Konformaalinen euklidinen malli

Konformaalinen euklidinen malli tai Poincarén malli on malli Lobatševskin avaruudesta.

Mallia on muunnelmia - ympyrässä ( stereografinen projektio ) ja puolitasossa Lobatševskin planimetriaa varten sekä pallossa ja puoliavaruudessa - vastaavasti Lobatševskin stereometriaa varten.

Konformaalinen euklidinen malli on huomionarvoinen siitä, että siinä kulmat esitetään tavallisilla kulmilla, eli tämä malli on konforminen [1] , toisin kuin projektiivinen malli , jossa kulmien määrittely on paljon vaikeampaa.

Historia

Tätä mallia ehdotti Eugenio Beltrami yhdessä projektiivisen mallin ja pseudosfäärimallin kanssa . [2] Konformaalisen euklidisen mallin metriikka on myös Riemannin kuuluisassa luennossa "Geometrian taustalla olevista hypoteeseista", mutta Beltrami löysi yhteyden Lobatševskin geometriaan. Myöhemmin Henri Poincaré löysi tämän mallin yhteydet kompleksisen muuttujan funktioteorian ongelmiin, mikä antoi yhden Lobatševskin geometrian ensimmäisistä vakavista sovelluksista .

Mallit ympyrässä ja pallossa

Lobatševskin taso on ympyrän sisäosa (näkyy kuvassa) euklidisessa avaruudessa; tietyn ympyrän (ympyrän) rajaa kutsutaan "absoluuttiseksi". Geodeettisten viivojen roolia suorittavat tämän ympyrän sisältämät ympyrän kaaret, jotka ovat kohtisuorassa absoluuttista ja sen halkaisijat; Liikkeiden rooli on muunnokset, jotka saadaan inversioiden yhdistelmillä ympyröiden suhteen, joiden kaaret toimivat suorina viivoina. $(a,\;b,\;b')$

Lobatševskin tason metriikka konformisessa euklidisessa mallissa yksikköympyrässä on: $ds$

ds^{2}={\frac {4}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2))}(dx^{2}+dy^{2 }),

missä ja ovat abskissa- ja ordinaatta - akselit [3] . $x$ $y$

Vastaavasti pallon konformisessa euklidisessa mallissa absoluutin roolia esittää rajapallo kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa ja Lobatševsky- avaruus on pallon sisäosa.

Etäisyydet

Yksikköympyrän kompleksisissa koordinaateissa etäisyydet voidaan laskea seuraavalla kaavalla:

\mathop {\rm {th}} [{\tfrac {1}{2}}\cdot d_{h}(z,w)]=\left|{\frac {zw}{1-z\ cdot {\bar {w}}}}\right|.

Etäisyys voidaan ilmaista kaksoissuhteella . Jos kaarella pisteet sijaitsevat seuraavassa järjestyksessä: , , , niin pisteiden ja etäisyys Lobatševskin geometriassa on yhtä suuri kuin $w_{1}$ $z_{1}$ $w_{1}$ $w$ $z$ $z_{1}$ $w$ $z$

d_{h}(z,w)=\ln \left({\frac {z-w_{1}}{z-z_{1}}}:{\frac {w-w_{1}} {w-z_{1}}}\oikea)

Puolitaso- ja puoliavaruusmallit

Poincaren puolitasomallissa ylempi puolitaso on otettu Lobatševsky- tasoksi . Puolitasoa (eli abskissa-akselia) rajoittavaa suoraa kutsutaan "absoluuttiseksi". Suorien viivojen roolia esittävät puoliympyrät, jotka sisältyvät tähän puolitasoon, joiden keskipisteet ovat absoluuttisessa ja siihen kohtisuorassa olevat säteet (eli pystysuorat säteet), jotka alkavat absoluutista. Liikkeiden rooli on muunnokset, jotka saadaan muodostamalla äärellinen määrä inversioita , jotka keskittyvät absoluuttiseen ja aksiaaliseen symmetriaan , joiden akselit ovat kohtisuorassa absoluuttiseen nähden.

Lobatševskin tasometriikka konformisessa euklidisessa mallissa ylemmässä puolitasossa on muotoa: [3] , jossa ja ovat suorakaiteen muotoisia koordinaatteja, vastaavasti yhdensuuntaisia ja kohtisuorassa absoluuttiseen nähden. $ds$ $ds^{2}={\frac {1}{v^{2}}}(du^{2}+dv^{2})$ $u$ $v$

Vastaavasti konformisessa euklidisessa mallissa puoliavaruudessa absoluutin roolia esittää taso kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa, ja Lobatševskin avaruus on tällä tasolla oleva puoliavaruus.

Katso myös

Pickin lause on invariantti Schwartzin lemman muoto, joka käyttää etäisyyksiä konformisessa euklidisessa mallissa.

Muistiinpanot

↑ Popov A.G. Pseudosfääriset pinnat ja joitain matemaattisen fysiikan ongelmia . Haettu 24. heinäkuuta 2007. Arkistoitu alkuperäisestä 20. maaliskuuta 2022. (määrätön)
↑ Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II, 2 (1868), 232-255.
käännös: Beltrami E. Vakiokaarevuusavaruuksien teorian perusteet. // Geometrian perusteista: Kokoelma. - M .: GITTL, 1956. - S. 342-365 .
↑ 1 2 Buyalo S. V. Luentokurssi "Metristen tilojen asymptoottinen geometria" kevät 2004.

Kirjallisuus

Chernikov N. A. Bogolyubovin muunnos ja Lobachevsky-planimetria. Osa 4, kahden Poincaré-mallin vertailu. (linkki ei ole käytettävissä 18-05-2013 [3446 päivää] lähtien - historia )
Samarov K., Uroev V. "Poincare-malli". - Quantum-lehti. – 1984. - numero 6.