Kolmion piirretyt ja excircles

Kolmioon piirretty ympyrä on ympyrä kolmion sisällä , joka tangentti sen kaikkia sivuja; suurin ympyrä , joka voi olla kolmion sisällä. Tämän ympyrän keskipiste on kolmion puolittajien leikkauspiste ja sitä kutsutaan kolmion keskipisteeksi.

Kolmion ulkoympyrä on ympyrä, joka sijaitsee kolmion ulkopuolella ja koskettaa kolmion toista sivua ja kahden muun sivun laajennusta . Jokaisella kolmiolla on kolme erillistä ulkopiiriä, joista kukin tangentti kolmion eri puolella. Excirclen keskipiste on yhden sisäkulman puolittajan ja kahden muun ulkoisen kulman puolittajien en] leikkauspiste . Koska sisäkulman puolittaja on kohtisuorassa viereisen ulkokulman puolittajaan nähden, piirretyn ympyrän keskipiste yhdessä kolmen ulkoympyrän keskipisteen kanssa muodostaa ortosentrisen järjestelmän [1] .

Kaikissa polygoneissa, joissa on enemmän kuin kolme sivua, ei ole piirrettyä ympyrää. Niitä, joilla on, kutsutaan kuvattuiksi .

Suhde kolmion pinta-alaan

Piirrettyjen ja ulkoisten ympyröiden säteet liittyvät läheisesti kolmion pinta -alaan. [2]

Piirretty ympyrä

Olkoon on piirretty ympyrä, jonka säde on r ja jonka keskusta on I . Olkoon a :n BC : n pituus , b : n AC :n pituus ja c :n AB: n pituus . Kun piirretty ympyrä koskettaa AB :tä jossain pisteessä C′ , niin se on suora. Tällöin säde C'I on kolmion korkeus . Siten sen kanta on pituudeltaan c ja korkeudeltaan r , ja siksi sen pinta-ala on yhtä suuri kuin . Samoin on alue ja on alue . Koska nämä kolme kolmiota jakautuvat , saamme sen $\kolmio ABC$ $\kulma AC'I$ $\kolmio IAB$ $\kolmio IAB$ ${\tfrac {1}{2}}kr$ $\kolmio IAC$ ${\tfrac {1}{2}}br$ $\kolmio IBC$ ${\tfrac {1}{2}}ar$ $\kolmio ABC$

\Delta ={\frac {1}{2}}(a+b+c)r=pr,

missä on alue ja sen puolikehä . $\Delta$ $\kolmio ABC$ $p={\frac {1}{2}}(a+b+c)$

Jos haluat saada vaihtoehtoisen kaavan, harkitse . Tämä on suorakulmainen kolmio, jossa yksi jaloista on yhtä suuri kuin r ja toinen on yhtä suuri kuin . Sama pätee . Koko kolmio koostuu 6 tällaisesta kolmiosta, ja kokonaispinta-ala on: $\kolmio IC'A$ $r\cdot \mathrm {ctg} {\frac {\angle A}{2))$ $\kolmio IB'A$

\Delta =r^{2}\cdot (\mathrm {ctg} {\frac {\angle A}{2))+\mathrm {ctg} {\frac {\angle B}{2))+ \mathrm {ctg} {\frac {\angle C}{2)))

Excircles

Olkoon sivun AB excircle tangentti koskettaa sivun AC jatketta pisteessä G ja olkoon tämän ympyrän säde ja sen keskipiste . Sitten on kolmion korkeus , niin myös pinta- ala . Samoista syistä sillä on alue , mutta sillä on alue . Sitten $r_{c}$ $minä_{c}$ $I_{c}G$ $\kolmio ACI_{c}$ $\kolmio ACI_{c}$ ${\tfrac {1}{2}}br_{c}$ $\kolmio BCI_{c}$ ${\tfrac {1}{2}}ar_{c}$ $\kolmio ABI_{c}$ ${\tfrac {1}{2}}cr_{c}$

