Alku- ja reunaehdot

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 26.5.2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Differentiaaliyhtälöiden teoriassa alku- ja reunaehdot ovat lisäys perusdifferentiaaliyhtälöön ( tavallinen tai osittaisdifferentiaali ), joka määrittää sen käyttäytymisen alkuhetkellä tai tarkasteltavan alueen rajalla .

Yleensä differentiaaliyhtälöllä ei ole yhtä ratkaisua, vaan niitä on kokonainen perhe. Alku- ja reunaehtojen avulla voit valita siitä sellaisen, joka vastaa todellista fyysistä prosessia tai ilmiötä. Tavallisten differentiaaliyhtälöiden teoriassa on todistettu lause alkuehdon sisältävän ongelman ratkaisun olemassaolosta ja ainutlaatuisuudesta (ns. Cauchyn ongelma ). Osittaisdifferentiaaliyhtälöille saadaan joitain ratkaisujen olemassaolo- ja ainutlaatuisuuslauseita tietyille alku- ja raja-arvoongelmien luokille.

Terminologia

Joskus ei-stationaaristen ongelmien alkuehtoja, kuten hyperbolisten tai parabolisten yhtälöiden ratkaisua , kutsutaan myös reunaehtoiksi .

Pysyviä ongelmia varten rajaehdot on jaettu pää- ja luonnollisiin ehtoihin .

Pääehdot ovat yleensä muotoa , jossa on alueen raja . $u(\partial \Omega )=g$ $\osittainen \Omega$ $\Omega$

Luonnolliset olosuhteet sisältävät myös ratkaisun derivaatan suhteessa rajan normaaliin .

Esimerkki

Yhtälö kuvaa kappaleen liikettä maan vetovoimakentässä . Sen tyydyttää mikä tahansa neliöfunktio muodossa , jossa on mielivaltaisia lukuja. Tietyn liikelain eristämiseksi on tarpeen ilmoittaa kehon alkukoordinaatti ja sen nopeus, eli alkuehdot . ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-g$ $y(t)=-gt^{2}/2+at+b,$ $a,b$

Rajaehtojen asetusten oikeellisuus

Matemaattisen fysiikan ongelmat kuvaavat todellisia fysikaalisia prosesseja, ja siksi niiden väittämän tulee täyttää seuraavat luonnolliset vaatimukset:

Ratkaisun täytyy olla jossain funktioluokassa;
Ratkaisun on oltava ainutlaatuinen kaikissa funktioluokissa;
Ratkaisun on oltava jatkuvasti riippuvainen tiedoista (alku- ja reunaehdot, leikkauspiste, kertoimet jne.).

Ratkaisun jatkuvan riippuvuuden vaatimus johtuu siitä, että fyysiset tiedot pääsääntöisesti määritetään likimäärin kokeesta, ja siksi täytyy olla varma, että ongelman ratkaisu valitun matemaattisen mallin puitteissa ei riipu merkittävästi mittausvirheestä. Matemaattisesti tämä vaatimus voidaan kirjoittaa esimerkiksi seuraavasti (riippumattomuuden vuoksi vapaasta termistä):

Olkoon kaksi differentiaaliyhtälöä: samoilla differentiaalioperaattoreilla ja samoilla reunaehdoilla, niin niiden ratkaisut riippuvat jatkuvasti vapaasta termistä, jos: $Lu=F_{1}, ~Lu=F_{2}$

\forall \varepsilon >0~\exists \delta >0:~\left(\|F_{1}-F_{2}\|<\delta \right)\Rightarrow \left(\|u_{1 }-u_{2}\|<\varepsilon \right)

, jossa , - vastaavien yhtälöiden ratkaisut.

u_{1}

{\displaystyle u_{2))

Joukkoa funktioita, joille luetellut vaatimukset täyttyvät, kutsutaan oikeellisuusluokaksi . Hadamardin esimerkki kuvaa hyvin rajaehtojen virheellistä asettamista .

Katso myös

Kirjallisuus

Vladimirov V.S., Žarinov V.V. Matemaattisen fysiikan yhtälöt. - Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-X .
Akhtyamov AM Rajaehtojen tunnistamisen teoria ja sen sovellukset. - M .: Fizmatlit, 2009.
Akhtyamov A. M. , Sadovnichy V. A. , Sultanaev Ya. T. Käänteiset Sturm-Liouville-ongelmat hajoamattomissa reunaehdoissa. - M . : Moskovan yliopiston kustantamo, 2009.

Matemaattinen fysiikka

Yhtälöiden tyypit

Yhtälötyypit

Reunaehdot

Matemaattisen fysiikan yhtälöt

Diffuusio ja konvektio	Lämpöyhtälö Diffuusioyhtälö Mason-Weaverin yhtälö
Hydrodynamiikka	Siirtoyhtälö Navier-Stokes yhtälöt Eulerin yhtälö Gromeka-Lamb yhtälö Pyörreyhtälö Burgers yhtälö Matalan veden yhtälöt Korteweg-de Vriesin yhtälö
Sähkömagnetismi	Maxwellin yhtälöt Helmholtzin yhtälö Landau-Lifshitzin yhtälö Seulottu Poisson-yhtälö
Kvanttimekaniikka	Schrödingerin yhtälö Heisenbergin yhtälö Rarita-Schwinger yhtälö Hartreen yhtälö Diracin yhtälö Klein-Gordonin yhtälö
Yleiset mallit	Jatkuvuusyhtälö aaltoyhtälö Fokker-Planck yhtälö Poissonin yhtälö

Ratkaisumenetelmät

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmät

Ruudukkomenetelmät

Elementtimenetelmät	Elementtimenetelmä Galerkinin menetelmä Epäjatkuva Galerkin-menetelmä Moniasteinen äärellisten elementtien menetelmä Multigrid-menetelmä
Muut menetelmät	Äärillisen eron menetelmä Rajallisen tilavuuden menetelmä Godunovin menetelmä Rajaelementtimenetelmä

Ei-ruudukkomenetelmät

Yhtälötutkimus

liittyvät aiheet