Tangenttiviiva ympyrään

Ympyrän tangenttiviiva euklidisessa geometriassa tasossa on suora, jolla on täsmälleen yksi yhteinen piste ympyrän kanssa. Tangentti on myös mahdollista määritellä sekantin raja-asemaksi, kun sen leikkauspisteet ympyrän kanssa lähestyvät äärettömästi. Ympyrän tangenttiviivat ovat useiden lauseiden kohteena ja niillä on tärkeä rooli monissa geometrisissä rakenteissa ja todisteissa .

Saman ympyrän tangenttiviivat

Ympyrän C tangenttiviiva t leikkaa ympyrän yhdessä pisteessä T . Vertailun vuoksi leikkausviivat leikkaavat ympyrän kahdessa pisteessä, kun taas jotkut suorat eivät välttämättä leikkaa ympyrää ollenkaan. Tämä tangenttiviivan ominaisuus säilyy monilla geometrisilla muunnoksilla , kuten samankaltaisuus , rotaatio , translaatio , inversio ja karttaprojektio . Teknisesti ottaen nämä muunnokset eivät muuta tangenttiviivojen ja ympyröiden tulorakennetta, vaikka itse suorat ja ympyrät olisivat epämuodostuneita .

Tangenttipisteen läpi piirretyn ympyrän säde on kohtisuorassa tangenttiviivaa vastaan. Päinvastoin, säteen kohtisuora päätepisteessä (ympyrässä) on suoran tangentti. Ympyrällä yhdessä tangentin suoran kanssa on aksiaalinen symmetria säteen suhteen (kosketuspistettä kohti).

Mikään tangentti ei voi kulkea ympyrän sisällä olevan pisteen läpi, koska jokaisen sellaisen suoran on oltava sekantti. Samanaikaisesti mille tahansa ympyrän ulkopuoliselle pisteelle voidaan rakentaa kaksi sen läpi kulkevaa tangenttiviivaa. Ympyrästä ja kahdesta tangenttiviivasta koostuvalla geometrisella kuviolla on myös aksiaalinen symmetria pisteen P ympyrän O keskustaan yhdistävän suoran suhteen (katso kuvaa oikealla). Tässä tapauksessa janoilla pisteestä P kahteen tangenttipisteeseen on sama pituus. Pisteen astetta koskevan lauseen mukaan janan pituuden neliö kosketuspisteeseen on yhtä suuri kuin pisteen P aste ympyrän C suhteen. Tämä potenssi on yhtä suuri kuin minkä tahansa P :n kautta kulkevan katkoviivan etäisyyden tulo pisteestä P kahteen ympyrän leikkauspisteeseen.

Tangenttiviivalla t ja tangenttipisteellä T on ominaisuus konjugoitua toisiinsa; tämä vastaavuus voidaan yleistää ajatukseksi napasta ja napasta . Sama suhde on ympyrän ulkopuolella olevan pisteen P ja kahta kosketuspistettä yhdistävän sekanttiviivan välillä.

Jos piste P on ympyrän ulkopuolella, jonka keskipiste on O, ja jos tangenttiviivat P:stä koskettavat ympyrää pisteissä T ja S, kulmien ∠TPS ja ∠TOS summa on 180°.

Jos jänne TM vedetään suoran PT tangenttipisteestä T ja ∠PTM ≤ 90°, niin ∠PTM = (1/2)∠MOT.

Geometrinen rakenne

On suhteellisen helppoa rakentaa suora t , joka tangentti ympyrää pisteeseen T ympyrällä. Tätä varten piirrä viiva a ympyrän O ja pisteen T läpi . Sitten suora t on kohtisuorassa linjaa a vastaan . Yksi tapa muodostaa kohtisuora on seuraava (katso kuva). Piirretään ympyrä, jolla on sama säde ( r ), jonka keskipiste on pisteessä T , saamme toisen pisteen G suoralle a ja pisteestä T tulee janan OG keskipiste. Piirretään kaksi ympyrää, joiden säde on R > r ja joiden keskipisteet ovat pisteissä O ja G . Näiden ympyröiden leikkauspisteiden kautta kulkeva viiva on tangentti.

Voit muodostaa tangenttiviivan pisteen P kautta ympyrään C käyttämällä kulman ominaisuutta, joka perustuu ympyrän halkaisijaan . Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on pisteen H , janan OP keskipiste, missä O on ympyrän C keskipiste. T :n ja T' : n leikkauspisteet ovat pisteen P kautta kulkevien suorien tangenttipisteitä , koska kulmat ∠OTP ja ∠OT'P perustuvat H :n keskipisteen ympyrän halkaisijaan OP .