\Delta ={\frac {1}{2}}(a+bc)r_{c}=(pc)r_{c}

Joten symmetrian takia

{\displaystyle \Delta =pr=(pa)r_{a}=(pb)r_{b}=(pc)r_{c))

Kosinusten lain mukaan saamme

\cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}

Yhdistämällä tämä identiteettiin saamme $\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1$

\sin A={\frac {\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2 }+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}

Mutta , niin $\Delta ={\tfrac {1}{2}}bc\sin A$

{\begin{aligned}\Delta &={\frac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2 }b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a +b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)))\\&={\sqrt {p(pa)(pb)(pc)))),\ loppu {aligned}}

ja tämä on Heronin kaava kolmion pinta-alan laskemiseksi sen sivuilla.

Yhdistämällä Heronin kaavan kanssa , saadaan $pr=\Delta$

r^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{p^{2}}}={\frac {(pa)(pb)(pc)}{p}}

Samoin se antaa $(pa)r_{a}=\Delta$

r_{a}^{2}={\frac {p(pb)(pc)}{pa))

Näistä kaavoista voidaan nähdä, että ulkoiset ympyrät ovat aina suurempia kuin piirretty ja suurin ympyrä vastaa pisintä sivua ja pienin piirreistä pienintä sivua. Kaavojen lisäyhdistelmä johtaa: [3]

\Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.

Piirretyn ympyrän pinta-alan suhde kolmion pinta-alaan on pienempi tai yhtä suuri kuin , ja tasa-arvo saavutetaan vain säännöllisissä kolmioissa . [neljä] ${\frac {\pi }{3{\sqrt {3))))$

Aiheeseen liittyvät koontiversiot

Yhdeksän pisteen ympyrä ja Feuerbachin piste

Eulerin ympyrälause . Korkeussegmenttien keskipisteitä ortokeskipisteestä kolmion kärkipisteisiin kutsutaan Euler - pisteiksi . Mediaanien kannat , korkeuksien kannat ja Euler-pisteet sijaitsevat samalla ympyrällä , jota kutsutaan yhdeksän pisteen ympyräksi . [5]

Feuerbachin lause . Yhdeksän pisteen ympyrä on tangentti kaikille kolmelle ulkopiirille ja myös piirretylle ympyrälle neljässä eri pisteessä. Yksi niistä on Eulerin ympyrän tangenttipiste ja Feuerbach-pisteenä tunnettu piirretty ympyrä .

Kolmio ja Gergonnen piste

Gergonnen kolmio (kolmiolle ABC ) määritellään piirretyn ympyrän kolmella kosketuspisteellä kolmella sivulla. Nämä kärjet merkitään T A :lla jne. Piste T A on vastapäätä kärkeä A .

Tämä Gergonnen kolmio T A T B T C tunnetaan myös kolmion ABC tangenttikolmiona .

Kolme suoraa AT A , BT B ja CT C leikkaavat yhdessä pisteessä - Gergonnen pisteessä ja niitä merkitään Ge - X(7) . Gergonnen piste sijaitsee avoimen ortosentiroidisen ympyrän sisällä , jonka keskipiste on puhjennut. [6]

Mielenkiintoista on, että kolmion Gergonnen piste on Gergonnen kolmion symmediaanien leikkauspiste. Täydellinen joukko Gergonnen pisteominaisuuksia löytyy Dekovin paperista. [7]

Tangenttikolmion kärkien kolmiviivaiset koordinaatit on annettu kaavoilla

kärkipiste $A=0:\sek ^{2}\vasen({\frac {B}{2}}\oikea):\sek ^{2}\vasen({\frac {C}{2}}\oikea)$
kärkipiste $B=\sek ^{2}\vasen({\frac {A}{2}}\oikea):0:\sek ^{2}\vasen({\frac {C}{2}}\oikea)$
kärkipiste $C=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\oikea):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\oikea):0$

Gergonnen pisteen kolmiviivaiset koordinaatit

\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{ 2}\left({\frac {C}{2}}\oikea)

tai vastaavasti sinilauseella ,

{\frac {bc}{b+ca}}:{\frac {ca}{c+ab}}:{\frac {ab}{a+bc}}

Gergonnen piste on Nagelin pisteen isotominen konjugaatio .

