Hyperbolinen kolmio

Hyperbolisessa geometriassa hyperbolinen kolmio on kolmio hyperbolisessa tasossa . Se koostuu kolmesta segmentistä , joita kutsutaan sivuiksi tai reunoiksi , ja kolmesta pisteestä , joita kutsutaan kulmiksi tai pisteiksi .

Kuten euklidisessa tapauksessa, mielivaltaisen hyperbolisen avaruuden kolme pistettä ovat aina samassa tasossa. Siksi tasomaiset hyperboliset kolmiot kuvaavat myös kolmioita, jotka ovat mahdollisia missä tahansa korkean ulottuvuuden hyperbolisissa tiloissa.

Määritelmä

Hyperbolinen kolmio koostuu kolmesta ei- kollineaarisesta pisteestä ja kolmesta niiden välisestä segmentistä [1] .

Ominaisuudet

Hyperbolisilla kolmioilla on joitain ominaisuuksia, jotka ovat samanlaisia kuin euklidisen geometrian kolmioilla :

Jokaisella hyperbolisella kolmiolla on piirretty ympyrä , mutta jokaisella hyperbolisella kolmiolla ei ole rajattua ympyrää (katso alla) [2] [3] . Sen kärjet voivat olla horosyklissä tai hypersyklissä .

Hyperbolisilla kolmioilla on joitain ominaisuuksia, jotka ovat samanlaisia kuin pallomaisen tai elliptisen geometrian kolmioilla :

Kaksi kolmiota, joilla on sama kulmien summa, ovat pinta-alaltaan yhtä suuret.
Kolmioiden alueella on yläraja.
Piirretyn ympyrän säteellä on yläraja .
Kaksi kolmiota ovat yhteneväisiä silloin ja vain, jos ne menevät toisiinsa rajallisen heijastusmäärän seurauksena suorasta.
Kaksi kolmiota, joilla on samat vastaavat kulmat, ovat yhteneviä (eli kaikki samanlaiset kolmiot ovat yhteneviä).

Hyperbolisilla kolmioilla on joitain ominaisuuksia, jotka ovat päinvastaisia kuin pallomaisessa tai elliptisessä geometriassa olevilla kolmioilla :

Kolmion kulmien summa on pienempi kuin 180°.
Kolmion pinta-ala on verrannollinen sen kulmien summan alijäämään (180° asti).

Hyperbolisilla kolmioilla on myös joitain ominaisuuksia, joita ei löydy muista geometrioista:

Joillakin hyperbolisilla kolmioilla ei ole rajattua ympyrää , mikä on tilanne, kun vähintään yksi kärkipisteistä on ihanteellinen piste tai kun kaikki kärjet ovat horosyklissä tai yksipuolisessa hypersyklissä .
Hyperboliset kolmiot ovat ohuita , sivun pisteestä toisiin kahteen sivuun on suurin etäisyys δ. Tämä periaate johtaa δ-hyperbolisiin avaruuksiin .

Kolmiot täydellisillä huippupisteillä

Kolmion määritelmää voidaan yleistää antamalla kärkien olla hypertason ideaalisella rajalla sivujen ollessa tason sisällä. Jos sivupari on asymptoottisesti yhdensuuntainen (eli niiden välinen etäisyys pyrkii nollaan lähestymään ideaalista pistettä , mutta ne eivät leikkaa), niin ne päättyvät ideaaliseen kärkeen , jota edustaa omega-piste .

Sellaisen sivuparin sanotaan muodostavan nollakulman.

Kolmio, jossa on nollakulma, ei ole mahdollinen euklidisessa geometriassa suoraviivaisille sivuille , jotka sijaitsevat eri viivoilla. Tällaiset nollakulmat ovat kuitenkin mahdollisia tangenttiympyröille .

Kolmiota, jolla on yksi täydellinen kärki, kutsutaan omega-kolmioksi .

Erikoistyypit kolmiot, joissa on täydelliset kärjet:

Yhdensuuntaisuuden kolmio

Kolmio, jossa yksi kärki on ihanteellinen piste, yksi kulma on suora kulma - kolmas kulma on yhdensuuntaisuuskulma oikean kulman ja kolmannen kulman väliselle sivulle.

Schweikertin kolmio

Kolmio, jossa kaksi kärkeä on täydellisiä pisteitä ja jäljelle jäävä kulma on suora kulma . Tämä on yksi ensimmäisistä hyperbolisista kolmioista (1818), jonka kuvaili Ferdinand Karl Schweikert.