Rajoitettu nelisivulause ja piirretyt ympyrät

Kuvattu nelikulmio ABCD on suljettu kuvio, jonka neljä sivua ovat ympyrän C tangentti . Näin ollen C on nelikulmioon ABCD piirretty ympyrä. Pitotin lauseen mukaan minkä tahansa tällaisen nelikulmion vastakkaisten sivujen summat ovat yhtä suuret, eli

\overline {AB}+\overline {CD}=\overline {BC}+\overline {DA}.

Tämä johtopäätös seuraa nelikulmion kärkien tangenttien segmenttien yhtäläisyydestä. Merkitään kosketuspisteitä P (jana AB), Q (jana BC), R (jana CD) ja S (jana DA). Symmetriset janat kosketuspisteisiin nelikulmion ABCD jokaisesta kärjestä ovat yhtä suuret, eli BP=BQ= b , CQ=CR= c , DR=DS= d ja AS=AP= a . Mutta nelikulmion kumpikin puoli koostuu kahdesta tällaisesta segmentistä

\overline {AB}+\overline {CD}=(a+b)+(c+d)=\overline {BC}+\overline {DA}=(b+c)+(d+a)

joka todistaa väitteen.

Päinvastoin on myös totta - ympyrä voidaan kirjoittaa mihin tahansa kuperaan nelikulmioon, jossa vastakkaisten sivujen pituuksien summat ovat yhtä suuret. [yksi]

Tällä lauseella ja sen käänteellä on useita sovelluksia. Esimerkiksi lauseesta seuraa välittömästi, että ympyrää ei voi kirjoittaa mihinkään suorakulmioon, ellei se ole neliö , ja myös, että ympyrä voidaan kirjoittaa mihin tahansa rommiin, vaikka yleisessä tapauksessa ympyrää ei voi kirjoittaa suunnikkaaseen .

Tangenttiviivat kahteen ympyrään

Kahdella ympyrällä on yleensä neljä erillistä suoraa, jotka tangentit molempia ympyröitä, ellei yksi ympyrä ole toisessa, mutta degeneroituneissa tapauksissa tangentteja voi olla mikä tahansa määrä nollasta neljään. Nämä tapaukset kuvataan alla. Neljästä tangenttiviivasta kaksi on ulkoisia tangentteja, kun ympyrät sijaitsevat tangenttiviivan samalla puolella. Kahden muun suoran, sisäisten tangenttien, ympyrät osoittautuvat tangenttiviivan vastakkaisille puolille. Ulommat tangentit leikkaavat ulomman homoteetin keskellä , kun taas sisäiset tangentit leikkaavat sisäisen homoteetin keskellä. Sekä homoteetin sisä- että ulkokeskus sijaitsevat suoralla linjalla, joka kulkee ympyröiden keskipisteiden läpi, lähempänä pienemmän ympyrän keskustaa. Jos kahdella ympyrällä on sama säde, samat neljä tangenttia jäävät jäljelle, mutta ulommat tangenttiviivat ovat yhdensuuntaisia eikä affiinissa tasossa ole ulompaa homoteetisuuskeskusta . Projektiivisella tasolla homoteetin ulompi keskus sijaitsee äärettömässä kohdassa, joka vastaa viivojen leikkauskohtaa. [2]

Ulkoinen tangentti

Pisteitä T 1 ja T 3 , T 2 ja T 4 yhdistävät punaiset viivat ovat näiden kahden ympyrän ulkoisia tangentteja.

Sisäinen tangentti

Sisäiset tangentit ovat tangentteja, jotka leikkaavat ympyrän keskipisteitä yhdistävän janan. Huomaa, että sisäisiä tangentteja ei ole olemassa leikkaavien ympyröiden tapauksessa.

Rakentaminen

Kahden ympyrän tangentit voidaan muodostaa etsimällä homoteetin keskipisteet edellä kuvatulla tavalla ja rakentamalla sitten tangentit näiden keskusten kautta. On myös mahdollista rakentaa tangenttiviivoja ja tangenttipisteitä suoraan alla kuvatulla tavalla.

