Merkkejä kolmioiden samankaltaisuudesta

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 13. huhtikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Samankaltaiset kolmiot euklidisessa geometriassa ovat kolmioita , joiden kulmat ovat vastaavasti yhtä suuret ja joiden sivut ovat vastaavasti verrannollisia . Ne ovat samanlaisia hahmoja .

Tässä artikkelissa käsitellään samankaltaisten kolmioiden ominaisuuksia euklidisessa geometriassa . Jotkut väitteet eivät pidä paikkaansa ei-euklidisille geometrioille .

Merkkejä kolmioiden samankaltaisuudesta

Kolmioiden samankaltaisuuskriteerit ovat geometrisia piirteitä, joiden avulla voit todeta, että kaksi kolmiota ovat samanlaisia käyttämättä kaikkia määritelmän elementtejä.

Ensimmäinen merkki

Jos yhden kolmion kaksi kulmaa ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen kolmion kaksi kulmaa, kolmiot ovat samanlaisia.

tuo on: $\kolmio ABC \sim \kolmio A_1 B_1 C_1 \nuoli vasen \kulma A = \kulma A_1,\ \kulma B= \kulma B_1.$

Annettu: ja $\kolmio ABC$ $\kolmio A_1 B_1 C_1,\ \kulma A = \kulma A_1,\ \kulma B = \kulma B_1.$

Todistaa: $\kolmio ABC \sim \kolmio A_1 B_1 C_1.$

Todiste Kolmiokulmalauseesta voimme päätellä, että kaikki kolmioiden kulmat ovat yhtä suuret. Järjestä ne niin, että kulma menee päällekkäin kulman kanssa . Yleistetystä Thales-lauseesta (se voidaan todistaa ilman samankaltaisuutta, katso esimerkiksi Sharyginin tai Pogorelovin geometrian 7-9 oppikirja) . Vastaavasti voidaan osoittaa, että muiden vastaavien sivujen suhteet ovat yhtä suuret, mikä tarkoittaa, että kolmiot ovat määritelmän mukaan samanlaisia jne.

\kulma BAC

{\displaystyle \angle B_{1}A_{1}C_{1))

{\displaystyle AC/A_{1}C_{1}=BC/B_{1}C_{1))

Ensimmäisen samankaltaisuuden merkin seuraukset

Jos alkuperäisen kolmion kolme sivua ovat pareittain yhdensuuntaisia (kahdesti vastasuuntaisia tai kohtisuorassa) toisen kolmion kolmeen sivuun nähden, nämä kaksi kolmiota ovat samanlaisia . Esimerkkejä tämän seurauksen soveltamisesta on alla olevissa osioissa: "Esimerkkejä samankaltaisista kolmioista" ja "Yhteisten kolmioiden sivujen yhdensuuntaisuuden (anti-rinnakkaisisuuden) ominaisuudet."
Kaksinkertaiset vastasuuntaiset sivut tarkoittavat seuraavaa. Esimerkiksi tietyn teräväkulmaisen kolmion sivut ovat vastasuuntaisia sen suorakulmaisen kolmion vastaaviin sivuihin nähden, joita vastaan ne ovat. Tällöin ortokolmion (kaksinkertainen ortokolmio) vastaavat sivut ovat kaksi kertaa vastasuuntaisia alkuperäisen kolmion vastaaviin sivuihin nähden , eli juuri yhdensuuntaisia. Siksi esimerkiksi ortokolmion ortokolmio ja alkuperäinen kolmio ovat samanlaisia kuin kolmiot, joiden sivut ovat yhdensuuntaiset.

Toinen merkki

Jos yhden kolmion kaksi sivua ovat verrannollisia toisen kolmion kahteen sivuun ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, tällaiset kolmiot ovat samanlaisia.

Annettu: ja $\kolmio ABC$ $\kolmio A_1 B_1 C_1,\ \kulma A = \kulma A_1,\ \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}.$

Todistaa: $\kolmio ABC \sim \kolmio A_1 B_1 C_1.$

Todiste

1) Harkitse , jossa ja $\kolmio ABC_2$ $\kulma BAC_2=\kulma A_1$ $\angle ABC_2=\angle B_1:$

\kolmio ABC_2\sim \kolmio A_1 B_1 C_1

( ensimmäinen merkki )

\Rightarrow\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC_2}{A_1C_1}.

2) Ehdon mukaan:

\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}\Rightarrow AC=AC_2 \Rightarrow \kolmio ABC = \kolmio ABC_2

( ensimmäinen merkki ) ( ensimmäinen merkki ).

