Kierrä

Kolmion ulkoympyrä on ympyrä, joka tangentti kolmion toista sivua ja kahden muun sivun jatkeet. Jokaisella kolmiolla on kolme excircles (toisin kuin yksi incircle ).

Ulkoympyrän olemassaolo ja ainutlaatuisuus johtuu siitä, että kolmion kahden ulkokulman puolittajat ja näiden kahden vieressä olevan sisäkulman puolittaja leikkaavat yhdessä pisteessä , joka on tällaisen ympyrän keskipiste.

Ominaisuudet

Tässä käytetään seuraavaa merkintää: - excircles säteet, joiden keskipisteet ovat kolmion sivujen tangentti ; - kolmion puolikehä ; - piirretyn ympyrän säde ; on rajatun ympyrän säde . ${\displaystyle r_{a},r_{b},r_{c))$ ${\displaystyle J_{A},J_{B},J_{C))$ $a,b,c$ $s$ $r$ $R$

Vastakkaisesta kärjestä piirretyn tangentin janan pituus on yhtä suuri kuin kolmion puolikehä.
Kolmion pinta-ala on viimeinen yhtälö Heronin kaavan mukaan . [yksi] $S=r_{a}(pa)=r_{b}(pb)=r_{c}(pc)={\frac {r_{a}r_{b}r_{c}}{p}} ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}},$
${\frac {1}{r}}={\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_ {c}}}$
$4R=r_{a}+r_{b}+r_{c}-r$
Alkuperäinen kolmio on kolmion ortokolmio ${\displaystyle \Delta I_{1}I_{2}I_{3))$
barysentriset koordinaatit $J_{A}=(-a,b,c)$
Eulerin lause excirclesille: , jossa O on rajatun ympyrän keskipiste. ${\displaystyle OI_{i}^{2}=R^{2}+2Rr_{i))$
$r_{a}r_{b}=p(pc);rr_{a}=(pb)(pc)$
Excircle-osien radikaalikeskus on Spieker -keskus (mediaanikolmion piirretyn ympyrän keskipiste).
Keskipisteet kirjoitettujen ja excircles ovat kiinteitä pisteitä isogonaalinen konjugaation .
Ympyrän keskipiste, joka kulkee excircle-pisteiden läpi, on Bevan-piste .
Kolme keskustaa kolmen excircles tietyn kolmion muodostavat kolmion kolme ulkoista bisectors .
Kolme kolmion sivuille asetettua kohtisuoraa , jotka on piirretty niiden leikkauspisteisiin kolmen ulkopiirin kanssa, leikkaavat yhdessä pisteessä (seuraus ihonalaisen kolmion huippuja koskevista lauseista [2] ).
Suoralla viivalla, joka kulkee kolmion kahden ulkopiirin ja sen sivujen kosketuspisteiden kautta, nämä ulkopiirit leikkaavat yhtä suuret segmentit.
Jälkimmäinen voidaan muotoilla seuraavasti. Jos kolmion 2 ulkoympyrää koskettaa 2 sen eri sivuista ja 2 niiden jatkeista 4 tangenttipisteessä, niin viimeisten 4 pisteen muodostama nelikulmio on tasakylkinen puolisuunnikas, jonka 2 sivusivua on yhtä suuri, ja myös 2 diagonaalia (tangenttia 2 ympyrää).

