Nelikulmainen

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 28. heinäkuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 74 muokkausta .

NELIKULMIA
┌─────────────┼───────────────
yksinkertainen ei-kupera	kupera	itsensä leikkaava

Nelikulmio on geometrinen kuvio ( polygoni ), joka koostuu neljästä pisteestä (pisteestä), joista kolme ei ole samalla suoralla, ja neljästä segmentistä (sivusta), jotka yhdistävät nämä pisteet sarjaan. On olemassa kuperia ja ei-kupera nelikulmio, ei-kupera nelikulmio voi olla itsensä leikkaava (katso kuva). Nelikulmiota, jossa ei ole itseleikkauksia, kutsutaan yksinkertaiseksi , usein termi "nelikulmio" tarkoittaa vain yksinkertaisia nelikulmioita [1] .

Nelisivujen tyypit

Nelisivut, joissa on yhdensuuntaiset vastakkaiset sivut

Hartialihas on nelikulmio, jonka neljä sivua voidaan ryhmitellä kahdeksi pariksi samanarvoisia vierekkäisiä sivuja.
Neliö on nelikulmio, jonka kaikki kulmat ovat suorat ja sivut ovat yhtä suuret;
Suuntaviiva on nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat yhtä suuret ja yhdensuuntaiset pareittain ;
Suorakulmio - nelikulmio, jossa kaikki kulmat ovat oikeassa;
Rombi on nelikulmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret;
Romboidi on suunnikas , jossa vierekkäiset sivut ovat eripituisia ja kulmat eivät ole oikeat.
Puolisuunnikas on nelikulmio, jonka kaksi vastakkaista sivua ovat yhdensuuntaiset;

Nelisivut, joissa on vastakkaiset vastakkaiset sivut

Antirinnakkais tai vastarinnakkais on litteä ei-kupera (itseleikkaava) nelikulmio , jossa jokainen kaksi vastakkaista sivua ovat keskenään yhtä suuret, mutta eivät yhdensuuntaiset, toisin kuin suunnikas .
Tasakylkinen puolisuunnikas tai tasakylkinen puolisuunnikas .
Sisäänkirjoitettu nelikulmio tai sisäänkirjoitettu nelikulmio on nelikulmio, jonka kärjet ovat samalla ympyrällä. Se on myös nelikulmio, jossa on vastakkaiset vastakkaiset sivut.

Nelisivut, joiden vierekkäiset sivut ovat kohtisuorassa

Nelisivut, joissa on kohtisuorat diagonaalit

Deltoidi
Neliö
Ortodiagonaalinen tai ortodiagonaalinen nelikulmio on nelikulmio , jonka lävistäjät leikkaavat suorassa kulmassa .
Rombi

Nelisivut yhdensuuntaisilla diagonaaleilla

Antiparallelogrammi

Nelisivut, joiden vastakkaiset sivut ovat yhtä suuret

Antiparallelogrammi
Neliö
Suunnikas
Suorakulmio
Rombi
Rombinen
* Tasakylkinen puolisuunnikas tai tasakylkinen puolisuunnikas .

et tarvitse sitä tulevaisuudessa.

Nelisivut, joilla on yhtäläiset lävistäjät

Neliö
Tasa- tai tasakulmainen nelikulmio on kupera nelikulmio , jonka kaksi diagonaalia ovat yhtä pitkiä.
Suorakulmio
Tasakylkinen puolisuunnikas tai tasakylkinen puolisuunnikas .

Ympyrän ympärille piirretyt nelikulmiot

Piirretty tai rajattu nelikulmio on kupera nelikulmio, jonka sivut ovat tangentti yhden ympyrän kanssa nelikulmion sisällä.

Täysi neliosainen

Vaikka tällainen nimi voi vastata nelikulmiota, sille annetaan usein lisämerkitys. Neljää suoraa, joista ei kaksi ole yhdensuuntaista ja joista kolme ei kulje saman pisteen läpi, kutsutaan täydelliseksi nelikulmioksi . Tällainen konfiguraatio löytyy joistakin euklidisen geometrian lauseista (esimerkiksi Menelaus-lauseessa , Newton-Gaussin linjassa , Auber-linjassa , Miquelin lauseessa jne.), joissa kaikki suorat ovat usein vaihdettavissa keskenään.

Kulmien summa

Nelikulman kulmien summa ilman itseleikkauksia on 360°.

\sum _{i=1}^{4}\alpha _{i}=(4-2)\cdot 180^{\circ }=2\cdot 180^{\circ }=360^{\ circ}

Mittasuhteet

Nelisivuinen epäyhtälö

Nelikulmion minkä tahansa kahden sivun eron moduuli ei ylitä kahden muun sivun summaa.

\left|ab\right|\leq c+d

Vastaavasti: missä tahansa nelikulmiossa (mukaan lukien rappeutunut) sen kolmen sivun pituuksien summa ei ole pienempi kuin neljännen sivun pituus, eli:

a\leq b+c+d

;

b\leq a+c+d

;

c\leq a+b+d

;

d\leq a+b+c

Tasa-arvo nelisivuisessa epäyhtälössä saavutetaan vain, jos se on rappeutunut , eli kaikki sen neljä kärkeä ovat samalla linjalla.

Ptolemaioksen epäyhtälö

Kuperan nelikulmion sivuille ja diagonaaleille Ptolemaioksen epäyhtälö pätee : $a,b,c,d$ $e,f$

|e|\cdot |f|\leq |a|\cdot |c|+|b|\cdot |d|,

lisäksi tasa-arvo saavutetaan, jos ja vain jos kupera nelikulmio on piirretty ympyrään tai sen kärjet ovat yhdellä suoralla.

Nelikulman sivujen ja diagonaalien väliset suhteet

Kuusi etäisyyttä tason neljän mielivaltaisen pisteen välillä, pareittain, liittyvät suhteeseen:

a^{2}c^{2}\left(b^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2}-a^{2}-c^{2}\oikea )+b^{2}d^{2}\left(a^{2}+c^{2}+e^{2}+f^{2}-b^{2}-d^{2} \oikea)+

+e^{2}f^{2}\left(a^{2}+c^{2}+b^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2}\ oikea)=(abe)^{2}+(bcf)^{2}+(cde)^{2}+(daf)^{2}

Tämä suhde voidaan esittää determinanttina :

\left|{\begin{matrix}0&a^{2}&e^{2}&d^{2}&1\\a^{2}&0&b^{2}&f^{2}&1\\e^{2} &b^{2}&0&c^{2}&1\\d^{2}&f^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{matrix}}\right|=0

Tämä determinantti kertoimeen 288 asti on lauseke tetraedrin tilavuuden neliölle sen reunojen pituuksilla käyttäen Cayley-Menger-determinanttia . Jos tetraedrin kärjet ovat samassa tasossa, sen tilavuus on nolla ja se muuttuu nelikulmioksi. Reunojen pituudet ovat nelikulmion sivujen tai diagonaalien pituudet.