\Oikea nuoli \kulma B=\kulma ABC_2 \Oikea nuoli \kolmio ABC \sim \kolmio A_1 B_1 C_1

Kolmas merkki

Jos yhden kolmion kolme sivua ovat vastaavasti verrannollisia toisen kolmion kolmeen sivuun, kolmiot ovat samanlaisia.

Annettu : ja = = . $\kolmio ABC$ ${\displaystyle \kolmio A_{1}B_{1}C_{1},{\frac {AB}{A_{1}B_{1))))$ $\frac{AC}{A_1C_1}$ $\frac{BC}{B_1C_1}$

Todista : $\kolmio ABC \sim \kolmio A_1 B_1 C_1.$

Todiste

1) Harkitse , jossa ja $\kolmio ABC_2$ $\kulma BAC_2=\kulma A_1$ $\angle ABC_2=\angle B_1:$

\kolmio ABC_2\sim \kolmio A_1 B_1 C_1

( ensimmäinen merkki )

\Rightarrow\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC_2}{A_1C_1}.

2) Ehdon mukaan:

\frac{AB}{A_1B_1}

= = AC=AC 2 , BC=BC 2 => ∆ABC = ∆ABC 2 ( kolmas ominaisuus ); ∆ABC 2 ∆A 1 B 1 C 1 => .

\frac{AC}{A_1C_1}

{\frac {BC}{B_{1}C_{1))}\Rightarrow \

\sim

{\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1))

Suorakulmaisten kolmioiden samankaltaisuuden merkit

Terävässä kulmassa – katso ensimmäinen merkki ;
kahdella jalalla – katso toinen merkki ;
Jalassa ja hypotenuusassa – katso kolmas merkki .

Samankaltaisten kolmioiden ominaisuudet

Samankaltaisten kolmioiden pinta-alojen suhde on yhtä suuri kuin samankaltaisuuskertoimen neliö
Puolittajien , mediaanien , korkeuksien ja keskisuorien ympärysmittojen ja pituuksien suhde on yhtä suuri kuin samankaltaisuuskerroin.

Esimerkkejä samankaltaisista kolmioista

Seuraavat kolmiot ovat samanlaisia:

Täydentävä kolmio ja antikomplementaarinen kolmio ovat samanlaisia; niiden sivut ovat yhdensuuntaiset.
Kolmio ABC on samanlainen kuin sen täydentävä kolmio ; niiden vastaavat sivut ovat yhdensuuntaiset ja liittyvät suhteessa 2:1.
Kolmio ABC on samanlainen kuin sen antikomplementaarinen kolmio ; niiden vastaavat sivut ovat yhdensuuntaiset ja liittyvät suhteessa 1:2.
Alkuperäinen kolmio suhteessa ortokolmioon on kolmen ulomman puolittajan kolmio [1] . $\Delta ABC$
Ortokolmio ja tangentiaalinen kolmio ovat samanlaisia (Zetel, seuraus 1, § 66, s. 81).
Ortokolmion ortokolmio ja alkuperäinen kolmio ovat samanlaisia.
Kolmen ulomman puolittajan kolmion kolmen ulomman puolittajan kolmio ja alkuperäinen kolmio ovat samanlaisia.
Yhdistetään annettuun kolmioon piirretyn ympyrän kosketuspisteet segmenteillä, niin saadaan Gergonnen kolmio , ja korkeudet piirretään tuloksena olevaan kolmioon. Tässä tapauksessa näiden korkeuksien pohjat yhdistävät viivat ovat yhdensuuntaiset alkuperäisen kolmion sivujen kanssa. Tästä syystä Gergonnen kolmion ortokolmio ja alkuperäinen kolmio ovat samanlaisia.
Yllä olevat toisiinsa liittyvien kolmioiden samankaltaisuusominaisuudet ovat seurausta alla luetelluista toisiinsa liittyvien kolmioiden sivujen yhdensuuntaisuusominaisuuksista .
Lause : kehä-cevian kolmio on samanlainen kuin ihonalainen kolmio [2] . Tässä käytetyt määritelmät:
- Kolmiota, jonka kärjet ovat kärkien ja tietyn pisteen läpi piirrettyjen viivojen toisessa leikkauspisteessä, ja jossa on rajattu ympyrä, kutsutaan kehä-cevian-kolmioksi .
- Kolmiota, jonka kärjet ovat tietyn pisteen projektioissa sivuille, kutsutaan tämän pisteen subdermaaliseksi tai pedaalikolmioksi .