Kolmio ja Nagel- piste

Kolmion ABC Nagelin kolmio (katso kuva yllä) määritellään kärjeillä T A , T B ja T C , jotka ovat kolmion ABC ulkopiirien kosketuspisteitä ja piste X A on vastapäätä sivua A jne. Kuvattu noin kolmio T A T B T C Ympyrää kutsutaan Mandart-ympyräksi ( Mandartin ellipsin erikoistapaus ). Kolme suoraa AT A , BT B ja CT C puolittaa kehän ja leikkaa yhdessä Nagel-pisteessä Na - X(8) .

Kolmion ulkoisten piirteiden tangenttipisteiden kolmiviivaiset koordinaatit saadaan kaavoilla

kärkipiste $A=0:\csc ^{2}\vasen({\frac {B}{2}}\oikea):\csc ^{2}\vasen({\frac {C}{2}}\oikea)$
kärkipiste $B=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\oikea):0:\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\oikea)$
kärkipiste $C=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\oikea):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\oikea):0$

Nagel-pisteen kolmiviivaiset koordinaatit on annettu kaavoilla

\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{ 2}\left({\frac {C}{2}}\oikea)

tai vastaavasti sinilauseella ,

{\frac {b+ca}{a}}:{\frac {c+ab}{b}}:{\frac {a+bc}{c}}

Nagel-piste on Gergonnen pisteen isotominen konjugaatio .

Kirjattujen kolmioiden kolmiviivaiset koordinaatit

Puolittajien kantojen muodostaman kolmion kärkien kolmiviivaiset koordinaatit saadaan kaavoilla

kärkipiste $A = 0:1:1$
kärkipiste $B = 1:0:1$
kärkipiste $C = 1:1:0$

Kolmion kolmion kolmion koordinaatit, jotka muodostuvat ulkoisten ympyröiden sivujen kosketuspisteistä, saadaan kaavoilla

kärkipiste $A = -1:1:1$
kärkipiste $B = 1:-1:1$
kärkipiste $C = 1:-1:-1$

Ympyräyhtälöt

Olkoon x : y : z pisteen kolmiviivaiset koordinaatit ja olkoon u = cos 2 (A/2) , v = cos 2 (B/2) , w = cos 2 (C/2) . Yllä kuvatut neljä ympyrää voidaan määritellä jommallakummalla kahdesta tavasta: [8]

Kirjattu ympyrä:

\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy=0

\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z} }\cos {\frac {C}{2}}=0

A - ulkoisesti kirjoitettu:

\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy=0

\pm {\sqrt {-x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z }}\cos {\frac {C}{2}}=0

B - ulkoinen kaiverrus:

\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy=0

\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {-y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z }}\cos {\frac {C}{2}}=0

C - ulkoinen kaiverrus:

\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy=0

\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {-z }}\cos {\frac {C}{2}}=0

Muut piirretyn ympyrän ominaisuudet

Jotkut kaavat, joissa on piirretyn ympyrän säde

$r={\frac {pa}{\operaattorinimi {ctg} (\alpha /2)))={\frac {pb}{\operaattorinimi {ctg} (\beta /2)))={\frac {pc}{\operaattorinimi {ctg} (\gamma /2)}}$ , on kolmion puolikehä ( Cotangent -lause ). $s$

Piirretyn ympyrän säde on enintään yksi yhdeksäsosa kolmion korkeuksien summasta. [9]

Eulerin epäyhtälö : piirretyn ympyrän säde ei ylitä puolta rajatun ympyrän säteestä, ja yhtäläisyys pätee vain tasasivuiselle kolmiolle. [kymmenen]

Oletetaan, että piirretyn ympyrän tangenttipisteet jakavat sivut pituuksiksi x ja y , y ja z , z ja x . Sitten piirretyllä ympyrällä on säde [11]

r={\sqrt {\frac {xyz}{x+y+z))}

ja kolmion pinta-ala on

K={\sqrt {xyz(x+y+z))).