Bretschneiderin suhteet

Bretschneiderin relaatiot ovat yksinkertaisen (ei-leikkaavan) nelikulmion sivujen a, b, c, d ja vastakkaisten kulmien ja diagonaalien e, f välinen suhde : $\kulma A,\kulma C$

e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos(\angle A+\angle C)

e^{2}f^{2}=(ac+bd)^{2}-4abcd\cos ^{2}{\frac {\angle A+\angle C}{2))

e^{2}f^{2}=(ac-bd)^{2}+4abcd\sin ^{2}{\frac {\angle A+\angle C}{2))

Nelikulman erityiset suorat

Nelikulman keskiviivat

Olkoot G, I, H, J kuperan nelikulmion ABCD sivujen keskipisteet ja E, F sen diagonaalien keskipisteet. Kutsutaan kolmea segmenttiä GH, IJ, EF nelikulmion ensimmäiseksi, toiseksi ja kolmanneksi keskiviivaksi . Niistä kahta ensimmäistä kutsutaan myös bimediaaniksi [2] .

Lauseet nelikulmion keskiviivoista

Yleistetty Newtonin lause . Nelikulman kaikki kolme keskiviivaa leikkaavat yhdessä pisteessä (nelikulmion kärkien keskipisteessä ("vertex centerid ")) ja jakavat sen puolittain.
Kahden diagonaalin keskipisteet E ja F sekä kuperan nelikulmion kärkien K keskipiste ovat samalla viivalla EF . Tätä suoraa kutsutaan Newtonin suoraksi .
Huomaa, että Newton-Gauss- viiva on sama kuin Newton-viiva , koska molemmat kulkevat lävistäjien keskipisteiden läpi.
Varignonin lause :
- Nelikulmat GIHJ, EHFG, JEIF ovat suunnikkaita ja niitä kutsutaan Varignon-suunnikaleiksi . Ensimmäistä niistä kutsutaan Varignonin suureksi suunnikkaaksi
- Näiden kolmen Varignonin suunnikkaan keskipisteet ovat niiden diagonaaliparien leikkauspisteet.
- Kaikkien kolmen Varignon-suunnikaisen keskipisteet ovat samassa pisteessä - alkuperäisen nelikulmion sivujen keskipisteitä yhdistävän janan keskellä (samassa pisteessä vastakkaisten sivujen keskipisteitä yhdistävät segmentit - Varignonin suunnikkaan lävistäjät ) leikkaavat.
- Suuren Varignon-suunnikalan ympärysmitta on yhtä suuri kuin alkuperäisen nelikulmion lävistäjien summa. $GIHJ$
- Suuren Varignonin suunnikkaan pinta -ala on yhtä suuri kuin puolet alkuperäisen nelikulmion pinta-alasta , eli $GIHJ$ $ABCD$ $S_{GIHJ}={\frac {1}{2}}S_{ABCD}$ .
- Alkuperäisen nelikulmion pinta-ala on yhtä suuri kuin nelikulmion ensimmäisen ja toisen keskiviivan ja niiden välisen kulman sinin tulo , eli $ABCD$ $GH$ $IJ$ $\phi$ $S_{ABCD}=GH\cdot IJ\sin \phi$ .
- Nelikulmion kolmen keskiviivan neliöiden summa on yhtä suuri kuin neljäsosa sen kaikkien sivujen ja diagonaalien neliöiden summasta: $GH^{2}+IJ^{2}+EF^{2}={\frac {1}{4}}(AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{ 2}+BD^{2}+AC^{2})$ .
Eulerin kaava : nelinkertaistaa lävistäjien keskipisteiden välisen etäisyyden neliö on yhtä suuri kuin nelikulmion sivujen neliöiden summa miinus sen lävistäjien neliöiden summa.
Matemaattisesti oikeassa yläkulmassa olevalle kuviolle, jossa on harmaa nelikulmio ABCD , Eulerin kaava kirjoitetaan seuraavasti: $(2EF)^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}-BD^{2}-AC^{2}$ .

Newtonin viiva

Jos nelikulmassa kaksi vastakkaisten sivujen paria eivät ole yhdensuuntaisia, niin sen lävistäjien kaksi keskipistettä ovat suoralla viivalla, joka kulkee näiden kahden vastakkaisen sivuparin kaksi leikkauspistettä yhdistävän janan keskipisteen kautta (pisteet on esitetty kuvassa punainen kuvassa). Tätä suoraa kutsutaan Newtonin suoraksi (se on esitetty kuvassa vihreällä). Tässä tapauksessa Newtonin viiva on aina kohtisuorassa Auberin viivaan nähden .
Newtonin suoralla sijaitsevat pisteet täyttävät Annan lauseen .

Ortopolaariset linjat ortopoleja kolminkertaisten pisteiden nelikulmion

Jos annetaan kiinteä suora ℓ ja mikä tahansa nelikulmion kolmesta kärjestä valitaan , niin kaikki annetun suoran ℓ ortopolit kaikkiin sellaisiin kolmioihin nähden ovat samalla suoralla. Tätä suoraa kutsutaan ortopolaariseksi suoraksi annetulle suoralle ℓ nelikulmion suhteen [3] $ABCD$ $ABCD$

Nelikulman erikoispisteet

Nelikulman keskipiste

Neljä segmenttiä, joista jokainen yhdistää nelikulmion kärjen kolmion keskipisteeseen, jonka muodostavat jäljelle jääneet kolme kärkeä, leikkaavat nelikulmion keskipisteessä ja jakavat sen suhteessa 3:1, laskettuna pisteistä.
Katso myös nelikulmion sentroidin ominaisuudet.

Nelikulman Poncelet-piste

Nelikulman sisällä on Poncelet-piste (katso kappale "Yhdeksän kolmion pisteen ympyrät nelikulmion sisällä").

Miquelin pisteneliikulmio

Nelikulman sisällä on Miquel-piste .

