Gram-Schmidtin prosessi

Gram - Schmidt - prosessi muuntaa lineaarisesti riippumattomien vektoreiden sekvenssin ortonormaaliksi vektorijärjestelmäksi ja siten, että jokainen vektori on lineaarinen yhdistelmä . ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {a} _{n))$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {e} _{n))$ $\mathbf{e}_j$ ${\mathbf {a}}_{1},\;\ldots ,\;{\mathbf {a}}_{j}$

Klassinen Gram-Schmidt-prosessi

Algoritmi

Olkoon lineaarisesti riippumattomia vektoreita ja olkoon vektorin projektiooperaattori vektoriin , joka on määritelty ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {a} _{n))$ $\mathbf {proj} _{\mathbf {b} }\,\mathbf {a}$ ${\mathbf {a}}$ ${\mathbf {b}}$

{\mathbf {proj}}_{{\mathbf {b}}}}\,{\mathbf {a}}={\langle {\mathbf {a}},{\mathbf {b}}\rangle \ yli \langle {\mathbf {b)),{\mathbf {b}}\rangle }{\mathbf {b)),

missä on vektorien skalaaritulo ja . $\langle {\mathbf {a}},{\mathbf {b}}\rangle$ ${\mathbf {a}}$ ${\mathbf {b}}$

Klassinen Gram-Schmidt-prosessi suoritetaan seuraavasti:

{\begin{array}{lclr}\mathbf {b} _{1}&=&\mathbf {a} _{1}&(1)\\\mathbf {b} _{2}&= &\mathbf {a} _{2}-\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{1}}\,\mathbf {a} _{2}&(2)\\\mathbf {b} _{3}&=&\mathbf {a} _{3}-\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{1}}\,\mathbf {a} _{3}-\mathbf {proj } _{\mathbf {b} _{2}}\,\mathbf {a} _{3}&(3)\\&\dots &&\\\mathbf {b} _{n}&=&\mathbf {a} _{n}-\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{1}}\,\mathbf {a} _{n}-\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _ {2}}\,\mathbf {a} _{n}-\dots -\mathbf {proj} _{\mathbf {b} _{n-1}}\,\mathbf {a} _{n}& (n)\end{array}}

Jokaisen vektorin perusteella voidaan saada yksikköpituinen normalisoitu vektori , joka määritellään muodossa $\mathbf {b} _{j}\;(j=1\ldots n)$ $\mathbf{e}_j$

{\mathbf {e}}_{j}={{\mathbf {b}}_{j} \over \|{\mathbf {b}}_{j}\|}

Gram-Schmidt-prosessin tulokset:

${\displaystyle \mathbf {b} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {b} _{n))$ on ortogonaalisten vektorien järjestelmä tai

${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {e} _{n))$ on ortonormaalien vektoreiden järjestelmä.

Laskutoimitusta kutsutaan Gram-Schmidt-ortogonalisaatioksi ja Gram-Schmidt-ortonormalisaatioksi. ${\displaystyle \mathbf {b} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {b} _{n))$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {e} _{n))$

Geometrinen tulkinta

Tarkastellaan kaavaa (2), algoritmin toista vaihetta. Sen geometrinen esitys näkyy kuvassa. yksi:

saada vektorin projektio ; ${\mathbf {a}}_{2}$ ${\mathbf {b}}_{1}$
laskeminen , Eli kohtisuora , joka on ennustettu päälle . Tämä kohtisuora on kaavassa (2) laskettu vektori ; ${\mathbf {a}}_{2}-{\mathbf {proj}}_{({\mathbf {b}}_{1}}}{\mathbf {a}}_{2}$ ${\mathbf {a}}_{2}$ ${\mathbf {b}}_{1}$ ${\mathbf {b}}_{2}$
siirretään vaiheessa 2 saatu vektori origoon. Tämä liike on tehty kuvassa vain selvyyden vuoksi; ${\mathbf {b}}_{2}$

Kuvasta näkyy, että vektori on kohtisuorassa vektoriin nähden , koska se on kohtisuora, jota pitkin se projisoidaan . ${\mathbf {b}}_{2}$ ${\mathbf {b}}_{1}$ ${\mathbf {b}}_{2}$ ${\mathbf {a}}_{2}$ ${\mathbf {b}}_{1}$

Tarkastellaan kaavaa (3), algoritmin kolmatta vaihetta, seuraavassa versiossa:

{\begin{array}{lcr}{\mathbf {b}}_{3}={\mathbf {a}}_{3}-({\mathbf {proj}}_{{{\mathbf {b} }_{1))}{\mathbf {a}}_{3}+{\mathbf {proj}}_{({\mathbf {b}}_{2}}}{\mathbf {a}}_ {3})&&(6)\\\end{array}}