Jos sivuille a , b ja c pudonneet korkeudet ovat h a , h b ja h c , niin piirretyn ympyrän säde r on yhtä kuin kolmasosa näiden korkeuksien harmonisesta keskiarvosta, eli

r={\frac {1}{h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}}}.

Kolmion, jonka sivut a , b ja c , piirretyn ympyrän r säteen ja rajatun ympyrän R säteen tulo on [1]

rR={\frac {abc}{2(a+b+c))).

Joitakin suhteita piirretyn ympyrän ja ympyrän sivujen, säteiden ja ympyrän välillä: [12]

ab+bc+ca=s^{2}+(4R+r)r,

a^{2}+b^{2}+c^{2}=2s^{2}-2(4R+r)r.

Mikä tahansa kolmion läpi kulkeva viiva, joka jakaa kolmion pinta-alan ja kehän puoliksi, kulkee piirretyn ympyrän keskustan läpi. Tällaisia rivejä voi olla kolme, kaksi tai yksi. [13]

Kolmion sivuille kohotetut kohtisuorat ulkopiirien kosketuspisteissä leikkaavat yhdessä pisteessä. Tämä piste on symmetrinen piirretyn ympyrän keskipisteen kanssa suhteessa rajatun ympyrän keskipisteeseen [14] .

Kaavat etäisyyksille piirretyn tai ulkoisen ympyrän keskipisteeseen

Eulerin lause

Eulerin lause sanoo, että kolmiossa: [10]

(R-r_{in})^{2}=d^{2}+r_{in}^{2},

missä R ja r in ovat rajattujen ja piirrettyjen ympyröiden säteet, vastaavasti, ja d on näiden ympyröiden keskipisteiden välinen etäisyys.

Excirclesille yhtälö näyttää tältä:

(R+r_{ex})^{2}=d^{2}+r_{ex}^{2},

missä r ex on yhden ulkoympyrän säde ja d on ympyrän ja ulkopiirin keskipisteiden välinen etäisyys. [15] [16] [17]

Neliöimällä ja tuomalla tykkäyksiä Eulerin ensimmäisestä kaavasta yllä, meillä on:

Neliöllinen etäisyys piirretyn ympyrän I keskipisteestä rajatun ympyrän O keskipisteeseen saadaan yhtälöstä [18]

OI^{2}=d^{2}=R(R-2r_{in}),

Samoin toiselle kaavalle:

d^{2}=R(R+2r_{ex}).

Muut kaavat etäisyyksille piirretyn tai ulkoisen ympyrän keskipisteestä

Etäisyys piirretyn ympyrän keskustasta yhdeksän pisteen ympyrän keskipisteeseen N on [18]

IN={\frac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {1}{2}}R.

Etäisyys kärjestä piirretyn ympyrän tangenttipisteisiin vierekkäisillä sivuilla on puolet viereisten sivujen pituuksien summasta miinus puolet vastakkaisesta sivusta. [19] Joten huippupisteen B ja viereisten kosketuspisteiden T A ja T C osalta,

BT_{A}=BT_{C}={\frac {BC+AB-AC}{2}}.

Jos määritämme kolmion ABC piirretyn ympyrän keskipisteen kirjaimella I , saamme [20]

{\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}} =1

ja [21]

IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2}.