Yhdeksän pisteen kolmion ympyrät nelikulmion sisällä

Mielivaltaisessa kuperassa nelikulmiossa niiden kolmioiden yhdeksän pisteen ympyrät , joihin se on jaettu kahdella diagonaalilla, leikkaavat yhdessä pisteessä - Poncelet-pisteessä [4] . $ABCD$ $ABC,BCD,CDA,DAB$

Nelikulmioiden erikoistapaukset

Kirjoitetut nelikulmiot

He sanovat, että jos ympyrä voidaan rajata lähellä nelikulmiota , niin nelikulmio on piirretty tähän ympyrään ja päinvastoin.
Erityisesti ympyrään piirretyt nelikulmiot ovat: suorakulmio , neliö , tasakylkinen tai tasakylkinen puolisuunnikas , antiparallelogram .
Lauseet sisäänkirjoitetuille nelikulmioille :
- Ptolemaioksen kaksi lausetta . Yksinkertaiselle (ei-leikkaavalle) ympyrään piirretylle nelikulmiolle, jolla on vastakkaisten sivujen parien pituudet: a ja c , b ja d sekä lävistäjien e ja f pituudet , seuraavat:

1) Ptolemaioksen ensimmäinen lause

ef=ac+bd

; 2) Ptolemaioksen toinen lause

${\frac {e}{f}}={\frac {a\cdot d+b\cdot c}{a\cdot b+c\cdot d}}).$ Viimeisessä kaavassa osoittajan a ja d , b ja c vierekkäisten sivujen parit lepäävät päiden kanssa diagonaalilla, jonka pituus on e . Samanlainen väite pätee nimittäjään.

3) Diagonaalien pituuksien kaavat ( Ptolemaioksen ensimmäisen ja toisen lauseen seuraukset )

{\displaystyle e={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd))))

{\displaystyle f={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc))))

- Mongen lause piirretyn nelikulmion ortosenteristä . 4 suorasegmenttiä (4 antimedatriisia [5] ), jotka on vedetty sisäänkirjoitetun nelikulmion 4 sivun keskipisteestä, jotka ovat kohtisuorassa vastakkaisiin sivuihin nähden, leikkaavat tämän nelikulmion ortokeskiössä H [6] [7] .
- Lause kirjoituksesta diagonaalisen kolmion parin ympyrään . Jos kupera nelikulmio on piirretty johonkin ympyrään, niin samaan ympyrään kirjoitetaan myös kolmiopari, johon nelikulmio on jaettu millä tahansa sen lävistäjistä (yhteys kolmion ympyröiden kanssa).
- Lause neljästä mediatriikasta . Se seuraa viimeisestä väittämästä: jos kolme kuperan nelikulmion sivuille vedetyistä neljästä mediatriksesta (tai mediaanisuorasta ) leikkaa yhdessä pisteessä, niin myös sen neljännen sivun mediatriisi leikkaa samassa pisteessä. Lisäksi tällainen nelikulmio on kirjoitettu tiettyyn ympyrään, jonka keskipiste on osoitettujen mediatrisien leikkauspisteessä [8] .

- Lauseet neljästä diagonaalista kolmiosta ja niiden piirretyistä ympyröistä [9] . Jos piirretään diagonaali nelikulmioon, joka on piirretty ympyrään, ja piirretään kaksi ympyrää tuloksena oleviin kahteen kolmioon, niin tehdään sama piirtämällä toinen lävistäjä, niin neljän muodostetun ympyrän keskipisteet ovat suorakulmion kärjet (eli , ne sijaitsevat samalla ympyrällä). Tätä lausetta kutsutaan japanilaiseksi lauseeksi. (katso kuva). Lisäksi tässä kuvatun neljän kolmion ortokeskipisteet ovat alkuperäisen nelikulmion ABCD kaltaisen nelikulmion kärjet (eli ne ovat myös toisella ympyrällä, koska alkuperäisen piirretyn nelikulmion kärjet ovat jollain ympyrällä). Lopuksi näiden neljän kolmion sentroidit ovat kolmannella ympyrällä [10] .
- Lause sisäänkirjoitetun nelikulmion kärkien neljästä projektiosta sen diagonaalissa [11] . Antaa olla kirjoitettu nelikulmio, olla perusta kohtisuorassa pudonnut vertex on lävistäjä ; pisteet määritellään samalla tavalla . Sitten pisteet sijaitsevat samalla ympyrällä. $ABCD$ $A_{1}$ $A$ $BD$ ${\displaystyle B_{1},C_{1},D_{1))$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$
- Brocardin lause . Nelikulmion ympärillä olevan rajatun ympyrän keskipiste on kolmion korkeuksien leikkauspiste diagonaalien leikkauspisteessä ja vastakkaisten sivujen leikkauspisteissä olevien kärkien kanssa.

Kriteerit sisäänkirjoitetuille nelikulmioille :
- Ensimmäinen kriteeri nelikulmion piirtämiselle . Ympyrä voidaan rajata nelikulmion ympärille, jos ja vain, jos vastakkaisten kulmien summa on 180°, eli:

\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ }

- Toinen kriteeri nelikulmion piirtämiselle . Ympyrä voidaan rajata nelikulmion ympärille, jos ja vain jos mikä tahansa sen vastakkaisten sivujen pari on vastakkainen .

- Kolmas kriteeri nelikulmion piirtämiselle . Kupera nelikulmio (katso kuva oikealla), joka muodostuu neljästä annetusta Miquel-viivasta , piirretään ympyrään, jos ja vain, jos nelikulmion Miquel-piste M on viivalla, joka yhdistää kaksi kuudesta viivojen leikkauspisteestä (ne, jotka eivät ole nelikulmion huippuja). Eli kun M on EF :ssä .
- Kolmion sivulle vastakkainen ja sen leikkaava suora leikkaa siitä nelikulmion, jonka ympärille voidaan aina rajata ympyrä.
- Neljäs kriteeri nelikulmion piirtämiselle . Ehto, jossa kahden kolmion yhdistelmä, joilla on yhtä sivu, antaa ympyrään piirretyn nelikulmion [12] . Siten, että kaksi kolmiota, joiden sivujen pituus on (a, b, f) ja (c, d, f), vastaavasti (c, d, f), kun ne yhdistetään pitkin yhteistä sivua, jonka pituus on f, tuloksena saadaan ympyrään piirretty nelikulmio sivujen sarjalla ( a , b , c , d ), ehto [13] :84

f^{2}={\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd))).

- Viimeinen ehto antaa lausekkeen ympyrään piirretyn nelikulmion lävistäjälle f sen neljän sivun pituuksilla ( a , b , c , d ). Tämä kaava seuraa välittömästi, kun kerrotaan ja rinnastetaan Ptolemaioksen ensimmäisen ja toisen lauseen olemusta ilmaisevien kaavojen vasen ja oikea osa (katso edellä).

Ympyrään piirretyn nelikulmion pinta-ala :
- Brahmaguptan kaavan mukaan ympyrään piirretyn nelikulmion pinta- ala on [14] :

S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd))),

missä p on nelikulmion puolikehä.