Täydellinen kolmio

Kolmio, jonka kaikki kärjet ovat ihanteellisia pisteitä. Tällainen kolmio on suurin Lobatševskin geometrian mahdollisista kolmioista, koska sen kulmien summa on nolla.

Standardoitu Gaussin kaarevuus

Kulmien ja sivujen väliset suhteet ovat samanlaisia kuin samojen objektien väliset suhteet pallomaisessa trigonometriassa . Pallomaisen ja Lobatševskin geometrian pituusasteikko voidaan määritellä esimerkiksi tasasivuisen kolmion sivun pituudeksi, jossa on kiinteät kulmat.

Pituusasteikko on kätevin, jos pituudet mitataan absoluuttisena pituutena (erityinen pituuden yksikkö, joka on analoginen etäisyyksien välisen suhteen kanssa pallomaisessa geometriassa ). Pituusasteikon valinta helpottaa kaavoja [4] .

Poincarén mallin suhteen yläpuolitasossa absoluuttinen pituus vastaa infinitesimaalimetriikkaa ja Poincarén levymallissa se vastaa $ds={\frac {|dz|}{\operaattorinimi {Im} (z)))$ ${\displaystyle ds={\frac {2|dz|}{1-|z|^{2))))$

Hyperbolisen tason (vakio negatiivisen) Gaussin kaarevuuden K suhteen absoluuttisen pituuden yksikkö vastaa pituutta.

R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}.

Hyperbolisessa kolmiossa kulmien A , B , C summa (jotka vastaavat samoilla kirjaimilla olevia vastakkaisia puolia) on tiukasti pienempi kuin suora kulma . Suoran kulman mitan ja kolmion kulmien summan välistä eroa kutsutaan kolmion virheeksi . Hyperbolisen kolmion pinta- ala on yhtä suuri kuin sen vika kerrottuna neliöllä R :

(\pi -ABC)R^{2}{}{}.\!

Tämä Johann Heinrich Lambertin [5] ensimmäisenä todistama lause liittyy Girardin lauseeseen pallogeometriassa.

Trigonometria

Kaikissa alla olevissa kaavoissa sivut a , b ja c on mitattava absoluuttisena pituutena , yksikkönä siten, että pinnan Gaussin kaarevuus K on −1. Toisin sanoen, R :n arvo yllä olevassa kappaleessa tulisi katsoa yhtä suureksi kuin 1.

Hyperbolisten kolmioiden trigonometriset kaavat riippuvat hyperbolisista funktioista sh, ch ja th.

Suorakulmaisten kolmioiden trigonometria

Jos C tarkoittaa oikeaa kulmaa , niin:

Kulman A sini on yhtä suuri kuin vastapuolen A hyperbolinen sini jaettuna hypotenuusan c hyperbolisella sinillä .

\sin A={\frac {\mathrm {sh} \,a}{\,\mathrm {sh} \,c\,}}.\,

Kulman A kosini on yhtä suuri kuin viereisen haaran b hyperbolinen tangentti jaettuna hypotenuusan c hyperbolisella tangentilla .

\cos A={\frac {\mathrm {th} \,b}{\,\mathrm {th} \,c\,}}.\,

Kulman A tangentti on yhtä suuri kuin vastakkaisen haaran a hyperbolinen tangentti jaettuna viereisen haaran b hyperbolisella sinillä .

\mathrm {tg} \,A={\frac {\mathrm {th} \,a}{\,\mathrm {sh} \,b\,}}.

Kulman A viereisen haaran b hyperbolinen kosini on yhtä suuri kuin kulman B kosini jaettuna kulman A sinillä .

{\textrm {ch(b)}}={\frac {\cos B}{\sin A)).

Hypotenuusan c hyperbolinen kosini on yhtä suuri kuin jalkojen a ja b hyperbolisten kosinien tulo .

{\textrm {ch(c)))={\textrm {ch(a)))}{\textrm {ch(b)))).

Hypotenuusan H hyperbolinen kosini on yhtä suuri kuin kulmien kosinien tulo jaettuna niiden sinien tulolla [6] .

ch(H)

={\frac {\cos A\cos B}{\sin A\sin B))=\mathrm {ctg} \,A\mathrm {ctg} \,B

Kulmien väliset suhteet

Seuraavat yhtäläisyydet ovat totta [7] :

\cos A=\mathrm {ch} \,a\sin B

\sin A={\frac {\cos B}{\mathrm {ch} \,b))

\mathrm {tg} \,A={\frac {\cot B}{\mathrm {ch} \,c))

\cos B=\mathrm {ch} \,b\sin A

\mathrm {ch} \,c=\mathrm {ctg} \,A\mathrm {ctg} \,B

Alue

Suorakulmaisen kolmion pinta-ala on:

Neliö

={\frac {\pi }{2}}-\angle A-\angle B

yhtä hyvin kuin

{\textrm {Area}}=2\arctan(\mathrm {th} \,({\frac {a}{2}})\mathrm {th} \,({\frac {b}{2 }})))

[8] . Yhdensuuntaisuuden kulma

Right Angle Omega Triangle Instance tarjoaa konfiguraation kolmion yhdensuuntaisuuskulman testaamiseen .