Jos määritetään I :lle kolmion ABC piirretyn ympyrän keskipiste , AD on kulman A puolittaja , niin ${\frac {AI}{DI}}={\frac {AB+AC}{BC}}$
Piirretyn ympyrän keskipiste on kolmiossa, jonka kärjet ovat kolmion sivujen keskipisteet. [kahdeksantoista]
Trident -lause tai kolmiulotteinen lause , tai Kleinerin lause : Jos D on kulman A puolittajan leikkauspiste kolmion ABC rajatun ympyrän kanssa , I ja J ovat sivun BC sisäänkirjoitetun ja excircle-tangentin keskipisteet , niin . $|DI|=|DB|=|DC|=|DJ|$

Munsionin lause (kiinteä osa Trident -lausetta ). Piirretyllä ympyrällä sijaitsevat kolmen janan keskipisteet, jotka yhdistävät piirretyn ympyrän keskipisteen excircles-keskuksiin. [kymmenen]

Harcourtin lause . Olkoon kolmio annettu sen kärjeillä A , B ja C , pisteitä vastakkaisilla sivuilla on pituudet a , b ja c , pinta-ala on yhtä suuri kuin K ja suora koskettaa kolmioon piirrettyä ympyrää mielivaltaisessa pisteessä. Merkitään etäisyydet kolmion kärkien ja suoran välillä a ', b ' ja c ', kun taas jos kärki ja ympyrän keskipiste sijaitsevat suoran vastakkaisilla puolilla, etäisyyttä pidetään negatiivisena. Sitten

aa^{\prime }+bb^{\prime }+cc^{\prime }=2K.

Muut excircles-ominaisuudet

Seuraava suhde pätee piirretyn ympyrän säteelle r , rajatun ympyrän säteelle R , puolikehälle s ja ulkoympyrän säteille r a , r b , r c : [12]

r_{a}+r_{b}+r_{c}=4R+r,

r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}=s^{2},

r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}=(4R+r)^{2}-2s^{2},

Ympyrän, joka kulkee ulkopiirien keskipisteiden kautta, on säde 2 R . [12]

Jos H on kolmion ABC ortosentti , niin [12]

r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=AH+BH+CH+2R,

r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=AH^{2}+BH^{2}+CH^{2} +(2R)^{2}.

Kolmion ABC kärjet A , B ja C ovat kolmion J A J B , J C korkeuksien kantat ,

missä J A J B ,J C ovat ulkopiirien keskipisteitä. [kymmenen]

Kolmion sivuille kohotetut kohtisuorat ulkopiirien kosketuspisteissä leikkaavat yhdessä pisteessä. Tämä piste on symmetrinen piirretyn ympyrän keskipisteen kanssa suhteessa rajatun ympyrän keskipisteeseen [14] .
Kolmion Spieker-keskipiste on sen ulkopiirien radikaalikeskus [22] . Jos vedämme 6 tangenttia kolmion 3 ulkoympyrään kolmion Spiker-keskipisteestä, niin kaikki niiden pituudet ovat keskenään yhtä suuret.

Apolloniuksen ympärysmitta

Apolloniuksen ympyrän määritelmä

Olkoon kolmio ABC annettu . Olkoon kolmion ABC excircles pisteitä A , B ja C vastapäätä E A , E B , E C (ks. kuva) . Sitten Apolloniuksen ympyrä E (esitetty vihreällä oikealla olevassa kuvassa) koskettaa sisäisesti kolmea kolmion ABC ulkopiiriä pisteissä E A , E B ja E C (katso kuva). [23] .

Apolloniuksen ympyrän säde

Apolloniuksen ympyrän säde on , jossa r on piirretyn ympyrän säde ja s on kolmion puolikehä. [24] ${\frac {r^{2}+s^{2}}{4r}}$

Apollonius-pisteen Ap määritelmä

Apollonius-pistettä Ap ClarkKimberlingin Encyclopedia of Triangle Centers (ETC) -kirjassa kutsutaan kolmion keskipisteeksi nimellä X(181).
Apolloniuksen piste Ap tai X(181) määritellään seuraavasti:

Olkoot A' , B' ja C' Apolloniuksen ympyrän E tangentsipisteet vastaavine excircles-lauseineen. Sitten suorat AA' , BB' ja CC' leikkaavat yhdessä pisteessä Ap , jota kutsutaan kolmion ABC Apolloniuksen pisteeksi .

