Ptolemaioksen epätasa-arvo

Ptolemaioksen epäyhtälö on epäyhtälö 6 etäisyydelle neljän tason pisteen välillä.

Nimetty edesmenneen hellenistisen matemaatikon Claudius Ptolemaioksen mukaan .

Sanamuoto

Tason mille tahansa pisteelle epäyhtälö $A, B, C, D$

AC\cdot BD\leq AB\cdot CD+BC\cdot AD,

Lisäksi tasa-arvo saavutetaan, jos ja vain jos on kupera merkitty nelikulmio , tai pisteet sijaitsevat yhdellä suoralla. $ABCD$ $A, B, C, D$

Eräs versio epäyhtälön todistuksesta perustuu inversion käyttöön pisteessä keskitetyn ympyrän ympärillä ; tämä pienentää Ptolemaioksen epätasa-arvon pisteiden , , , kolmioepäyhtälöksi . [yksi] $A$ $B$ $C$ $D$
On olemassa tapa todistaa se Simsonin linjalla .
Ptolemaioksen lause voidaan todistaa seuraavalla tavalla (lähellä Ptolemaioksen todistusta, jonka hän on antanut kirjassa Almagest ) - esittele piste niin, että , ja sitten kolmioiden samankaltaisuuden kautta . $E$ $\angle ABE=\angle DBC$
Lause on myös seuraus Bretschneiderin suhteesta .

Pompeiuksen lause . [2] Tarkastellaan pistettäja säännöllistä kolmiota . Sitten segmenteistä,Jaon mahdollista tehdä kolmio, ja tämä kolmio on rappeutunut, jos ja vain jos pistesijaitsee kolmion rajatulla ympyrällä. $X$ $ABC$ $XA$ $XB$ $XC$ $X$ $ABC$

Jos AC on ympyrän halkaisija , niin lause muuttuu sinisummasäännöksi . Tästä seurauksesta Ptolemaios tapasi laatia sinitaulukon.

Bretschneiderin suhde
Ptolemaioksen epäyhtälöt voidaan laajentaa kuuteen pisteeseen: jos tason mielivaltaisia pisteitä (tätä yleistystä kutsutaan Ptolemaioksen lauseeksi kuusikulmiolle ja ulkomaisessa kirjallisuudessa Fuhrmannin lauseeksi [3] ), niin $A_{1},A_{2},\pisteet A_{6}$

A_{1}A_{4}\cdot A_{2}A_{5}\cdot A_{3}A_{6}\leq A_{1}A_{2}\cdot A_{3}A_{6 }\cpiste A_{4}A_{5}+A_{1}A_{2}\cpiste A_{3}A_{4}\cpiste A_{5}A_{6}+

+A_{2}A_{3}\cpiste A_{1}A_{4}\cpiste A_{5}A_{6}+A_{2}A_{3}\cpiste A_{4}A_{5 }\cpiste A_{1}A_{6}+A_{3}A_{4}\cpiste A_{2}A_{5}\cpiste A_{1}A_{6},

jossa tasa-arvo saavutetaan jos ja vain, jos on merkitty kuusikulmio.

A_{1}\pisteet A_{6}

Caseyn lause ( yleistetty Ptolemaioksen lause ): Tarkastellaan ympyröitäjatietyn ympyrän tangenttia pisteissäjakuperaa nelikulmiota. Antaa olla ympyröiden yhteisen tangentin pituusja(ulkoinen, jos molemmat kosketukset ovat sisäisiä tai ulkoisia samanaikaisesti, ja sisäinen, jos yksi kosketus on sisäinen ja toinen ulkoinen); jne. määritellään samalla tavalla. Sitten $\alpha ,\beta ,\gamma$ $\delta$ $A, B, C$ $D$ $ABCD$ $t_{{\alpha \beta }}$ $\alpha$ $\beeta$ $t_{{\beta \gamma }},t_{{\gamma \delta }}$

t_{{\alpha \beta }}t_{{\gamma \delta }}+t_{{\beta \gamma }}t_({\delta \alpha }}=t_{{\alpha \gamma }}t_{{ \beta\delta}}

↑ Todistus Ptolemaioksen lauseesta inversiolla Arkistoitu 26. toukokuuta 2009 Wayback Machinessa . Etäneuvontapiste matematiikan MCNMO :lle .
↑ Tietoja D. Pompeiun lauseesta Arkistoitu 17. joulukuuta 2004 Wayback Machinessa . Etäneuvontapiste matematiikan MCNMO :lle .
↑ Ptolemaioksen lause . Haettu 17. toukokuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 26. toukokuuta 2009. (määrätön)
↑ Howorka, Edward (1981), Ptolemaioksen graafien karakterisointi , Journal of Graph Theory , osa 5 (3): 323–331 , DOI 10.1002/jgt.3190050314 .

Valinnainen matematiikan kurssi. 7-9 / Comp. I. L. Nikolskaja. - M .: Koulutus , 1991. - S. 328-329. — 383 s. — ISBN 5-09-001287-3 .
Ponarin Ya. P. Alkeinen geometria. 2 osana - M . : MTSNMO , 2004. - S. 61-63. — ISBN 5-94057-170-0 .