Siinä tapauksessa, että kulma B = 0, a = c = ja , saadaan ( b = viereinen jalka) $\infty$ ${\textrm {th}}(\infty )=1$ $\cos A={\textrm {th(b))).$

Tasasivuinen kolmio

Suorakulmaisten kolmioiden trigonometriset kaavat antavat myös tasasivuisen kolmion sivujen s ja kulmien A välisen suhteen (kolmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkiä ja kaikki kulmat yhtä suuret):

$\cos A={\frac {{\textrm {th}}{\frac {1}{2}}s}({\textrm {th}}(s)))$

$\mathrm {ch} \,{\frac {1}{2}}s={\frac {\cos({\frac {1}{2}}A)}{\sin(A))) ={\frac {1}{2\sin({\frac {1}{2}}A)))$

Yleinen trigonometria

Riippumatta siitä, onko C suora kulma vai ei, seuraavat suhteet pätevät: Hyperbolinen kosinilaki :

\mathrm {ch} \,c=\mathrm {ch} \,a\mathrm {ch} \,b-\mathrm {sh} \,a\mathrm {sh} \,b\cos C,

Lain kaksoislause

\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\mathrm {ch} \,c,

On olemassa myös sinilaki :

{\frac {\sin A}{\mathrm {sh} \,a}}={\frac {\sin B}{\mathrm {sh} \,b}}={\frac {\sin C }{\mathrm {sh} \,c)),

ja neljän termin kaava:

\cos C\mathrm {ch} \,a=\mathrm {sh} \,a\mathrm {ch} \,b-\sin C\mathrm {ctg} \,B.

Katso myös

Alushousut (matematiikka)
kolmioryhmä

Hyperbolinen trigonometria:

Muistiinpanot

↑ Stothers, 2000 .
↑ Atanasyan L. S. Circle // Lobachevskyn geometria / toim. M. S. Strigunova . - M .: BINOM. Knowledge Laboratory, 2014. — S. 125—126. — 467 s. - ISBN 978-5-9963-2364-7 .
↑ Atanasyan L. S. Kolmion merkittäviä pisteitä ja viivoja // Lobachevsky Geometry / toim. M. S. Strigunova . - M .: BINOM. Knowledge Laboratory, 2014. — s. 166-167. — 467 s. - ISBN 978-5-9963-2364-7 .
↑ Needham, 1998 , s. 270.
↑ Ratcliffe, 2006 , s. 99.
↑ Martin, 1998 , s. 433.
↑ Smogorzhevski, 1982 , s. 63.
↑ Matematiikan pinovaihto, 2015 .

Kirjallisuus

Stothers Wilson. Hyperbolinen geometria . — University of Glasgow , 2000. , Interaktiivinen sivusto
Tristan Needham. Visuaalinen monimutkainen analyysi . - Oxford University Press, 1998. - S. 270. - ISBN 9780198534464 .
John Ratcliffe. Hyperbolisten jakoputkien perusteet . - Springer, 2006. - V. 149. - P. 99. - (Matematiikan tutkinnon tekstit). — ISBN 9780387331973 . Lainaus: "Se. Se, että hyperbolisen kolmion pinta-ala on verrannollinen kulmien virheeseen, ilmestyi ensimmäisen kerran Lambertin monografiassa Theorie der Parallellinien , joka julkaistiin vuonna 1786.
George E. Martin. Geometrian perusteet ja ei-euklidinen taso . - Korjattu 4. painos .. - New York, NY: Springer, 1998. - s . 433 . — ISBN 0-387-90694-0 .
Smogorzhevski AS Lobachevsky geometria . - Moskova: Mir Publishers, 1982. - s . 63 .
Suorakulmaisen hyperbolisen kolmion pinta-ala sivujen pituuksien funktiona // Matematiikan pinonvaihto . – 2015.

Lue lisää lukemista varten

Svetlana Katok (1992) Fuchsian Groups , University of Chicago Press ISBN 0-226-42583-5