Sen geometrinen esitys näkyy kuvassa. 2:

saada vektorin projektio ; ${\mathbf {a}}_{3}$ ${\mathbf {b}}_{1}$
saada vektorin projektio ; ${\mathbf {a}}_{3}$ ${\mathbf {b}}_{2}$
summan laskeminen eli vektorin projektio vektorien ja vektorien muodostamalle tasolle . Tämä taso on varjostettu kuvassa harmaalla; ${\mathbf {proj}}_{{{\mathbf {b}}_{1}}}{\mathbf {a}}_{3}+{\mathbf {proj}}_{{{\mathbf {b }}_{2}}}{\mathbf {a}}_{3}$ ${\mathbf {a}}_{3}$ ${\mathbf {b}}_{1}$ ${\mathbf {b}}_{2}$
laskenta , eli kohtisuora, joka heijastuu vektorien ja . Tämä kohtisuora on kaavassa (6) laskettu vektori ; ${\mathbf {a}}_{3}-({\mathbf {proj}}_{({\mathbf {b}}_{1}}}{\mathbf {a}}_{3}+{\) mathbf {proj}}_{{{\mathbf {b}}_{2}}}{\mathbf {a}}_{3})$ ${\mathbf {a}}_{3}$ ${\mathbf {b}}_{1}$ ${\mathbf {b}}_{2}$ ${\mathbf {b}}_{3}$
muutto vastaanotettu alkuperään. Tämä liike on tehty kuvassa vain selvyyden vuoksi. Se ei ole matemaattinen operaatio, eikä se siksi näy kaavassa (6). ${\mathbf {b}}_{3}$

Kuvasta näkyy, että vektori on kohtisuorassa vektoreihin ja , koska se on kohtisuora, jota pitkin se heijastuu vektorien ja muodostamalle tasolle . ${\mathbf {b}}_{3}$ ${\mathbf {b}}_{1}$ ${\mathbf {b}}_{2}$ ${\mathbf {b}}_{3}$ ${\mathbf {a}}_{3}$ ${\mathbf {b}}_{1}$ ${\mathbf {b}}_{2}$

Siten Gram-Schmidt-prosessissa projektio suoritetaan ortogonaalisesti vektoreiden kattamaa hypertasoa vasten . Vektori lasketaan sitten erotuksena sen projektion välillä. Toisin sanoen se on vektorien ylittämä kohtisuora hypertasoon . Siksi se on ortogonaalinen tämän hypertason muodostaviin vektoreihin nähden. ${\mathbf {b}}_{j}$ ${\mathbf {a}}_{j}$ ${\mathbf {b}}_{1},\;\ldots ,\;{\mathbf {b}}_{{j-1}}$ ${\mathbf {b}}_{j}$ ${\mathbf {a}}_{j}$ ${\mathbf {b}}_{j}$ ${\mathbf {a}}_{j}$ ${\mathbf {b}}_{1},\;\ldots ,\;{\mathbf {b}}_{{j-1}}$ ${\mathbf {b}}_{j}$

Erikoistilaisuudet

Gram-Schmidt-prosessia voidaan soveltaa myös lineaarisesti riippumattomien vektoreiden äärettömään sekvenssiin.

Lisäksi Gram-Schmidt-prosessia voidaan soveltaa lineaarisesti riippuviin vektoreihin. Tässä tapauksessa se tuottaa (nollavektorin) vaiheessa, jos se on vektorien lineaarinen yhdistelmä . Säilyttääkseen lähtövektorien ortogonaalisuuden ja estääkseen jakamisen nollalla ortogonalisoinnin aikana, algoritmin on hylättävä nollavektorit. Algoritmin tuottamien vektoreiden määrä on yhtä suuri kuin vektoreiden generoiman aliavaruuden ulottuvuus (eli alkuperäisistä vektoreista erotettavissa olevien lineaarisesti riippumattomien vektoreiden lukumäärä). $\mathbf {0}$ $j$ ${\mathbf {a}}_{j}$ ${\mathbf {a}}_{1},\;\ldots ,\;{\mathbf {a}}_{{j-1}}$

Ominaisuudet

Siirtymämatriisi välillä - on ylempi kolmiomatriisi . ${\mathbf {a}}_{1},\;\ldots ,\;{\mathbf {a}}_{j}$ ${\mathbf {b}}_{1},\;\ldots ,\;{\mathbf {b}}_{j}$

Pituuksien tulo on yhtä suuri kuin järjestelmän vektoreille kuin reunoihin rakennetun suuntaissärmiön tilavuus . ${\mathbf {b}}_{1},\;\ldots ,\;{\mathbf {b}}_{j}$ ${\mathbf {a}}_{1},\;\ldots ,\;{\mathbf {a}}_{j}$

Gram–Schmidt-prosessi matriisin sarakevektoreille määrittää homotoopiaekvivalenssin . $GL(n)$ $GL(n)\to O(n)$

Lisätulkinnat

Gram–Schmidt-prosessi voidaan tulkita rappeutumattoman neliömatriisin hajoamiseksi ortogonaalisen ( tai unitaarin , jos kyseessä on hermiittinen avaruus ) ja ylemmän kolmiomatriisin tuloksi, jossa on positiivisia diagonaalisia elementtejä, QR-hajotus , joka on Iwasawa-hajoamisen erikoistapaus .

Kirjallisuus

Beklemishev DV Analyyttisen geometrian ja lineaarisen algebran kurssi. — M .: Nauka .

Linkit

https://www.youtube.com/watch?v=GhhpG1tCQLU Animaatio prosessista lentokoneessa