Schwartz Lemma

Schwartzin lemma on klassinen tulos monimutkaisesta analyysistä , joka on tehty harmonisista kartoituksen ympyrästä itsestään.

Nimetty Karl Schwartzin mukaan .

Sanamuoto

Antaa olla yksikköympyrä monimutkaisella tasolla . Lisäksi funktion on oltava analyyttinen ja täytettävä kaksi ehtoa: $\Delta =\{z:|z|<1\}$ $\mathbb {C}$ $f$ $\Delta$

$f(0) = 0$ ;
$f(\Delta )\subset {\overline {\Delta ))$ , tai vastaavasti . $|f(z)|\leqslant 1$

Sitten:

$|f(z)|\leqslant |z|$ in ; $\Delta$
$|f'(0)|\leqslant 1$ .

Lisäksi nämä molemmat epäyhtälöt muuttuvat yhtäläisiksi silloin ja vain, jos funktiolla on muoto , eli se pelkistyy kiertoon. Todistuksen ideana on, että funktio on analyyttinen ja soveltaa siihen harmonisten funktioiden maksimiperiaatetta. $f(z)=e^{{i\varphi }}z$ $f(z)/z$ $|z|<1$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Schwartzin lemma, jota sovelletaan lineaarisen murto-osan kuvauksen alkuperäiseen ympyrään , johtaa automaattisesti yleisempään lausuntoon - Schwartz-Peak-lauseeseen .

Kirjallisuus

Shabat BV Johdatus monimutkaiseen analyysiin. - M .: Nauka , 1969 . - S. 192. - 577 s.
Titchmarsh E. Funktioteoria: Per. englannista. - 2. painos, tarkistettu. - M .: Nauka , 1980 . — 464 s.
Privalov II Johdatus monimutkaisen muuttujan funktioteoriaan: Käsikirja korkeakouluille. - M. - L .: Valtion Kustantaja, 1927 . — 316 s.
Evgrafov M. A. Analyyttiset toiminnot. - 2. painos, tarkistettu. ja ylimääräistä - M .: Nauka , 1968 . — 472 s.