- Viimeinen kaava seuraa "Ala"-kohdan laatikon yleisestä kaavasta (1), jos siinä otetaan huomioon, että $2\theta =\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ }$
- Viimeinen kaava on yleistys Heronin kaavasta nelikulmion tapaukselle.
- Brahmaguptan kaava ympyrään piirretyn nelikulmion pinta-alalle voidaan kirjoittaa determinantin [8] avulla :

$S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix))))$

Nelikulmion ympärille rajatun ympyrän säde :

$R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)}{(pa)(pb)(pc)(pd)}} }$

Kirjoitetut nelikulmiot, joissa on kohtisuorat diagonaalit

Brahmaguptan lause . Sisäänkirjoitetuille ortodiagonaalisille nelikulmioille pätee Brahmaguptan lause : Jos sisäänkirjoitetulla nelikulmiolla on kohtisuorat diagonaalit, jotka leikkaavat pisteessä , niin kaksi sen $M$ antimediatrisiparia kulkee pisteen läpi . $M$
huomautus . Tässä lauseessa antimediatriisi [15] ymmärretään oikeanpuoleisen kuvan nelikulmion segmentiksi (analogisesti kolmion sivussa olevan kohtisuoran puolittajan (mediatriisi) kanssa). Se on kohtisuorassa toiselle sivulle ja kulkee samanaikaisesti nelikulmion vastakkaisen puolen keskipisteen läpi. $FE$
Lause ortodiagonaalisen nelikulmion kahdeksan pisteen ympyrästä . On olemassa hyvin tunnettu lause: Jos nelikulmion lävistäjät ovat kohtisuorassa, niin yhdellä ympyrällä on kahdeksan pistettä (nelikulmion kahdeksan pisteen ympyrä ): sivujen keskipisteet ja sivujen keskipisteiden projektiot vastakkaisiin kohtiin. sivut [16] . Tästä lauseesta ja Brahmaguptan lauseesta seuraa, että sisäänkirjoitetun ortodiagonaalisen nelikulmion kahden antimediatrisiparin (kahdeksan pisteen) päät sijaitsevat samalla ympyrällä ( nelisivun kahdeksan pisteen ympyrä ).
Osittain piirretyt ortodiagonaaliset nelikulmiot . Yksityinen piirretty ortodiagonaalinen nelikulmio piirretty ympyrä ovat neliö , hartialihaksen pari kohtisuorassa vastakkaisia kulmia, tasasivuinen ortodiagonaalinen puolisuunnikkaan , ja muut.

Kuvatut nelikulmiot

He sanovat, että jos ympyrä voidaan piirtää nelikulmioon , niin nelikulmio on rajattu tämän ympyrän ympärille ja päinvastoin.
Joillakin (mutta ei kaikilla) nelikulmioilla on piirretty ympyrä. Niitä kutsutaan rajatuiksi nelikulmioiksi .
- Tietyt ympyrän ympärille rajatut nelikulmiot ovat: rombi , neliö , hartialihas .
Kriteerit nelikulmioiden kuvaukselle :
- Kuvattujen nelikulmioiden ominaisuuksista tärkeintä on, että vastakkaisten sivujen summat ovat yhtä suuret. Tätä väitettä kutsutaan Pitot-lauseeksi .
- Toisin sanoen kupera nelikulmio on rajattu ympyrän ympärille silloin ja vain, jos vastakkaisten sivujen pituuksien summat ovat yhtä suuret, eli: . $AB+CD=BC+AD$

Lauseet rajatuille nelikulmioille :
- Lause ympyrän tangentin kulman kahdelta yhtä suurelta puolelta . Piirretyn ympyrän, jossa on nelikulmio, tangenttipisteet leikkaavat yhtä suuret segmentit nelikulmion kulmista.
- Lause nelikulmion kahden vastakkaisen sivun jatkosta . Jos kupera nelikulmio ei ole puolisuunnikkaan eikä suunnikkaan ja se on rajattu jonkin ympyrän ympärille, niin saman ympyrän ympärille rajataan pari kolmioita, jotka saadaan jatkamalla sen kahta vastakkaisten sivujen paria, kunnes ne leikkaavat (yhteys kolmion ympyrät).
- Lause neljästä puolittajasta . Viimeisestä lauseesta seuraa: jos kolme kuperan nelikulmion sisäkulmille piirretystä neljästä puolittajasta (tai puolittajasta) leikkaa yhdessä pisteessä, niin myös sen neljännen sisäkulman puolittaja leikkaa samassa pisteessä. Lisäksi tällainen nelikulmio kuvataan tietyn ympyrän ympärillä, jonka keskipiste on esitettyjen puolittajien leikkauspisteessä [17] .
- Newtonin lause . Jos nelikulmio on piirretty ympyrän ympärille, sen piirretyn ympyrän keskus sijaitsee Newtonin linjalla . Tarkempi lausunto on alla.
- Newtonin lause . Missä tahansa rajatussa nelikulmaisessa , kaksi midpoints of diagonaalit ja keskellä piirretty ympyrä sijaitsevat samalla suoralla. Sen päällä on segmentin keskiosa, jonka päät ovat nelikulmion vastakkaisten sivujen jatkojen leikkauspisteissä (jos ne eivät ole yhdensuuntaisia). Tätä linjaa kutsutaan Newtonin viivaksi . Kuvassa (toinen kuvioryhmä ylhäältä) se on vihreä, lävistäjät ovat punaisia, myös segmentti, jonka päät ovat nelikulmion vastakkaisten sivujen jatkojen leikkauspisteissä, on punainen.
- Brocardin lause . Nelikulmion ympärillä olevan rajatun ympyrän keskipiste on kolmion korkeuksien leikkauspiste diagonaalien leikkauspisteessä ja vastakkaisten sivujen leikkauspisteissä olevien kärkien kanssa.

Piirretyn nelikulmion pinta-ala
- Ehto tarkoittaa sitä . $AB+CD=BC+AD$ $a+c=b+d$

Esittelemme puoliperimetrin p käsitteen , meillä on . Siksi meillä on myös . Lisäksi voit huomata: Siksi, kaavan (1) mukaisesti, laatikossa "Ala" meillä on ${\näyttötyyli p=(a+d+b+c)/2=a+c=b+d}$ ${\näyttötyyli p=(a+d+b+c)/2=a+c=b+d}$ $pa=c;pb=d;pc=a;pd=b.$ $(pa)(pb)(pc)(pd)=abcd.$

S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)-abcd\cos ^{2}\theta }}=

$={\sqrt {abcd-abcd\cos ^{2}\theta }}={\sqrt {abcd\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {abcd}}\sin \theta .$

- Koska nelikulmio on kuvattu, sen pinta-ala on myös puolet kehästä p kertaa piirretyn ympyrän säde r : . $S=pr$

Piirretyt nelikulmiot

Piirretyt-piiretyt nelikulmiot ovat nelikulmioita, jotka voivat olla sekä piirretty jonkin ympyrän ympäri että myös piirretty johonkin ympyrään. Muut nimet niille ovat kaksikeskiset nelikulmiot, sointutangenttinelisivut tai kaksoisympyrän nelikulmiot.
Yksityiset piirretyt-piiretyt nelikulmiot ovat neliö ja romboidi , joissa on pari yhtä suuria 90 asteen vastakkaisia kulmia.