Isogonaalinen konjugaatio

Isogonaalisessa konjugaatiossa on täsmälleen neljä kiinteää pistettä (eli pistettä, jotka ovat konjugoituneet itseensä): piirretyn ympyrän keskipiste ja kolmion ulkoisten ympyröiden keskipisteet. [25]

Kolmion ortokeskiö on isogonaalisesti konjugoitu tämän kolmion rajatun ympyrän keskipisteeseen. [25]

Yleistys muihin polygoneihin

Joillakin (mutta ei kaikilla) nelikulmioilla on piirretty ympyrä. Niitä kutsutaan rajatuiksi nelikulmioiksi . Näiden nelikulmioiden ominaisuuksista tärkeintä on, että vastakkaisten sivujen summat ovat yhtä suuret. Tätä väitettä kutsutaan Pitot-lauseeksi .
Joillakin (mutta ei kaikilla) nelikulmioilla on ulkoympyrä. Niitä kutsutaan ympyrän ulkopuolisiksi nelikulmioiksi . Näiden nelikulmioiden ominaisuuksista Urquhartin lause merkitsee tärkeimmän ominaisuuden . Hän väittää:
Jos kuperan nelikulmion ABCD vastakkaiset sivut leikkaavat pisteissä E ja F , niin

AB+BC=AD+DC\quad \Leftright arrow \quad AE+EC=AF+FC.

Katso myös

Kierrä
Rajoittamaton nelikulmio
Kirjattu ympyrä
Kolmion piirretyt ja rajatut luvut
Kaiverrettu kartiomainen leikkaus
kaiverrettu pallo
Kolmion korkeus
Kolmion merkittäviä pisteitä
Piirretyn ympyrän keskipiste tai keskipiste
Ympyrä
Rajoitettu ympyrä
Rajoitettu nelikulmio
Orthocenter
Pisteen aste suhteessa ympyrään
Kartanon lause
kolmikulmainen lause
Tebon lause 2 ja 3
Harcourtin lause
Apollonius huomauttaa
Pisteen aste suhteessa ympyrään
Spieker Center
Keskus
Kolmion keskipiste
Ellipsi Mandart
Ellipsi Steiner

