Täydellinen pointti

Väärä piste , ihanteellinen piste , omega piste tai piste äärettömässä [1] on hyvin määritelty piste hyperbolisen tason tai avaruuden ulkopuolella. Kun on annettu suora l ja piste P paikan l ulkopuolella , niin P : n kautta kulkevat suorat , oikealla ja vasemmalla yhdensuuntaisesti suoran l rajalla , suppenevat pisteeseen l ideaalisissa pisteissä .

Toisin kuin projektiivisessa tapauksessa, ideaaliset pisteet muodostavat rajan pikemminkin kuin alijoukon. Siten nämä suorat eivät leikkaa ideaalisessa pisteessä, eivätkä tällaiset pisteet, vaikkakin hyvin määritelty , eivät kuulu itse hyperboliseen avaruuteen.

Ideaalipisteet yhdessä muodostavat Cayleyn absoluutin tai hyperbolisen geometrian rajan . Esimerkiksi yksikköympyrä muodostaa Poincarén levymallin ja Kleinin levymallin Cayleyn absoluutin . Samalla reaaliviiva muodostaa puolitasomallin Cayleyn absoluutin [2] .

Paschin aksiooma ja lause kolmion ulkokulmasta pätevät omega-kolmiolle , joka määritellään kahdella hyperbolisen avaruuden pisteellä ja omega-pisteellä [3] .

Ominaisuudet

Ihanteellisten pisteiden ja minkä tahansa muun pisteen tai muun pisteen välinen hyperbolinen etäisyys on ääretön.
Horosyklien ja orysfäärien keskukset ovat ihanteellisia pisteitä. Kaksi horosykliä ovat samankeskisiä, kun niillä on sama keskus.

Monikulmiot ideaalipisteillä

Täydelliset kolmiot

Jos kaikki kolmion kärjet ovat täydellisiä pisteitä, niin kolmio on täydellinen kolmio .

Täydellisillä kolmioilla on useita mielenkiintoisia ominaisuuksia:

Kaikki täydelliset kolmiot ovat yhteneväisiä.
Täydellisen kolmion sisäkulmat ovat kaikki nollia.
Jokaisella täydellisellä kolmiolla on ääretön ympärysmitta.
Jokaisella täydellisellä kolmiolla on pinta-ala , jossa K on yhtä suuri kuin tason (negatiivinen) kaarevuus [4] . $\pi /-K$

Ihanteelliset nelikulmiot

Jos kaikki nelikulmion kärjet ovat ideaalipisteitä, niin nelikulmio on täydellinen nelikulmio.

Vaikka kaikki täydelliset kolmiot ovat yhteneväisiä, kaikki nelikulmiot eivät ole yhteneväisiä, diagonaalit voivat leikata eri kulmissa, mikä johtaa epäjohdonmukaisiin nelikulmioihin, joissa:

Täydellisen nelikulmion sisäkulmat ovat kaikki nollia.
Jokaisella täydellisellä nelikulmiolla on ääretön ympärysmitta.
Jokaisella ideaalilla (kuperalla ilman risteytymistä) nelikulmiolla on pinta-ala , jossa K on yhtä suuri kuin tason (negatiivinen) kaarevuus. $2\pi /-K$

Täydellinen neliö

Täydellinen nelikulmio, jossa kaksi diagonaalia ovat kohtisuorassa , muodostaa täydellisen neliön.

Täydellistä neliötä käytti Ferdinand Karl Schweikart muistiossaan, jossa hän mainitsee "astraaligeometrian". Se oli yksi ensimmäisistä julkaisuista, joka myönsi hyperbolisen geometrian mahdollisuuden [5] .

Ihanteellinen n -gons

Kuinka n - kulmiot voidaan jakaa ( n − 2) täydellisiin kolmioihin ja monikulmion pinta-ala on yhtä suuri kuin täydellisen kolmion pinta-ala kertaa ( n − 2) .

Esitykset hyperbolisen geometrian malleissa

Hyperbolisen tason Klein -levymallissa ja Poincaren kiekkomallissa ihanteelliset pisteet ovat yksikköympyrät (hyperboliselle tasolle) tai yksikköpallo (korkeamman ulottuvuuden avaruudelle), jotka ovat hyperbolisen avaruuden saavuttamaton raja.

Sama hyperbolinen suora viiva Kleinin levymallissa ja Poincarén levymallissa kulkee samojen kahden ideaalisen pisteen kautta.

Klein-levymalli

Kun avoimessa yksikkölevyssä on kaksi erillistä pistettä p ja q , ainoa niitä yhdistävä suora leikkaa yksikköympyrän kahdessa ideaalisessa pisteessä a ja b (olettaen, että pisteet ovat järjestyksessä a , p , q , b ), joten | aq| >|ap| ja |pb| > |qb|. Sitten p :n ja q : n välinen hyperbolinen etäisyys saadaan kaavalla

d(p,q)={\frac {1}{2}}\log {\frac {\left|qa\right|\left|bp\right|}{\left|pa\right|\ vasen|bq\oikea|}},

Poincarén levymalli

Kun annetaan kaksi erillistä pistettä p ja q avoimessa yksikkölevyssä, niin yksittäinen ympyräkaari , joka on kohtisuorassa rajaan ja yhdistää pisteitä , leikkaa yksikköympyrän kahdessa ideaalisessa pisteessä a ja b (olettaen, että pisteet ovat järjestyksessä a , p , q , b ), joten |aq| >|ap| ja |pb| > |qb|. Sitten p :n ja q : n välinen hyperbolinen etäisyys saadaan kaavalla

d(p,q)=\log {\frac {\left|qa\right|\left|bp\right|}{\left|pa\right|\left|bq\right|)),

Tässä etäisyys mitataan pitkin (suoraa) segmenttiä aq, ap, pb ja qb.

Poincarén puolitasomalli

Puolitasomallissa ideaaliset pisteet ovat raja-akselin pisteitä . On myös toinen ideaalinen piste, joka ei kuulu puolitasomalliin (mutta positiivisen y -puoliakselin suuntaiset säteet lähestyvät sitä).

Hyperbolinen malli

Hyperboloidimallissa ei ole vääriä pisteitä .

Katso myös

Väärä kolmio
Äärettömän kaukainen piste muille geometrioille.

Muistiinpanot

↑ Komatsu, 1981 , s. 103-104.
↑ Struve, Struve, 2010 , s. 151-170.
↑ Hvidsten, 2005 , s. 276-283.
↑ Thurston, 2012 .
↑ Bonola, 1955 , s. 75–77.

Kirjallisuus

Matsuo Komatsu. Erilaisia geometrioita. - M . : Tieto, 1981.
Thomas Q. Sibley. Geometrinen näkökulma: geometrioiden kartoitus . - Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1998. - S. 109. - ISBN 0-201-87450-4 .
Horst Struve, Rolf Struve. Ei-euklidiset geometriat: Cayley-Kleinin lähestymistapa // Journal of Geometry. - 2010. - T. 89 , no. 1 . — ISSN 0047-2468 . - doi : 10.1007/s00022-010-0053-z .
Michael Hvidsten. Geometria Geometry Explorerilla. - New York, NY, 2005. - ISBN 0-07-312990-9 .
Robert Bonola. Ei-euklidinen geometria: kriittinen ja historiallinen tutkimus sen kehityksestä . - New York, NY: Dover, 1955. - s . 75-77 . — ISBN 0486600270 .
Dylan. 274 Käyrät pinnoilla, Luento 5 . – 2012.