Yhteen liittyvien kolmioiden sivujen yhdensuuntaisuuden (anti-rinnakkaisisuuden) ominaisuudet

Täydentävän kolmion , antikomplementaarisen kolmion ja alkuperäisen kolmion vastaavat sivut ovat pareittain yhdensuuntaisia.
Tietyn teräväkulmaisen kolmion sivut ovat vastasuuntaisia sen suorakulmaisen kolmion vastaaviin sivuihin nähden, joita vastaan ne ovat.
Tangentiaalisen kolmion sivut ovat vastakkaisia tietyn kolmion vastaavien vastakkaisten sivujen kanssa (ympyrän tangenttien antiparallelismin ominaisuudella).
Tangentiaalisen kolmion sivut ovat yhdensuuntaiset ortokolmion vastaavien sivujen kanssa .
Yhdistetään annettuun kolmioon piirretyn ympyrän kosketuspisteet segmenteillä, niin saadaan Gergonnen kolmio , ja korkeudet piirretään tuloksena olevaan kolmioon. Tässä tapauksessa näiden korkeuksien pohjat yhdistävät viivat ovat yhdensuuntaiset alkuperäisen kolmion sivujen kanssa. Tästä syystä Gergonnen kolmion ortokolmio ja alkuperäinen kolmio ovat samanlaisia.

Samankaltaisuus suorakulmaisessa kolmiossa

Kolmiot, joihin oikeasta kulmasta laskettu korkeus jakaa oikean kolmion, ovat samanlaisia kuin koko kolmio ensimmäisessä kriteerissä , mikä tarkoittaa:

Suorakulmaisen kolmion korkeus laskettuna hypotenuusaan on yhtä suuri kuin hypotenuusan jalkojen projektioiden geometrinen keskiarvo ,
Jalka on yhtä suuri kuin hypotenuusan geometrinen keskiarvo ja tämän haaran projektio hypotenuusalle.

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Samankaltaisuuskerroin on luku k, joka on yhtä suuri kuin samankaltaisten kolmioiden samankaltaisten sivujen suhde.
Samankaltaisten kolmioiden samankaltaiset sivut ovat sivut, jotka ovat yhtä suuria kulmia vastapäätä.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Starikov V. N. Geometrian tutkimus // Globus -tieteellisen aikakauslehden julkaisujen kokoelma V:n kansainvälisen tieteellis-käytännön konferenssin "Modernin tieteen saavutukset ja ongelmat", Pietari: artikkelikokoelma (standarditaso, akateeminen taso). S-P.: Tieteellinen aikakauslehti Globus , 2016. S. 99-100
↑ Geometrian tehtäväjärjestelmä R. K. Gordin. Tehtävä 6480 . Haettu 26. huhtikuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 4. maaliskuuta 2016. (määrätön)

Kirjallisuus

Geometry 7-9 / L. S. Atanasyan et ai. - 12. painos. - M.: Enlightenment, 2002. - 384 s.:
Zetel S.I. Uusi kolmion geometria. Opas opettajille. 2. painos. M.: Uchpedgiz, 1962. 153 s.

Linkit

Kolmio
Kolmioiden tyypit	Suorakulmainen Tasakylkinen Tasasivuinen Tasakylkinen suorakaiteen muotoinen
Ihanat linjat kolmiossa	Mediaani Korkeus Bisector Keskisuorassa keskiviiva Piirretyt ja kaiverretut ympyrät Simsonin suora Eulerin linja Simediana Cheviana
Kolmion merkittäviä pisteitä	Orthocenter Keskus Incent Brocardin piste Vecten-piste Point Gergonne Lemoinen piste Miquel pointti Nagelin piste Napoleonin pisteet Torricellin kohdat Yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste Spieker Center Kolmiokeskusten tietosanakirja
Peruslauseet	kolmion epätasa-arvo Merkkejä kolmioiden samankaltaisuudesta Kolmioiden ratkaiseminen Kolmion ulkokulman lause Kolmion kulmien summan lause Pythagoraan lause Kosinilause Sinilause Projektiolause Heronin kaava
Lisälauseita	Van Obelin lause Menelaoksen lause Reuschlen (Terkema) lause Stewartin lause Tangenttilause Kotangenttilause Cevan lause Mollweiden kaavat
Yleistykset	pallomainen kolmio hyperbolinen kolmio Yksinkertainen