Ominaisuudet

Kriteerit nelikulmion samanaikaiselle kirjoitukselle ja rajallisuudelle
- Mikä tahansa alla olevista kahdesta ehdosta erikseen tarkasteltuna on välttämätön , mutta ei riittävä ehto, jotta tietty kupera nelikulmio voidaan piirtää joillekin ympyröille:

AB+CD=BC+AD

ja .

\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ }

- Kahden viimeisen ehdon täyttyminen samanaikaisesti jollekin kuperalle nelikulmiolle on välttämätöntä ja riittävää , jotta tämä nelikulmio voidaan piirtää-piirrettäväksi .

Lauseet sisäänkirjoitetuille-piirretyille nelikulmioille

- Hälyn lause. Annetun nelikulmion rajattujen ja piirrettyjen ympyröiden säteiden R ja r sekä keskipisteiden ja näiden ympyröiden välisen etäisyyden x (katso kuva) osalta täyttyy relaatio, joka edustaa Eulerin lauseen nelikulmaanalogia (tässä ). on samanlainen Eulerin kaava kolmiolle) [18] [19] [20 ] : $minä$ $O$

{\frac {1}{(R+x)^{2}}}+{\frac {1}{(Rx)^{2}}}={\frac {1}{r^{2 }}}

tai

\displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})^{2}.

tai

{\displaystyle x^{2}=R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))))

tai

x={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))))}.

- Lause . Seuraavat kolme piirretyn nelikulmion ehtoa koskevat pisteitä, joissa tangentin nelikulmioon piirretty ympyrä on sivujen tangentti. Jos ympyrä on sivujen AB , BC , CD , DA tangentti pisteissä W , X , Y , Z, niin tangentin nelikulmio ABCD rajataan myös, jos ja vain jos jokin seuraavista kolmesta ehdosta täyttyy (katso kuva): [21]
- WY kohtisuorassa XZ :ään nähden
- ${\frac {AW}{WB}}={\frac {DY}{YC}}$
- ${\frac {AC}{BD}}={\frac {AW+CY}{BX+DZ}}$ .
- Ponceletin lause . Piirretylle-rajoitetulle nelikulmiolle Ponceletin lause pätee .

Piirretyn nelikulmion pinta-ala

- Jos nelikulmio on sekä piirretty että kuvattu, niin kaavan (1) "Ala"-kohdan laatikossa on: . $S={\sqrt {abcd))$
- Viimeinen kaava saadaan edellisen kappaleen pintakaavasta rajatulle nelikulmiolle , kun otetaan huomioon, että (kirjoitetulle nelikulmiolle ). $S={\sqrt {abcd}}\sin \theta$ $\theta =90^{\circ };\sin 90^{0}=1$ $2\theta =~\kulma A+\kulma C=\kulma B+\kulma D=180^{\circ }$
- Koska nelikulmio on rajattu, sen pinta-ala on myös puolet sen kehästä p kertaa piirretyn ympyrän säde r : . $S=pr$
- Toinen kaava piirretyn nelikulmion pinta-alalle:

S={\frac {p^{2}}{\operaattorinnimi {tg} {\frac {A}{2}}+\operaattorinnimi {tg} {\frac {B}{2}}+\operaattorinnimi {tg} {\frac {C}{2}}+\operaattorinimi {tg} {\frac {D}{2}}}}

Tangentin nelikulmion sivujen osiointi ympyrän kosketuspisteillä

Tangentin nelikulmion kahdeksan "tangentin pituutta" ("e", "f", "g", "h" oikealla olevassa kuvassa) ovat viivasegmenttejä kärjestä pisteisiin, joissa ympyrä koskettaa sivuja. Jokaisesta kärjestä on kaksi samanpituisen ympyrän tangenttia (katso kuva).
Merkitään myös tangentin nelikulmion kahta "tangentiaalista jännettä" ("k" ja "l" kuvassa) - nämä ovat viivasegmenttejä, jotka yhdistävät pisteitä vastakkaisilla puolilla, missä ympyrä koskettaa näitä puolia. Ne ovat myös "kosketusneliikulmion" lävistäjät , joilla on kärjet nelikulmion ja ympyrän kosketuspisteissä. $ABCD$

Sitten piirretyn nelikulmion pinta-ala on [21] :s.128

S={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h),

yhtä hyvin kuin

S=AI\cdot CI+BI\cdot DI.

Jos tangenttien k ja l sekä diagonaalien p ja q kahden jänteen lisäksi kaksi kuperan nelikulmion bimediaania m ja n tuodaan suoriksi segmenteiksi, jotka yhdistävät vastakkaisten sivujen keskipisteet, niin piirretyn sivun pinta-ala -rajoitettu nelikulmio on yhtä suuri kuin [22]

S=\left|{\frac {m^{2}-n^{2}}{k^{2}-l^{2}}}\right|kl

S={\frac {klpq}{k^{2}+l^{2))}.

Ympäröimättömät nelikulmiot

Ympyrän rajaamaton nelikulmio

Ympyröimätön nelikulmio on kupera nelikulmio, jonka kaikkien neljän sivun jatkeet ovat ympyrän tangentteja (neliikulmion ulkopuolella) [23] . Ympyrää kutsutaan excircleksi . Excirclen keskipiste on kuuden puolittajan leikkauspisteessä.
Jokaista nelikulmiota ei ole olemassa. Jos kuperan nelikulmion ABCD vastakkaiset sivut leikkaavat pisteissä E ja F , niin sen kuvauksen ulkopuolinen ehto on jompikumpi alla olevista ehdoista:

AB+BC=AD+DC\quad \Leftright arrow \quad AE+EC=AF+FC.

Rajoittamaton nelikulmio paraabelille

Paraabeli , määritelty nelikulmiolle . Tällainen paraabeli on olemassa mille tahansa kuperalle nelikulmiolle ja se koskettaa annetun nelikulmion (neliikulmion) kaikkia 4 sivua tai niiden jatkeita. Sen suuntaviiva on sama kuin Auber-Steiner-linja [24] .

Nelikulmat kohtisuoralla elementillä

Alla on kappaleita nelikulmioista, joissa on kohtisuorat elementiparit: 2 kohtisuoralla sivulla ja 2 kohtisuorassa lävistäjällä.
Nämä nelikulmiot rappeutuvat suorakulmaiseksi kolmioksi , jos yhden halutun sivun pituus (niiden 4 sivusta), joka sijaitsee lähellä oikeaa kulmaa tai lepää päänsä tässä kulmassa, pyrkii nollaan.