Muistiinpanot

↑ 1 2 Roger A. Johnson. Kehittynyt euklidinen geometria . - Dover, 2007 (alkuperäinen - 1929) .. - s. 189 , #298(d).
↑ HSM Coxeter. Johdatus geometriaan . - 2. - Wiley, 1961 ..
↑ Marcus Baker. Kokoelma kaavoja tasokolmion pinta-alalle. - Tammikuu 1885. - T. osa 1, voi. 1(6) . - S. 134-138 . . Katso myös osan 2 osa. 2(1), syyskuu 1885, 11-18.)
↑ D. Minda, S. Phelps. Kolmiot, ellipsit ja kuutiopolynomit // American Mathematical Monthly . - Lokakuu 2008. - Numero. 115 . — P. 679-689: Lause 4.1. .
↑ S. I. Zetel. Uusi kolmion geometria. - Moskova: UCHPEDGIZ, 1962. - S. 52-53 Luku III.
↑ Christopher J. Bradley, Geoff C. Smith. Kolmion keskipisteiden sijainnit // Forum Geometricorum. - 2006. - Ongelma. 6 . - S. 57-70. .
↑ Deko Dekov. Tietokoneella luotu matematiikka : Gergonnen piste // Journal of Computer-generated Euclidean Geometry. - 2009. - T. 1 . – s. 1–14. . Arkistoitu alkuperäisestä 5. marraskuuta 2010.
↑ William Allen Whitworth. Trilineaariset koordinaatit ja muut kaksiulotteisen modernin analyyttisen geometrian menetelmät. - 2012. - S. 210-215. - (Unohdetut kirjat).
↑ Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann. Kolmioiden salaisuudet. - Prometheus Books, 2012. - s. 289.
↑ 1 2 3 4 A. D. Kulanin, S. N. Fedin. Kolmion geometria tehtävissä. - M . : Kirjatalo "LIBROKOM", 2009. - ISBN 978-5-397-00786-3 .
↑ Thomas Chu. Pentagon. - Kevät, 2005. - S. 45, tehtävä 584 ..
↑ 1 2 3 4 Amy Bell. Hansenin suorakulmainen kolmiolause, sen käänne ja yleistys // Forum Geometricorum. - 2006. - Ongelma. 6 . — S. 335–342 .
↑ Dimitrios Kodokostas. Kolmion taajuuskorjaimet // Mathematics Magazine. - 2010. - Ongelma. 83, huhtikuu . - S. 141-146. .
↑ 1 2 Myakishev, 2002 , s. 11, kohta 5.
↑ Roger Nelson. Eulerin kolmion epäyhtälö todistamalla ilman sanoja // Mathematics Magazine. - Helmikuu 2008. - Numero. 81(1) . - S. 58-61 .
↑ R.A. Johnson. moderni geometria. - Boston: Houghton Mifflin, 1929. - S. 187.
↑ Lev Emelyanov, Tatiana Emelyanova. Eulerin kaava ja Ponceletin porismi // Forum Geometricorum. - 2001. - Ongelma. 1 . — S. 137–140. .
↑ 1 2 3 William N. Franzsen. Etäisyys keskipisteestä Euler-viivaan // Forum Geometricorum. - 2011. - T. 11 . — S. 231–236 . .
↑ Mathematical Gazette , heinäkuu 2003, s. 323-324.
↑ Patricia R. Allaire, Junmin Zhou, Haishen Yao. 1800-luvun ellipsin identiteetin todistaminen // Mathematical Gazette. - 2012. - Ongelma. 96, maaliskuu . - S. 161-165. .
↑ Nathan Altshiller-Court. Yliopiston geometria. - Dover Publications, 1980. - S. 121, # 84.
↑ Odenhal, 2010 , s. 35-40.
↑ Darij Grinberg, Paul Yiu. Apollonius-ympyrä Tucker-ympyränä // Forum Geometricorum. - 2002. - Ongelma. 2 . - S. 175-182 .
↑ Milorad R. Stevanovi´c. Apolloniuksen ympyrä ja siihen liittyvät kolmion keskipisteet // Forum Geometricorum. - 2003. - Ongelma. 3 . - S. 187-195. .
↑ 1 2 V. V. Prasolov. Brocard-pisteet ja isogonaalinen konjugaatio. - M . : MTsNPO, 2000. - (Kirjasto "Matematical Education"). — ISBN 5-900916-49-9 .

Kirjallisuus

Myakishev A.G. Kolmion geometrian elementit. - M .: MTsNMO, 2002.
Clark Kimberling. Kolmiokeskukset ja keskikolmiot // Congressus Numerantium. - 1998. - Numero. 129 . - S. i-xxv, 1-295 .
Sandor Kiss. Orthic-of-Touch- ja Intouch-of-Orthic Triangles // Congressus Numerantium. - 2006. - Ongelma. 6 . - S. 171-177 .
Boris Odenhal. Jotkut kolmion keskipisteet liittyvät ympyröihin, jotka tangentit ulokkeita // Forum Geometricorum. - 2010. - T. 10 .

Linkit

Kolmion sisäympyrän säteen kaavan johtaminen
Weisstein, Eric W. Incircle (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

Sivustot, joissa on interaktiivista sisältöä

Kolmion keskitys Kolmio incircle Säännöllisen monikulmion ympyrä Vuorovaikutteisilla animaatioilla
Kolmion keskipisteen/ympyrän rakentaminen kompassin ja suoraviivan avulla Interaktiivinen animoitu esittely
Equal Incircles -lause solmun leikkaamisessa
Viiden ympyrän lause " leikkaa solmu".
Ympyräparit nelikulmiossa leikkaamalla solmu
Interaktiivinen Java-sovelma keskukseen