Kolmiharppainen lemma

Kolmiharppainen lemma , jota kutsutaan myös kolmion lemmaksi ja Mansionin lemmaksi , on kolmion geometrian lause, joka liittyy kolmion incircle , excircle ja circumcircle ominaisuuksiin .

Trident-lemmaa käytetään apulauseena monien lauseiden, erityisesti Eulerin kaavan tai Eulerin ympyrän olemassaolon todistamisessa .

Nimi "Mansion's Lemma" annettiin belgialaisen matemaatikon Paul Mansionin kunniaksi . Nimi "kolmioinen lemma" annettiin lemman avainrakenteen samankaltaisuudesta samannimisen aseen kanssa (punainen alla olevissa kuvissa).

Sanamuoto

Olkoon kolmion piste incirclen keskipiste , piste on excirclen keskipiste kärkeä vastapäätä ja piste on janan leikkauspiste rajatun ympyrän kaaren kanssa (katso oikealla). Sitten piste on yhtä kaukana , , ja . $ABC$ $minä$ $minä_{a}$ $A$ $L$ ${\näyttötyyli II_{a))$ $L$ $minä$ $minä_{a}$ $B$ $C$

Tämän lausunnon tietyillä versioilla on useita nimiä.

Kartanon lause [1] : yhtä kaukana ja . $L$ $minä$ $minä_{a}$
Shamrock-lemma [2] tai kolmiharppainen lemma [3] tai Mansionin lemma [4] : yhtä kaukana kohteesta , ja . $L$ $minä$ $B$ $C$
Kolmiharppainen lemma [5] : yhtä kaukana , , ja . $L$ $minä$ $minä_{a}$ $B$ $C$

Toinen vaihtoehto pisteen määrittämiseksi on sellaisen rajatun ympyrän kaaren keskipiste, joka ei sisällä pistettä [4] . $L$ $eKr$ $A$

Todiste

Tarkoitamme kulmia, vastaavasti . Jos säde leikkaa rajatun ympyrän pisteessä , se on kaaren keskipiste , jana on kulman puolittaja . Piirretään jana , huomaamme sen ${\näyttötyyli \kulma A,\kulma B}$ $\angle BAC,\angle ABC$ $AI$ $L$ $L$ $eKr$ $AL$ ${\näyttötyyli \kulma A}$ $BI$

\angle BIL=\angle A/2+\angle B/2,

koska myös ulkopuolelta kolmioon $\angle BIL$ ${\näyttötyyli \kolmio AIB}$

\angle LBI=\angle LBC+\angle CBI=\angle A/2+\angle B/2,

koska ja ovat yhtä suuret, koska ne perustuvat samaan kaariin .

\angle LBC

\angle LAC=\angle A/2

LC

Tämä tarkoittaa, että kolmio on tasakylkinen, eli yhtäläisyys seuraa siitä tosiasiasta, että sama kulma lepää molemmilla jänteillä . $\triangle BLI$ $BL=LI.$ $CL=BL$ $\angle A/2.$ $BL=LI=LC.$

Olemme osoittaneet sen . Todistetaan nyt, että kolmijalan "kahva" on yhtä suuri kuin sama arvo. $BL=LI=LC$ $LI_{a}$

Laajennamme sivun pisteen yli ja otamme pisteen jonnekin tästä jatkeesta . Tällä tarkoitamme tarkoitamme kulmaa $AB$ $B$ $E$ ${\näyttötyyli \kulma A}$ $\angle BAC,$ ${\näyttötyyli \kulma B}$ $\angle EBC=180^{\circ }-\angle ABC.$

Sitten meidän on ymmärrettävä, että kolmio on tasakylkinen, eli että . $\triangle BLI_{a}$ $\angle LBI_{a}=\angle LI_{a}B$

Yksi puoli,

\angle LBI_{a}=\angle B/2-\angle A/2

\angle EBI_{a}=\angle A/2+\angle BI_{a}A

koska kolmion ulompi : eli

\angle EBI_{a}

{\näyttötyyli \kolmio BI_{a}A,}

\angle B/2-\angle A/2=\angle BI_{a}A

Muunnelmia ja yleistyksiä

Kolmiharkkainen lemma kahdelle ulkoympyrän keskukselle ( "ulompi" kolmikantalemma)

Yhteys Eulerin ympyrään

Trident-lemman avulla Eulerin ympyrän olemassaolo voidaan todistaa .

Tarkastellaan terävää kolmiota ABC. Huomaa, että nelikulmiot , , on merkitty (kuva 1). Siksi kulmat ovat yhtä suuret (kuva 2). ${\displaystyle AH_{c}HH_{b))$ ${\displaystyle BH_{c}HH_{a))$ $H_{b}HH_{a}C$ ${\displaystyle \measuredangle HH_{b}H_{c}=\measuredangle HAH_{c}=\measuredangle HCH_{a}=\measuredangle HH_{b}H_{a))$

Tästä seuraa, että on bisector , kolmion . Täysin samoista syistä ja myös puolittajista tässä kolmiossa (kuva 3). Voit myös huomata, että ne ovat kolmion ulommat puolittajat (koska jokainen niistä on kohtisuorassa sisempään puolittajaansa nähden). Tästä syystä voimme soveltaa kolmihampaista lemmaa kolme kertaa kummallekin sivulle (kuva 4). $H_{b}H$ ${\näyttötyyli \kolmio H_{c}H_{b}H_{a))$ $H_{a}H$ $H_{c}H$ $AB,$ $BC,$ $CA$ ${\näyttötyyli \kolmio H_{c}H_{b}H_{a))$

Tästä saamme, että segmenttien keskipisteet sijaitsevat ympyrässä, joka on rajattu noin ortokolmiosta . Nyt levitämme ulomman kolmijalan lemman kolme kertaa (kuva 5). $HA,HB,HC$

Saadaan , että sivujen keskipisteet ovat ympyrällä, joka on rajattu ortokolmion ympärille. $AB,BC,CA$

Huomautus

Eulerin ympyrän olemassaolon osoittamiseksi tylpälle kolmiolle , jonka kulma on tylppä , riittää, kun tarkastellaan akuuttia kolmiota , jonka ortokeskiö on , ja soveltaa siihen samaa päättelyä. $ABC$ $A$ $BCH$ $A$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Tehtävä 52395 Arkistokopio päivätty 4. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa // "Tehtäväjärjestelmä R. K. Gordinin geometriassa"
↑ R. K. Gordin. Koulugeometrian lauseita ja ongelmia. Perus- ja profiilitasot. - 3. painos - MTSNMO, 2018. - s. 43. - ISBN 978-5-4439-2681-0 .
↑ Akopyan A. V. Geometria kuvissa .
↑ 1 2 Emelyanov L. A. Schiffler-piste: I. F. Sharyginin muistoksi . - Matematiikka koulussa, 2006. - Nro 6 . - S. 58-60 . — ISSN 0130-9358 .
↑ R. N. Karasev. Tehtävät koulun matemaattiselle piirille / R. N. Karasev, V. L. Dolnikov, I. I. Bogdanov, A. V. Akopjan. - s. 4.