Nelisivut, joissa on kohtisuorat sivut

Nelisivut, joiden vastakkaiset sivut ovat kohtisuorassa

Nelikulmion kaksi vastakkaista sivua ovat kohtisuorassa silloin ja vain, jos kahden muun vastakkaisen sivun neliöiden summa on yhtä suuri kuin lävistäjien neliöiden summa.
Jos kulmien summa puolisuunnikkaan jossakin kannassa on 90°, niin sivujen (vastakkaisten) sivujen jatkeet leikkaavat suorassa kulmassa ja kantajen keskipisteitä yhdistävä jana on yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan eron puolikas . pohjat.

Nelisivut, joissa on 2 paria kohtisuorassa olevia vierekkäisiä sivuja

Jos kuperalla nelikulmiolla on kaksi paria vierekkäisiä sivuja, jotka ovat kohtisuorassa (eli kaksi vastakkaista kulmaa ovat suorassa), tämä nelikulmio voidaan kirjoittaa johonkin ympyrään. Lisäksi tämän ympyrän halkaisija on diagonaali, jonka päällä osoitetut kaksi vierekkäisten sivujen paria lepäävät toisessa päässä.
Yksityiset nelikulmiot, joiden sivut ovat kohtisuorat, ovat: suorakulmio , neliö ja suorakaiteen muotoinen puolisuunnikas .

Nelisivut, joissa on 3 kohtisuoraa vierekkäistä sivua

Jos kuperalla nelikulmiolla on 3 vierekkäistä sivua kohtisuorassa (eli 2 sisäkulmaa ovat oikeat), tämä nelikulmio on suorakulmainen puolisuunnikkaan muotoinen .

Nelisivut, joissa on kohtisuorat diagonaalit

Nelikulmioita , joilla on kohtisuorat lävistäjät, kutsutaan ortodiagonaalisiksi nelikulmioiksi.
Nelikulman lävistäjät ovat kohtisuorassa silloin ja vain, jos vastakkaisten sivujen neliöiden summat ovat yhtä suuret.
Ortodiagonaalisen nelikulmion pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet sen diagonaalien tulosta: . $S={\frac {1}{2}}ef$
Nelikulman keskiviivat ovat yhtä suuret, jos ja vain, jos sen vastakkaisten sivujen neliöiden summat ovat yhtä suuret.
Nelisivun antimediatriksi on jana, joka tulee ulos sen toisen sivun keskeltä ja on kohtisuorassa vastakkaiseen sivuun.
Brahmaguptan lause . Jos nelikulmiolla on kohtisuorat lävistäjät ja se voidaan piirtää johonkin ympyrään, niin sen neljä antimediatrisiä leikkaavat yhdessä pisteessä. Lisäksi tämä antimediatriksen leikkauspiste on sen diagonaalien leikkauspiste.
Jos nelikulmiolla on kohtisuorat lävistäjät ja se voidaan piirtää johonkin ympyrään, niin sen säteen R nelinkertainen neliö on yhtä suuri kuin minkä tahansa sen vastakkaisten sivujen parin neliöiden summa: $a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}=4R^{2}.$
Jos nelikulmiolla on kohtisuorat lävistäjät ja se voidaan rajata tietyn ympyrän ympärille, niin kahden vastakkaisen sivun parin tulot ovat yhtä suuret: $ac=bd.$
Varignon-suunnikas, jonka kärjet ovat suorakulmaisen nelikulmion sivujen keskipisteissä, on suorakulmio .
Jos nelikulmion lävistäjät ovat kohtisuorassa, niin yhdellä ympyrällä on kahdeksan pistettä (nelikulmion kahdeksan pisteen ympyrä ): sivujen keskipisteet ja sivujen keskipisteiden projektiot vastakkaisille sivuille [16] .
Erityisiä ortodiagonaalisia nelikulmioita ovat: rombi , neliö , hartialihas .
Jos kuperalla nelikulmiolla on kohtisuorat lävistäjät, niin sen neljän sivun keskipisteet ovat suorakulmion kärjet (Seuraus Varignonin lauseesta ). Päinvastoin on myös totta. Lisäksi suorakulmion lävistäjät ovat yhtä suuret. Siksi kuperan nelikulmion lävistäjät ovat kohtisuorassa silloin ja vain, jos sen kahden bimediaanin (vastakkaisten sivujen keskipisteitä yhdistävien kahden segmentin pituudet) pituudet ovat yhtä suuret [25] .
Taulukko, jossa verrataan rajatun ja ortodiagonaalisen nelikulmion ominaisuuksia:

Niiden metriset ominaisuudet ovat hyvin samanlaiset (katso taulukko) [25] . Tässä on merkitty: a , b , c , d - niiden sivujen pituudet R 1 , R 2 , R 3 , R 4 ja näiden sivujen ja lävistäjien leikkauspisteen kautta piirrettyjen ympyröiden säteet , h 1 , h 2 , h 3 , h 4 ovat korkeudet , jotka on laskettu niihin diagonaalien leikkauspisteestä .

rajattu nelikulmio	ortodiagonaalinen nelikulmio
$a+c=b+d$	${\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2))$
${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4))$	${\displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2))$
${\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1 }{h_{4}}}$	${\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2} ^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}$

Lisäksi suorakulmaisen nelikulmion sivuilla oleville mediaaneille, jotka lasketaan diagonaalien leikkauspisteestä , on totta: . ${\displaystyle m_{1}^{2}+m_{3}^{2}=m_{2}^{2}+m_{4}^{2))$

Mikä tahansa ortodiagonaalinen nelikulmio voidaan piirtää äärettömän monella suorakulmiolla, jotka kuuluvat seuraaviin kahteen joukkoon:

i) suorakulmiot, joiden sivut ovat yhdensuuntaiset ortodiagonaalisen nelikulmion lävistäjien kanssa (ii) suorakulmiot, jotka määritellään Pascalin [26] [27] [28] pisteympyröillä .

Joidenkin nelikulmioiden lävistäjien ominaisuudet

Seuraavasta taulukosta näkyy, onko joidenkin perusneliöiden lävistäjillä leikkauspisteessä puolittaja, ovatko lävistäjät kohtisuorassa , ovatko diagonaalien pituudet yhtä suuret ja puolittavatko ne kulmat [29] . Luettelo viittaa yleisimpiin tapauksiin ja tyhjentää nimetyt nelikulmioiden osajoukot.

