Brocardin piste

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 5.6.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 6 muokkausta .

Brocardin piste
Kolmion Brocard-piste , joka on rakennettu kolmen ympyrän leikkauspisteeksi $P$ $\kolmio ABC$
barysentriset koordinaatit	${\frac {1}{a^{2}}}:{\frac {1}{b^{2}}}:{\frac {1}{c^{2}}}$
Trilineaariset koordinaatit	${\frac {1}{a^{3}}}:{\frac {1}{b^{3}}}:{\frac {1}{c^{3}}}$
ECT- koodi	X(76)
Yhdistetyt pisteet
isotomisesti konjugoitu	Lemoinen piste

Brokarin piste on yksi kahdesta kolmion sisällä olevasta pisteestä , jotka syntyvät kolmion kärjet yhdistävien osien leikkauspisteessä tämän kolmion kaltaisten ja sen sivuille rakennettujen kolmioiden vastaaviin vapaisiin pisteisiin . Niitä pidetään merkittävinä kolmion pisteinä , ja niiden avulla rakennetaan monia kolmion geometrian kohteita (mukaan lukien Brocardin ympyrä , Brocardin kolmio , Neubergin ympyrä ).

Nimetty ranskalaisen meteorologin ja geometrin Henri Brocardin mukaan, joka kuvaili pisteitä ja niiden rakennetta vuonna 1875 , mutta ne tunnettiin myös aikaisemmin, erityisesti ne rakennettiin saksalaisen matemaatikon ja arkkitehdin August Crellen töissä , joka julkaistiin vuonna 1999. 1816 .

Encyclopedia of Triangle Centers -tietosanakirjassa Brocardin ensimmäinen piste on . $X(39)$

Määritelmä

Vuonna kolmio , jonka sivut , , Ja vastapäätä vertices , ja Vastaavasti, on vain yksi piste sellainen, että linja segmentit , Ja muodostavat saman kulman kanssa sivut , ja Vastaavasti: . Pistettä kutsutaan kolmion ensimmäiseksi Brocard-pisteeksi ja kulmaa kutsutaan kolmion Brocard- kulmaksi . $\kolmio ABC$ $a$ $b$ $c$ $A$ $B$ $C$ $P$ $AP$ $BP$ $CP$ $\omega$ $c$ $a$ $b$ $\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA$ $P$ $\kolmio ABC$ $\omega$

Brocard-kulmalle pätee seuraava tunnus: . Brocard -kulmalle pätee seuraava Yiff-epäyhtälö : , missä ovat vaaditun kolmion kulmat [1] . $\omega$ $\mathrm {ctg} \,\omega =\mathrm {ctg} \,\angle BAC+\mathrm {ctg} \,\angle ABC+\mathrm {ctg} \,\angle ACB$ $\omega$ $8\omega ^{3}\leq \alpha \beta \gamma$ $\alpha =\angle BAC,\beta =\angle ABC,\gamma =\angle ACB$

Kolmiolla on myös toinen Brocard-piste , niin että janat , ja muodostavat saman kulman sivujen kanssa ja vastaavasti: . Toinen Brocard - piste on isogonaalisesti konjugoitu ensimmäiseen Brocard-pisteeseen, eli kulma on yhtä suuri kuin kulma . $\kolmio ABC$ $K$ $AQ$ $BQ$ $CQ$ $b$ $c$ $a$ $\angle QCB=\angle QBA=\angle QAC$ $\angle PBC=\angle PCA=\angle PAB$ $\angle QCB=\angle QBA=\angle QAC$

Kaksi Brocard-pistettä liittyvät läheisesti toisiinsa, niiden välinen ero on siinä järjestyksessä, jossa kolmion kulmat on numeroitu, joten esimerkiksi kolmion ensimmäinen Brocard-piste osuu yhteen kolmion toisen Brocard-pisteen kanssa. . $\kolmio ABC$ $\triangle ACB$

Rakentaminen

Tunnetuin Brocardin pisteiden rakennus on ympyröiden leikkauspiste, joka on rakennettu seuraavasti: sillä ympyrä piirretään pisteiden läpi ja koskettaa sivua ( tämän ympyrän keskipiste on pisteessä, joka on kohtisuoran puolittajan leikkauspisteessä sivu , jossa viiva kulkee läpi ja on kohtisuorassa ); samalla tavalla ympyrä muodostetaan pisteiden läpi ja ja koskettaa sivua ; kolmas ympyrä on pisteiden läpi ja ja sivun tangentti . Näillä kolmella ympyrällä on yhteinen leikkauspiste, joka on kolmion ensimmäinen Brocard-piste . Toinen Brocard-piste rakennetaan samalla tavalla - ympyrät rakennetaan: kautta ja tangentti ; läpi ja koskettamalla ; läpi ja koskettamalla . $\kolmio ABC$ $A$ $B$ $eKr$ $AB$ $B$ $eKr$ $B$ $C$ $AC$ $A$ $C$ $AB$ $\kolmio ABC$ $A$ $B$ $AC$ $B$ $C$ $AB$ $A$ $C$ $eKr$

Ominaisuudet

Ensimmäisen ja toisen Brocard-pisteen homogeeniset kolmiviivaiset koordinaatit ovat ja vastaavasti. Siten niiden barysentriset koordinaatit [2] ja vastaavasti $c/b:a/c:b/a$ $b/c:c/a:a/b$ $c^{2}a^{2}:a^{2}b^{2}:b^{2}c^{2}$ $a^{2}b^{2}:b^{2}c^{2}:c^{2}a^{2}.$

Brocard-pisteet sijaitsevat Brocard-ympyrässä – ympyrässä, joka on diametraalisesti rakennettu segmentille, joka yhdistää rajatun ympyrän keskustan Lemoinen-pisteeseen . Se sisältää myös kahden ensimmäisen Brocardin kolmion kärjet. Brocard-pisteet konjugoidaan isogonaalisesti.

Brocardin piste on yksi kahdesta pisteestä kolmion sisällä, jonka cevians muodostavat yhtä suuret kulmat sen kolme sivua mitattuna sen kolmesta kärjestä.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Michiel Hazewinkel. Matematiikan tietosanakirja, liite III . — Springer Science & Business Media, 31.12.2001. - S. 83. - 564 s. — ISBN 9781402001987 .
↑ Scott, JA "Joitakin esimerkkejä aluekoordinaattien käytöstä kolmiogeometriassa", Mathematical Gazette 83, marraskuu 1999, 472-477.

Kirjallisuus

S. I. Zetel . Uusi kolmion geometria. - M . : Uchpedgiz, 1940. - S. 81-89. - 96 s.
Akopyan, A.V. & Zaslavsky, A.A. (2007), Geometry of Conics , voi. 26, Mathematical World, American Mathematical Society , s. 48–52, ISBN 978-0-8218-4323-9
Honsberger, Ross (1995), luku 10. The Brocard Points, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry , Washington, DC: The Mathematical Association of America
Prasolov V. V. Brocard-pisteet ja isogonaalinen konjugaatio (sarja "Kirjasto "Matematical Education"). M.: MTSNMO, 2000. 24 s.
Jakovlev IV Matematiikkaa käsitteleviä materiaaleja. Isogonaalinen konjugaatio. P. 5-6// https://mathus.ru/math/isogonal.pdf