Alkugeometria

Olkoot O 1 ja O 2 kahden ympyrän C 1 ja C 2 keskipisteitä ja olkoot r 1 ja r 2 niiden säteet , kun taas r 1 > r 2 . Toisin sanoen ympyrää C 1 pidetään suurempana kahdesta ympyrästä. Ulkoisten ja sisäisten tangenttiviivojen muodostamiseen voidaan käyttää kahta eri menetelmää.

Ulkoiset tangentit

Piirrä uusi ympyrä C 3 , jonka säde on r 1 − r 2 ja jonka keskipiste on O 1 . Piirrä edellä kuvatulla menetelmällä kaksi tangenttiviivaa pisteestä O 2 tähän uuteen ympyrään. Nämä suorat ovat samansuuntaisia haluttujen tangenttiviivojen kanssa, koska tämä vastaa molempien ympyröiden C 1 ja C 2 säteiden pienenemistä samalla luvulla r 2 , jonka seurauksena ympyrä C 2 muuttuu pisteeksi. Ympyrän C 3 kahden tangentin kautta voidaan vetää kaksi sädettä keskustasta O 1 . Nämä säteet leikkaavat C 1 :n vaadituissa kosketuspisteissä. Halutut tangentit ovat kohtisuorassa näihin säteittäisiin säteisiin nähden ja ne voidaan rakentaa kuten yllä on esitetty.

Sisäiset tangentit

Piirrä uusi ympyrä C 3 , jonka säde on r 1 + r 2 ja jonka keskipiste on O 1 . Piirrä edellä kuvatulla menetelmällä kaksi tangenttiviivaa pisteestä O 2 tähän uuteen ympyrään. Nämä suorat ovat samansuuntaisia haluttujen tangenttiviivojen kanssa, koska tämä vastaa ympyrän C2 säteen pienenemistä nollaan samalla kun säde C1 kasvaa samalla vakiolla r2 . Kaksi säteittäistä sädettä voidaan vetää keskeltä O 1 kosketuspisteiden kautta C 3 :ssa . Nämä säteet leikkaavat C 1 :n vaadituissa kosketuspisteissä. Halutut sisäiset tangentit ovat kohtisuorassa säteittäisiin säteisiin nähden ja leikkaavat säteet löydetyissä pisteissä, jotta ne voidaan muodostaa yllä olevalla menetelmällä.

Itse asiassa tämä on sama rakenne kuin ulkoisten tangenttien kohdalla, jos oletetaan, että pienemmän ympyrän säde on negatiivinen.

Analyyttinen geometria

Olkoon ympyröiden keskipisteet c 1 = ( x 1 , y 1 ) ja c 2 = ( x 2 , y 2 ) ja säteet r 1 ja r 2 . Olkoon tangenttiviivalla yhtälö , jonka normalisointi on a 2 + b 2 = 1, niin etäisyys ympyröiden keskipisteistä suoraan lasketaan kaavoilla: $ax+by+c=0,$

ax 1 + x 1 + c = r 1 ja ax 2 + x 2 + c = r 2 .

Vähennä ensimmäinen yhtälö toisesta, saamme

a ∆ x + b ∆ y = ∆ r

missä Δ x \ u003d x 2 - x 1 , Δ y \ u003d y 2 - y 1 ja Δ r \ u003d r 2 - r 1 .

Jos on etäisyys c 1 :stä c 2 :een, voimme normalisoida tekemällä substituutiolla X = Δ x / d , Y = Δ y / d ja R = Δ r / d yhtälöiden yksinkertaistamiseksi, jolloin saadaan yhtälöt aX + bY = R ja a 2 + b 2 = 1. Ratkaisemme ne ja saamme kaksi ratkaisua ( k = ±1) kahdelle ulkoiselle tangenttiviivalle: $d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}$

a = RX − kY √(1 − R 2 ) b = RY + kX √(1 − R 2 ) c = r 1 − ( ax 1 + x 1 )

Geometrisesti tämä vastaa tangentin ja keskusten läpi vedetyn suoran muodostaman kulman laskemista, minkä jälkeen senttiviivaa kierretään tangentin yhtälön saamiseksi. Kulma voidaan laskea trigonometrian avulla suorakulmaisesta kolmiosta, jonka kärjet ovat homoteetin (ulompi) keskipiste, ympyrän keskipiste ja tangenttipiste. Hypotenuusa on keskiviivalla, säde on kulmaa vastapäätä oleva jalka ja kulman vieressä oleva jalka on suoran tangentissa.