Nelikulmainen	Diagonaalien jakaminen puoliksi niiden leikkauspisteessä	Diagonaalien kohtisuora	Diagonaalien pituuksien yhtäläisyys	Kulmien puolittaminen diagonaalien mukaan
Trapetsi	Ei	Katso huomautus 1	Ei	Ei
Tasakylkinen puolisuunnikas	Ei	Katso huomautus 1	Joo	Vähintään kaksi vastakkaista kulmaa
Suunnikas	Joo	Ei	Ei	Ei
Deltoidi	Katso huomautus 2	Joo	Katso huomautus 2	Katso huomautus 2
Suorakulmio	Joo	Ei	Joo	Ei
Rombi	Joo	Joo	Ei	Joo
Neliö	Joo	Joo	Joo	Joo

Huomautus 1: Yleisimmillä puolisuunnikasilla ja tasakylkeisillä puolisuunnikasilla ei ole kohtisuoraa lävistäjää, mutta on ääretön määrä (ei-samankaltaisia) puolisuunnikkaita ja tasakylkisiä puolisuunnikkaita, joilla on kohtisuorat lävistäjät ja jotka eivät ole samanlaisia kuin mikään muu nimetty nelikulmio .
Huomautus 2: Hartialihaksessa yksi lävistäjä puolittaa toisen. Toinen diagonaali puolittaa sen vastakkaiset kulmat. Yleisimmällä hartialihaksella on erisuuruiset lävistäjät, mutta on ääretön määrä (erilaisia) hartialihaksia, joiden lävistäjät ovat yhtä pitkiä (ja hartialihakset eivät ole muita nimettyjä nelikulmioita) .

Nelisivujen symmetria

Kuvassa Jotkut symmetriset nelikulmiot on esitetty, niiden siirtyminen toisiinsa sekä niiden duaalit. Kuvan nimitykset:

Leija (käärme) - hartialihas (romboidi)
Parallelogram - suuntaviiva
Epäsäännöllinen nelikulmio - epäsäännöllinen nelikulmio
Rombi - rombi
Suorakulmio - suorakulmio
Neliö - neliö
Gyrational Square - pyörivä neliö
Tasakylkinen puolisuunnikas - tasakylkinen puolisuunnikas

Alue

Mielivaltaisen ei-itseleikkautuvan kuperan nelikulmion, jossa on diagonaalit ja niiden välinen kulma (tai niiden jatkeet) pinta-ala on yhtä suuri : $S$ $d_{1}$ $d_{2}$ $\alpha$

$S={\frac {d_{1}d_{2}\sin \alpha }{2}}$

Mielivaltaisen kuperan nelikulmion pinta-ala on yhtä suuri kuin nelikulmion ensimmäisen ja toisen keskiviivan ja niiden välisen kulman sinin tulo , eli $GH$ $IJ$ $\phi$

S_{ABCD}=GH\cdot IJ\sin \phi

huomautus . Nelikulman ensimmäinen ja toinen keskiviiva ovat segmenttejä, jotka yhdistävät sen vastakkaisten sivujen keskipisteet.

Mielivaltaisen kuperan nelikulmion pinta-ala on [14] :

16S^{2}=4p_{1}^{2}d_{2}^{2}-\left(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\ oikealla)^{2}

, jossa , ovat diagonaalien pituudet; a, b, c, d ovat sivujen pituudet.

d_{1}

d_{2}

Mielivaltaisen kuperan nelikulmion pinta-ala on myös yhtä suuri

$S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)-abcd\cos ^{2}\theta }},$ (yksi)

missä p on puolikehä ja on nelikulmion vastakkaisten kulmien puolisumma (ei ole väliä mikä vastakkaisten kulmien pari otetaan, koska jos yhden vastakkaisten kulmien puolisumma on yhtä suuri kuin , niin kahden muun kulman puolisumma on ja ). Tästä sisäänkirjoitettujen nelikulmioiden kaavasta seuraa Brahmaguptan kaava . $\theta ={\frac {\angle A+\angle C}{2))$ $\theta$ $180^{\circ }-\theta$ $\cos ^{2}(180^{\circ }-\theta )=\cos ^{2}\theta$

Yllä olevan laatikon kaavan (1) mukaisen mielivaltaisen kuperan nelikulmion pinta-ala, kun otetaan huomioon yksi Bretschneiderin relaatioista (katso edellä), voidaan kirjoittaa seuraavasti:

$S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)+\textstyle {1 \over 4}((ef)^{2}-(ac+bd)^{2)))))=$ $={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)+\textstyle {1 \over 4}(ef+ac+bd)(ef-ac-bd)))$ missä p on puolikehä, e ja f ovat nelikulmion lävistäjät.

Mielivaltaisen ei-itseleikkaavan nelikulmion pinta-ala , joka on annettu tasossa sen kärkien koordinaateilla läpikulkujärjestyksessä, on yhtä suuri: $S$ ${\näyttötyyli (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4}) }$

$S={\frac {1}{2}}{\big |}(x_{1}-x_{2})(y_{1}+y_{2})+(x_{2}-x_) {3})(y_{2}+y_{3})+(x_{3}-x_{4})(y_{3}+y_{4})+(x_{4}-x_{1}) (y_{4}+y_{1}){\iso |}$

Historia

Muinaisina aikoina egyptiläiset ja jotkut muut kansat käyttivät väärää kaavaa nelikulmion alueen määrittämiseen - sen vastakkaisten sivujen a, b, c, d puolisummien tuloa [30] :

S={\frac {a+c}{2}}\cdot {\frac {b+d}{2}}

Ei-suorakulmaisille nelikulmioille tämä kaava antaa yliarvioidun alueen. Voidaan olettaa, että sitä käytettiin vain lähes suorakaiteen muotoisten tonttien alan määrittämiseen. Kun suorakulmion sivujen mittaukset ovat epätarkkoja, tämän kaavan avulla voit parantaa tuloksen tarkkuutta laskemalla alkuperäisten mittausten keskiarvon.

