Heikko johdannainen

" Heikko derivaatta " ( matematiikassa ) on yleistys funktion derivaatan ("vahva derivaatta") käsitteestä funktioille, jotka ovat Lebesgue-integroitavia (eli avaruudesta ), mutta eivät ole differentioitavissa . $L_{1}$

Määritelmä

Antaa olla funktio alkaen . Funktiota kutsutaan "heikoksi johdannaiseksi" if $u$ $L^{1}([a,b])$ $v(t)$ $L^{1}([a,b])$ $u$

\int _{a}^{b}u(t)\varphi '(t)dt=-\int _{a}^{b}v(t)\varphi (t)dt

kaikille jatkuvasti differentioituville funktioille . Tämä määritelmä perustuu osien integrointimenetelmään . $\varphi$ $\varphi (a)=\varphi (b)=0$

Mittauksille yleistämistä , jos ja kuuluvat paikallisesti integroitavien funktioiden avaruuteen jollekin toimialueelle , ja if on moniindeksi , niin kutsutaan heikoksi derivaatiksi järjestyksessä , jos $n$ $u$ $v$ $L_{loc}^{1}(U)$ $U\alajoukko {\mathbb {R}}^{n}$ $\alpha$ $v$ $u$ $\alpha$

\int _{U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _{U}v\varphi

kaikille – rajallinen äärettömän tasaisissa funktioissa. $\varphi \in C_{c}^{\infty }(U)$ $U$

Jos funktiolla on heikko derivaatta, sitä merkitään usein merkillä , koska se on ainutlaatuinen mittasarjaan nolla asti. $u$ $D^{\alpha }u$

Esimerkkejä

Funktio u : [−1, 1] → [0, 1], u ( t ) = | t |, jolla ei ole derivaattia pisteessä t = 0, on kuitenkin heikko derivaatta v välillä [−1, 1] , niin kutsuttu "merkkifunktio" ( sgn ), joka määritellään seuraavalla suhteella:

v\colon [-1,1]\to [-1,1]\colon t\mapsto v(t)={\begin{cases}1,&t>0;\\0,&t=0; \\-1,&t<0.\end{cases}}

Tämä ei ole ainoa u :n derivaatta: mikä tahansa funktio w , joka on sama kuin v :n kanssa melkein kaikkialla , on myös heikko derivaatta u :sta . Yleensä tämä ei ole ongelma, koska sekä Lp- avaruuksien että Sobolev-avaruuksien näkökulmasta ne ovat ekvivalentteja.

Rationaalilukujoukon D karakteristinen funktio ( Dirichlet -funktio ) ei ole missään differentioituva, mutta sillä on heikko derivaatta kaikkialla. Koska rationaalisten lukujen Lebesguen mitta on nolla, niin

\int D(t)\varphi (t)dt=0

Siten funktiolla D on heikko derivaatta . Tämän pitäisi olla intuitiivista, koska D avaruudessa Lp vastaa identtistä nollaa.

v(t)\equiv 0

Ominaisuudet

Jos kaksi funktiota ovat saman funktion heikkoja derivaattoja, ne ovat yhtäpitäviä täydessä mittajoukossa ( melkein kaikkialla ). Jos oletetaan, kuten avaruudessa on tapana , että lähes kaikkialla yhtäläiset funktiot ovat ekvivalentteja, niin heikko derivaatta on yksiselitteisesti määritelty. $L_{p}$

Jos u :lla on tavallinen ("vahva") derivaatta, se on heikko derivaatta. Tässä mielessä heikko derivaatta on vahvan yleistys. Lisäksi klassiset säännöt summien ja funktioiden tulojen johdannaisille säilyvät myös heikoille derivaatoille.

Kehitys

Heikon johdannaisen käsite loi pohjan ns. heikkoja ratkaisuja Sobolev- avaruudessa , mikä osoittautui hyödylliseksi differentiaaliyhtälöiden teoriassa ja funktionaalisessa analyysissä .

Kirjallisuus

Mikhlin S.G. Matemaattisen fysiikan kurssi. - Toinen, stereotyyppinen. - Pietari. : Lan, 2002. - 576 s. — ISBN 5-8114-0468-9 .
Sobolev S.L. Jotkut funktionaalisen analyysin sovellukset matemaattisessa fysiikassa. — 3. painos, tarkistettu ja täydennetty. — M .: Nauka , 1988. — 336 s. — ISBN 5-02-013756-1 .
Ladyzhenskaya O.A. , Uraltseva N.N. Elliptistä tyyppiä olevat lineaariset ja kvasilineaariset yhtälöt. — M .: Nauka , 1973. — 576 s.