalla:

u({\bar {x}},t)=u(x_{1},x_{2},t)={\frac {1}{2\pi a}}\int \limits _{ 0}^{t}\iint \limits _{r<a(t-\tau )}{\frac {f(y_{1},y_{2},\tau )dy_{1}dy_{2}d \tau }{\sqrt {a^{2}(t-\tau )^{2}-(y_{1}-x_{1})^{2}-(y_{2}-x_{2}) ^{2))))+{\frac {\partial }{\partial t)){\frac {1}{2\pi a))\iint \limits _{r<at}{\frac {\varphi (y_{1},y_{2})dy_{1}dy_{2}}{\sqrt {a^{2}t^{2}-(y_{1}-x_{1})^{2} -(y_{2}-x_{2})^{2))))+{\frac {1}{2\pi a}}\iint \limits _{r<at}{\frac {\psi ( y_{1},y_{2})dy_{1}dy_{2}}{\sqrt {a^{2}t^{2}-(y_{1}-x_{1})^{2}- (y_{2}-x_{2})^{2}}}}

D'Alembertin kaava

Yksiulotteisen aaltoyhtälön ratkaisu

u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f\quad

(toiminto vastaa ulkoista käyttövoimaa)

f(x,t)

alkuehtojen kanssa

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)

on muotoa [2]

u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2))+{\frac {1}{2a))\int \limits _ {x-at}^{x+at}{\psi (\alpha )d\alpha }+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{0}^{t}\int \limits _ {xa(t-\tau )}^{x+a(t-\tau )}f(s,\tau )dsd\tau

D'Alembertin kaavaa käytettäessä tulee ottaa huomioon, että joskus ratkaisu ei välttämättä ole ainutlaatuinen koko tarkastelun kohteena olevalla alueella . Aaltoyhtälön ratkaisu esitetään kahden funktion summana: , eli se määräytyy kahdella ominaisuusperheellä: . Oikealla olevan kuvan esimerkki havainnollistaa puoliäärettömän merkkijonon aaltoyhtälöä, ja sen alkuehdot on annettu vain vihreällä viivalla . Voidaan nähdä, että sekä -ominaisuudet että -ominaisuudet tulevat verkkotunnukseen , kun taas alueella on vain -ominaisuuksia. Eli d'Alembertin kaava ei toimi alueella. $\mathbb {R} ^{1}\times [0,T]$ $u(x,t)=f(x+at)+g(x-at)$ $x+at=\xi ,\ x-at=\eta$ $x\ge 0$ $\mathrm {I}$ $\xi$ $\eta$ $\mathrm {II}$ $\xi$ $\mathrm {II}$

Kaavojen soveltaminen

Yleensä Kirchhoffin kaava on melko hankala, ja siksi matemaattisen fysiikan ongelmien ratkaiseminen sen avulla on yleensä vaikeaa. Voidaan kuitenkin käyttää aaltoyhtälön lineaarisuutta alkuehtojen kanssa ja etsiä ratkaisua kolmen funktion summan muodossa: , jotka täyttävät seuraavat ehdot: ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2))}=a^{2}\kolmio u+f({\bar {x)),t)$ $u({\bar {x)),0)=\varphi _{0}({\bar {x)),\ u_{t}({\bar {x)),0)=\ varphi _{1}({\bar {x)))$ ${\näyttötyyli u(x,t)=A(x,t)+B(x,t)+C(x,t)}$

{\frac {\partial ^{2}A}{\partial t^{2))}=a^{2}\kolmio A+f({\bar {x)),t),\qquad A({\bar {x)),0)=0,\ A_{t}({\bar {x)),0)=0;

{\frac {\partial ^{2}B}{\partial t^{2))}=a^{2}\kolmio B,\qquad B({\bar {x)),0)= \varphi _{0}({\bar {x)),\ B_{t}({\bar {x)),0)=0;

{\frac {\partial ^{2}C}{\partial t^{2))}=a^{2}\kolmio C,\qquad C({\bar {x)),0)= 0,\ {\mathit {C}}_{t}({\bar {x}},0)=\varphi _{1}({\bar {x}}).

Sellainen operaatio ei sinänsä yksinkertaista Kirchhoffin kaavan käyttöä, mutta joillekin ongelmille on mahdollista valita ratkaisu tai pelkistää moniulotteinen ongelma yksiulotteiseksi muuttujia vaihtamalla. Esimerkiksi anna . Sitten vaihdon jälkeen tehtävän "C" yhtälö saa muotonsa: ${\displaystyle \varphi _{1}(x,y,z)={\frac {1}{1+(x+3y-2z)^{2))))$ ${\näyttötyyli \xi =x+3y-2z}$

{\frac {\partial ^{2}C}{\partial t^{2))}=14a^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial \xi ^{ 2}}),\qquad {\mathit {C}}(\xi ,0)=0,\ C_{t}(\xi ,0)={\frac {1}{1+\xi ^{2} }}.

Siten päädyimme yksiulotteiseen yhtälöön, mikä tarkoittaa, että voimme käyttää d'Alembertin kaavaa:

C(\xi ,t)={\frac {1}{2{\sqrt {14}}a}}\int \limits _{\xi -{\sqrt {14}}at}^{\ xi +{\sqrt {14}}at}{\frac {d\eta }{1+\eta ^{2}}}={\frac {1}{2{\sqrt {14}}a}}\ left(\operaattorinnimi {arctg} (\xi +{\sqrt {14}}at)-\operaattorin nimi {arctg} (\xi -{\sqrt {14}}at)\right).

Alkuehdon pariteetin vuoksi ratkaisu säilyttää muotonsa koko alueella . $t>0$

Muistiinpanot

↑ KIRCHHOFF FORMULA // Physical Encyclopedia : [5 osassa] / Ch. toim. A. M. Prokhorov . - M .: Neuvostoliiton Encyclopedia (osa 1-2); Great Russian Encyclopedia (vols. 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .
↑ D'Alembert-kaava Arkistoitu 20. maaliskuuta 2012 Wayback Machinessa Physicsin Encyclopediassa

Kirjallisuus

Mihailov V.P. , Mikhailova T.V., Shabunin M.I. Kokoelma tyypillisiä tehtäviä kurssille Matemaattisen fysiikan yhtälöt. — M.: MIPT, 2007. — ISBN 5-7417-0206-6 .

Linkit

Osio d'Alembertin kaavasta