Katso myös

Monikulmiot

Sivujen lukumäärän mukaan

Monogon
Bigon
Kolmio
Nelikulmainen
Pentagon
Kuusikulmio
Seitsenkulmio
Kahdeksankulmio
viisikulmio
Decagon
Hendecagon
Dodecagon
Kolmetoista
tetradecagon
Pentagon
Kuusikulmio
Seitsemäntoista
kahdeksankulmio
Nineteenagon
Dodecagon
Kaksikymmentäyksipuolinen
Kaksikymmentäkaksi kulma
Twentytrigon
Kaksikymmentänelikulmainen
Kaksikymmentä viisikulmio
Kaksikymmentä kahdeksankulmio
Tridecagon
Thirty-Biagon
Neljäkymmentäneliö
Neljäkymmentä kaksikulmio
helluntailainen
helluntailainen
Kuusikulmio
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ fi
Millagon
Kymmenentuhattagon
Satatuhatosa
Milliogon
ääretön

oikea

kupera	Kolmio Neliö Pentagon Kuusikulmio Seitsenkulmio Kahdeksankulmio viisikulmio tetradecagon Seitsemäntoista 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
tähti	Pentagrammi Heksagrammi Heptagrammi Octagram ( Lakshmin tähti ) Enneagrammi Dekagrammi Endekagrammi Dodecagram

kolmiot

Nelikulmat

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Jakov Ponarin . Perusgeometria. Osa 1: Planimetria, tasomuunnokset . - Litraa, 2018-07-11. - S. 52. - 312 s.
↑ EW Weisstein. bimediaani . MathWorld - Wolfram-verkkoresurssi. (määrätön)
↑ Steve Phelps. Orthopole// https://www.geogebra.org/m/CKKH9ZZA
↑ Zaslavsky, Permyakova et ai., 2009 , s. 118, tehtävä 9.
↑ Katso antimedatriksen määritelmä Planimetryn sanastosta
↑ Merkittäviä nelikulmioiden pisteitä ja viivoja// https://math.mosolymp.ru/upload/files/2018/khamovniki/geom-10/2018-04-17-Zam_pr_ch-ka.pdf
↑ Mongen lause// https://bambookes.ru/stuff/reshenie_zadach/geometrija/4-1-0-8264
↑ 1 2 Starikov, 2014 , s. 38, oikea sarake, kohta 7.
↑ Ayeme , s. 6, esim. 8, fig. 13.
↑ Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), 2.3 Sykliset neloset , Matemaattisten olympialaisten aarteet , Springer, s. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
↑ Ayeme , s. 5, esim. 7, fig. 11, seuraus.
↑ Katso artikkelin " kirjoitettu nelikulmio " alaosio "Diagonaalit "
↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ. co., 2007
↑ 1 2 Ponarin , s. 74.
↑ Starikov, 2014 , s. 7-39.
↑ 1 2 Zaslavsky, Permyakova et ai., 2009 , s. 118, tehtävä 11.
↑ Starikov, 2014 , s. 39, vasen sarake, viimeinen kappale.
↑ Dorrie, Heinrich. 100 suurta perusmatematiikan ongelmaa : niiden historia ja ratkaisut . - New York: Dover, 1965. - P. 188-193. — ISBN 978-0-486-61348-2 .
↑ Yiu, Paul, Euclidean Geometry , [1] (linkki ei saatavilla) , 1998, s. 158-164.
↑ Salazar, Juan Carlos (2006), Fussin lause, Mathematical Gazette, osa 90 (heinäkuu): 306–307 .
↑ 1 2 Josefsson, Martin (2010), Characterizations of Bicentric Quadrilaterals , Forum Geometricorum vol . 10: 165–173 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201019.pdf > .
↑ Josefsson, Martin (2011), The Area of a Bicentric Quadrilateral , Forum Geometricorum vol . 11: 155–164 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201116.pdf > .
↑ Radic, Kaliman, Kadum, 2007 , s. 33-52.
↑ Junko HIRAKAWA. Jotkut lauseet ortopolista. Tohoku Mathematical Journal, ensimmäinen sarja. 1933 Voi. 36. s. 253, Lemma I// https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/36/0/36_0_253/_pdf/-char/en
↑ 1 2 Josefsson, Martin (2012), Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals , Forum Geometricorum vol . 12: 13–25 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201202.pdf > .
↑ David, Fraivert (2019), Joukko suorakulmioita, jotka on merkitty ortodiagonaaliseen nelikulmioon ja määritelty Pascal-pisteympyröillä , Journal for Geometry and Graphics Vol . 23: 5–27 , < http://www.heldermann.de/JGG /JGG23/JGG231/jgg23002.htm > .
↑ David, Fraivert (2017), Pascal-pisteympyrän ominaisuudet nelikulmiossa, jossa on kohtisuorat lävistäjät , Forum Geometricorum vol. 17: 509–526 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201748.pdf >
↑ Freivert, D. M. (2019), Uusi aihe euklidisessa geometriassa tasossa: "Pascal-pisteiden" teoria, jonka muodostaa ympyrä nelikulmion sivuilla , matemaattinen koulutus: tekniikan taso ja näkökulmat: kansainvälisen julkaisun Tieteellinen konferenssi , < https:// /libr.msu.by/handle/123456789/9675 >
↑ Jennifer Kahle, Geometry: Basic ideas. Geometry: Basic ideas [2] , käytetty 28. joulukuuta 2012.
↑ G. G. Zeiten Matematiikan historia antiikin ja keskiajalla, GTTI, M-L, 1932.

Kirjallisuus

Boltyansky V. , Nelikulmat . Kvant , nro 9, 1974.
Ponarin Ya. P. Alkeinen geometria. 2 nidettä - M . : MTSNMO , 2004. - S. 74. - ISBN 5-94057-170-0 .
Starikov V. N. Geometriatutkimus // Tieteellisen aikakauslehden Globus julkaisujen kokoelma V:n kansainvälisen tieteellis-käytännön konferenssin "Modernin tieteen saavutukset ja ongelmat", Pietari: artikkelikokoelma (standarditaso, akateeminen) materiaaliin taso) // Tieteellinen aikakauslehti Globus . - S-P., 2016.
Starikov V. N. Huomautuksia geometriasta// Tieteellinen haku: humanistiset ja sosioekonomiset tieteet: kokoelma tieteellisiä artikkeleita / Ch. toim. Romanova I. V. - Cheboksary: TsDIP "INet", 2014. - Numero. 1 .
Matematiikka tehtävissä. Kokoelma materiaalia Moskovan joukkueen kenttäkouluista koko Venäjän matemaattista olympialaista varten / Toimittanut A. A. Zaslavsky, D. A. Permyakov, A. B. Skopenkov, M. B. Skopenkov ja A. V. Shapovalov .. - Moskova: MTsNMO, 2009 - ISBN - ISBN 477-4 .
Jean-Louis Ayeme. Feurbachin lause. Uusi synteettinen puhtaasti todiste. (linkki ei saatavilla) . Haettu 2. lokakuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 13. marraskuuta 2013. (Venäjän kieli) Hieman laajennettu käännös - "Around the Problem of Archimedes"
Mirko Radic, Zoran Kaliman, Vladimir Kadum. Edellytys, että tangentiaalinen nelikulmio on myös sointu // Mathematical Communications. - 2007. - Ongelma. 12 .
D. Fraivert, A. Sigler ja M. Stupel. Puolisuunnikkaan ja kuperaan nelikulmioon liittyvät yhteiset ominaisuudet // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications. - 2016. - T. 38 . — s. 49–71. - doi : 10.18642/jmsaa_7100121635 .