Huomautus

Englanninkielisessä kirjallisuudessa 4 neljän ympyrän keskustaa: 1 piirretty ja 3 ulkoympyrää, joiden keskipisteet koskettavat vastaavasti kolmion kolmea eri sivua tai niiden jatketta, kutsutaan 4 kolmion kolmikulmaiseksi keskipisteeksi ( kolmiokeskuksiksi ) [3] . On olemassa monia lauseita kolmion neljästä kolmen tangentin keskipisteestä : ${\näyttötyyli I,J_{A},J_{B},J_{C))$ $a,b,c$
Kolmion 4 kolmen tangentin keskustaa muodostavat ortosentrinen pistejärjestelmän .
Kolmion 4 kolmen tangentin keskipistettä sijaitsevat kolmion sisäpuolittajilla tai niiden jatkeilla. Samaan aikaan 2 kolmen tangentin keskipistettä jakavat harmonisesti puolittajan, jolla ne sijaitsevat, ja sen jatkeella. [4] . Eli harmonisen neljän muodostaa 4 pistettä: , jossa on sisäisen puolittajan kanta, joka on vedetty kolmion kulman kärjestä . ${\näyttötyyli A,I,A',J_{A}}$ $A'$ $A$ $ABC$
Feuerbachin piste tietylle piirretylle tai piirrelle (kolmen tangentin ympyrä - englanniksi "tritangentti ympyrä") on kahden Simson-viivan leikkauspiste , jotka on rakennettu piirretyn ympyrän halkaisijan päille, jotka kulkevat piirretyn ympyrän vastaavan keskipisteen kautta. tai ohittaa. Siten Feuerbachin pisteet voidaan muodostaa käyttämättä vastaavaa sisään- tai ulkoympyrää ja sille tangenttia Eulerin ympyrää [5] .

Kolmion rajan rakentaminen

Kolmion rajan muodostamiseksi tarvitset [6] :

Rakenna ulkoiset kulmat kolmion kulmille
Piirrä rakennettujen ulkokulmien puolittajat niiden leikkauspisteeseen. Puolittajien leikkauspiste on excirclen keskipiste.
Muodosta ympyrän säde. Tätä varten piirrä kohtisuora puolittajien leikkauspisteestä yhden sivun jatkoon.
Piirrä ympyrä, jonka keskipiste on puolittajien leikkauspiste ja jonka säde on yhtä suuri kuin muodostetun kohtisuoran pituus.

Nelikulman excircle

Rajoittamaton nelikulmio

Ympyröimätön nelikulmio on kupera nelikulmio, jonka kaikkien neljän sivun jatkeet ovat ympyrän tangenttia (nelikulmion ulkopuolella) [7] . Ympyrää kutsutaan excircleksi . Excirclen keskipiste on kuuden puolittajan leikkauspisteessä.
huomautus . Kirjattu , rajattu , sekä excircle voidaan tehdä ei jokaiselle nelikulmiolle. Jos kuperan nelikulmion ABCD vastakkaiset sivut leikkaavat pisteissä E ja F , niin sen kuvauksen ulkopuolinen ehto on jompikumpi alla olevista ehdoista:

AB+BC=AD+DC\quad \Leftright arrow \quad AE+EC=AF+FC.

Kirjallisuus

Geometria Kiseljovin mukaan , §144.
Ponarin Ya. P. Alkeinen geometria. 2 osana - M . : MTSNMO , 2004. - S. 44-48. — ISBN 5-94057-170-0 .
Mirko Radic, Zoran Kaliman, Vladimir Kadum. Edellytys, että tangentiaalinen nelikulmio on myös sointu // Mathematical Communications. - 2007. - Ongelma. 12 .

Muistiinpanot

↑ Pathan, Alex ja Tony Collyer, "Kolmioiden pinta-alan ominaisuudet tarkistettu", Mathematical Gazette 89, marraskuu 2005, 495-497.
↑ Zetel S.I. Uusi kolmion geometria. Opas opettajille. 2. painos .. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 137-138, s. 126, lause.
↑ College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §b. Tritangenttikeskukset. P.73-78// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ# v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Arkistoitu 30. kesäkuuta 2020 Wayback Machinessa
↑ College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §120. Lause (kuva 51). P.74-75// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ# v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Arkistoitu 30. kesäkuuta 2020 Wayback Machinessa
↑ College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §648. Huomautus. P.273// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v= onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Arkistoitu 30. kesäkuuta 2020 Wayback Machinessa
↑ Ulokkeet. Rakennus . Matvoks. Matematiikan tietosanakirja . mathvox.ru. Haettu 6. marraskuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 7. marraskuuta 2018. (määrätön)
↑ Radic, Kaliman, Kadum, 2007 , s. 33-52.