( X , Y ) on yksikkövektori välillä c 1 - c 2 , kun taas R on , jossa on keskiviivan ja tangentin välinen kulma. sitten on yhtä suuri (riippuen merkistä , joka vastaa pyörimissuuntaa), ja yllä olevat yhtälöt ovat ( X , Y ) kierto käyttämällä kiertomatriisia $\cos \theta$ $\theta$ $\sin \theta$ $\pm {\sqrt {1-R^{2}}}$ $\theta$ $\pm\theta,$

{\begin{pmatrix}R&\mp {\sqrt {1-R^{2}}}\\\pm {\sqrt {1-R^{2}}}&R\end{pmatrix}}

k = 1 on ympyröiden oikealla puolella oleva tangenttiviiva katsottuna kohdasta c 1 suunnassa c 2 . k = −1 on ympyröiden oikealla puolella oleva tangenttiviiva katsottuna kohdasta c 2 suunnassa c 1 .

Kaikki yllä olevat argumentit olettavat, että ympyröiden säteet ovat positiivisia. Jos r 1 on positiivinen ja r 2 on negatiivinen, c 1 on jokaisen suoran vasemmalla puolella ja c 2 oikealla, ja kaksi tangenttiviivaa leikkaavat. Tällä tavalla voidaan saada kaikki neljä ratkaisua. Molempien säteiden etumerkin muutos johtaa vaihtoehtojen k = 1 ja k = −1 vaihtoon.

Vektorit

Yleisessä tapauksessa minkä tahansa neljän tangentin tangenttipisteet t 1 ja t 2 ympyröille, joiden keskipiste on v 1 ja v 2 ja joiden säteet ovat r 1 ja r 2 , saadaan ratkaisemalla neljä yhtälöä:

{\begin{align}(t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_) {2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_{1}-v_{1})&=r_{1}^{2}\\ (t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-v_{2})&=r_{2}^{2}\\\end{aligned}}

Nämä yhtälöt ilmaisevat sen tosiasian, että tangenttiviiva on kohtisuorassa säteitä vastaan ja tangenttipisteet sijaitsevat vastaavilla ympyröillä.

Nämä neljä toisen asteen yhtälöä, joissa on kaksiulotteisia vektorimuuttujia, antavat yleensä neljä paria ratkaisuja.

Degeneroituneet tapaukset

Kahdella eri ympyrällä voi olla suhteellisesta sijainnista riippuen nollasta neljään molempia ympyröitä tangenttia. Vaihtoehdot voidaan luokitella keskipisteiden välisen etäisyyden ja säteiden mukaan.

Jos ympyrät eivät kosketa ( ), joka on yleinen sijainti , on neljä tangenttia, jotka koskettavat molempia ympyröitä samanaikaisesti. $d>r_{1}+r_{2}$
Jos ympyrät ovat kosketuksessa ( ) - niillä on yksi ulkoinen kosketuspiste - niillä on kaksi ulkoista yhteistä tangenttia ja yksi sisäinen, joka kulkee ympyröiden kosketuspisteen kautta. Tällä yhteisellä tangenttiviivalla on monikertaisuus kaksi. $d=r_{1}+r_{2}$
Jos ympyrät leikkaavat kaksi pistettä ( ), niillä ei ole sisäisiä yhteisiä tangentteja ja niissä on kaksi ulkoista tangenttiviivaa. $|r_{1}-r_{2}|<d<r_{1}+r_{2}$
Jos ympyrät koskettavat toisiaan sisältä ( ) - sisäinen kosketuspiste on yksi - niillä ei ole sisäisiä yhteisiä tangentteja ja on yksi yhteinen ulkoinen tangentti, joka kulkee ympyröiden kosketuspisteen kautta, ja tällä viivalla on useita kaksi. $d=|r_{1}-r_{2}|$
Jos yksi ympyrä on kokonaan toisen sisällä ( ), niillä ei ole yhteisiä tangentteja, koska mikä tahansa sisemmän ympyrän tangentti on sekantti ulompaan. $d<|r_{1}-r_{2}|$

Lopuksi, jos ympyrät osuvat yhteen, mikä tahansa saman ympyrän tangentti on yhteinen tangentti.

Lisäksi yhteisen tangenttiviivan käsite voidaan laajentaa negatiivisäteisten ympyröiden tapaukseen (jotka muodostuvat samoista pisteistä , mutta "sisältä ulos"). Tässä tapauksessa, jos säteillä on vastakkaiset etumerkit (yhdellä ympyrällä on positiivinen säde, toisella on negatiivinen), homoteetin ulko- ja sisäkeskipisteet käännetään ja ulompi ja sisäinen yhteinen tangentti käännetään. Jos säteillä on sama merkki (molemmat säteet ovat positiivisia tai molemmat negatiivisia), käsitteillä "ulkoinen" ja "sisäinen" on tavallinen merkitys. $x^{2}+y^{2}=(-r)^{2},$

Nollasäteisille ympyröille voidaan määrittää yhteiset tangentit. Tässä tapauksessa ympyrää, jonka säde on nolla, käsitellään kaksoispisteenä, ja siksi mikä tahansa tämän pisteen kautta kulkeva suora leikkaa sen kahden kerrannaisuudella . Jos ympyrän säde on nolla, yhteinen tangenttiviiva on yksinkertaisesti pisteen läpi kulkevan ympyrän tangentti, mutta tämä suora lasketaan kahdesti. Jos molemmilla ympyröillä on nollasäde, niin yhteinen tangenttiviiva on kahden pisteen kautta kulkeva suora, ja tällä suoralla on monikerroin neljä.

Huomaa, että näissä rappeutuneissa tapauksissa homoteetin ulko- ja sisäkeskus säilyvät (ulompi keskus menee äärettömyyteen, jos säteet ovat yhtä suuret), paitsi jos ympyrät ovat samat (jolloin ulkokeskusta ei ole määritelty), tai kun molemmat ympyröillä on nollasäde (tässä tapauksessa ei ole sisäkeskusta).

Sovellukset

Hihnakäyttöongelma

Sisäiset ja ulkoiset tangentit ovat hyödyllisiä ratkaistaessa hihnakäytön ongelmaa , joka on laskea hihnan pituus, joka sopisi tiukasti voimansiirtopyörien ympärille. Jos tarkastellaan hihnaa matemaattisena käyränä, jonka paksuus on mitätön ja jos voimansiirtopyörät ovat täsmälleen samassa tasossa, ongelma rajoittuu tangenttisegmenttien yhteenlaskemiseen vastaavilla kaaren pituuksilla. Jos hihna venytetään pyörien yli risteyksessä, on otettava huomioon sisäiset tangentit. Jos hihnaa venytetään risteämättä, on huomioitava ulkoiset tangentit. Jälkimmäistä tapausta kutsutaan joskus hihnapyöräongelmaksi .

Tangenttiviivat kolmeen ympyrään: Mongen lause

Kolmea ympyrää C 1 , C 2 ja C 3 varten on kolme ympyräparia ( C 1 C 2 , C 2 C 3 ja C 1 C 3 ). Koska jokaisella ympyräparilla on kaksi homoteetisuuskeskusta, saadaan yhteensä kuusi homoteetisuuskeskusta . Gaspard Monge osoitti 1800-luvun alussa, että nämä kuusi pistettä sijaitsevat neljällä viivalla ja että kolme pistettä on kullakin viivalla.

Tangenttiviivat ja biljardi

Kippipallon tähtäävä tangenttiviivajärjestelmä käyttää lyöntipallon keskeltä kulkevaa viivaa luomaan kaksi tangenttiviivaa lyöntipallosta kohdepallon suuntaan. Kaksi tangenttiviivaa ja lyöntipallon keskeltä kulkeva viiva leikkaavat kohdepallon keskeltä ja taskun keskustan läpi kulkevan viivan. Isku on suunnattava niin, että lyöntipallon (kuvassa kuvitteellinen pallo) loppuasento koskettaa kohdepalloa kosketuspisteessä suoralla linjalla, joka on kohtisuorassa taskun suuntaan (kuvassa tämä tangentti on korostettu vihreällä).

Apolloniuksen ongelma

Monissa Apollonius-ongelman erikoistapauksissa etsitään ympyröitä, jotka ovat tangentti yhtä tai useampaa riviä. Yksinkertaisimmissa tapauksissa muodostetaan ympyrä, joka tangentti kolmea annettua suoraa (Problem LLL ). Minkä tahansa tällaisen ympyrän keskipisteen on oltava kulman puolittajalla minkä tahansa näiden suorien parin leikkauspisteessä. Jokaisessa viivojen leikkauspisteessä on kaksi puolittajaa. Näiden puolittajien leikkauspisteet antavat ympyröiden keskipisteet, jotka ovat ratkaisu. Yleisessä tapauksessa on neljä tällaista ympyrää kolmiolle, joka muodostuu kolmen suoran - piirretyn ympyrän ja kolmen ulkopiirin - leikkauspisteestä.

Yleisesti ottaen Apollonius-tehtävä voidaan pelkistää yksinkertaisempaan ongelmaan muodostaa ympyrä, joka tangentti yhtä ympyrää ja kaksi yhdensuuntaista suoraa (tämä on itse LLC :n erikoistapaus ). Tätä varten lisäämme suhteellisesti kahta näistä kolmesta annetusta ympyrästä, kunnes ne koskettavat. Kääntäminen sopivan säteisen ympyrän ympäri, jonka keskipiste on tangenttipisteessä, muuttaa nämä kaksi ympyrää kahdeksi yhdensuuntaiseksi suoraksi ja kolmannen ympyrän toiseksi ympyräksi. Siten ratkaisu voidaan löytää siirtämällä vakiosäteistä ympyrää kahden yhdensuuntaisen suoran väliin, kunnes saadaan tangentti muunnetun kolmannen ympyrän kanssa. Käänteinen inversio antaa ratkaisut alkuperäiseen ongelmaan.

Yleistykset

Yhden tai useamman ympyrän suoran tangentin käsite voidaan yleistää useilla tavoilla. Ensinnäkin tangenttiviivojen ja tangenttipisteiden pariutumisominaisuus voidaan yleistää napaksi ja napaviivaksi , kun napa voi olla missä tahansa, ei välttämättä ympyrässä. Toiseksi, kahden ympyrän liitto on erikoistapaus ( vähennettävä ) neljännen asteen tasokäyrästä , ja ulkoiset ja sisäiset tangenttiviivat ovat tangentti tämän käyrän kahta pistettä Yleensä 4. asteen tasokäyrässä on 28 suoraa viivaa, jotka tangentit sitä kahdesti.

Kolmas yleistys koskee tangenttiympyröitä tangenttiviivojen sijaan. Tangenttiviivaa voidaan pitää tangenttiympyränä, jonka säde on ääretön. Erityisesti kahden ympyrän ulkoisia tangenttiviivoja voidaan pitää kummankin ympyrän sisältä tai ulkopuolelta tangentin ympyräperheen erikoistapauksina, kun taas sisäisiä tangenttiviivoja voidaan pitää ympyräperheen erikoistapauksina, jotka tangentit yhtä ympyrää sisäpuolella ja toisen ulkopuolen kanssa) [3] .

Möbius-geometriassa tai käänteisgeometriassa viivoja pidetään ympyröinä, joiden keskipiste on "äärettömyyteen", ja mille tahansa suoralle ja mille tahansa ympyrälle on Möbius-muunnos , joka vie kuvion toiseen. Möbius-geometriassa suoran ja ympyrän tangentsista tulee kahden ympyrän tangentin erikoistapaus. Tätä vastaavuutta kehitetään edelleen Lie pallogeometriassa .

Muistiinpanot

↑ Aleksanteri Bogomolny, "Kun nelikulmio on kirjoitettava?" kohdassa Cut-the-knot . Haettu 17. huhtikuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 22. joulukuuta 2015. (määrätön)
↑ Paul Kunkel. Tangenttiympyrät . whistleralley.com. Haettu 29. syyskuuta 2008. Arkistoitu alkuperäisestä 15. elokuuta 2019. (määrätön)
↑ Kunkel, 2007 , s. 34–46.

Kirjallisuus

Paul Kunkel. Apolloniuksen tangenttiongelma: kolme ilmettä // BSHM Bulletin : Journal of the British Society for the History of Mathematics . - 2007. - T. 22 , no. 1 . - doi : 10.1080/17498430601148911 .
David Fraivert. Pascal-pisteitä muodostavan ympyrän tangenttien ominaisuudet kuperan nelikulmion sivuille // Forum Geometricorum. - 2017. - Vol. 17. - s. 223-243.
Shlomo Libeskind. Euklidinen ja transformaatiogeometria: deduktiivinen tutkimus . – 2007.

Katso myös

Linkit

Weisstein, Eric W. Tangenttiviivat yhteen ympyrään (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. Tangenttiviivat kahteen ympyrään (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .