Japanin kaiverrettu nelikulmalause

Japanin kirjoitetun nelikulmion lauseessa todetaan, että sisäänkirjoitetun nelikulmion sisällä oleviin tiettyihin kolmioihin piirrettyjen ympyröiden keskipisteet ovat suorakulmion kärjet .

Jakamalla mielivaltainen piirretty nelikulmio diagonaaleilla tuottaa neljä päällekkäistä kolmiota (jokainen lävistäjä tuottaa kaksi kolmiota). Näihin kolmioihin piirrettyjen ympyröiden keskipisteet muodostavat suorakulmion.

Erityisesti olkoon □ ABCD mielivaltainen sisäänkirjoitettu nelikulmio ja olkoon M 1 , M 2 , M 3 , M 4 kolmioihin △ ABD , △ ABC , △ BCD , △ ACD piirrettyjen ympyröiden keskipisteet . Tällöin keskusten M 1 , M 2 , M 3 , M 4 muodostama nelikulmio on suorakulmio.

Todiste [1]

$\angle {AM_{2}B}=180^{\circ }-\angle {BAC}/2-\angle {ABC}/2=90^{\circ }+\angle {ACB}/2$ (koska on kulman puolittaja ja kulman puolittaja ) ${\displaystyle AM_{2))$ ${\näyttötyyli \kulma {BAC}}$ ${\displaystyle BM_{2))$ ${\näyttötyyli \kulma {ABC}}$

Samoin saamme $\angle {AM_{1}B}=180^{\circ }-\angle {ABD}/2-\angle {BAD}/2=90^{\circ }+\angle {BDA}/2$

Koska nelikulmio on kirjoitettu, meillä on , josta seuraa, että nelikulmio on myös piirretty ympyrään, joten saamme $ABCD$ $\angle {ADB}=\angle {ACB}$ ${\näyttötyyli \kulma {AM_{1}M_{2}B}}$ $\angle {M_{1}M_{2}B}=180^{\circ }-\angle {BAM_{1))=180^{\circ }-\angle {A}/2$

Samoin saamme $\angle {BM_{2}M_{3}}=180^{\circ }-\angle {C}/2$

Ja näin ollen, $\angle {M_{1}M_{2}M_{3}}=360^{\circ }-(\angle {M_{1}M_{2}B}+\angle {BM_{2}M_ {3)))=(\angle {A}+\angle {C})/2=180^{\circ }/2=90^{\circ }$

Samalla tavalla todistamme muillekin kulmille. Saamme, että nelikulmion kaikki neljä kulmaa ovat oikeassa. Lause todistettu

Huomaa, että tämän lauseen todistus on helppo yleistää japanilaisen lauseen todistukseksi kirjoitetuille polygoneille (japanilainen lause syklisille polygoneille) .

Todistus yleiselle piirretylle monikulmiolle seuraa välittömästi nelikulmion tapauksesta (induktiolla monikulmion osion kolmioiden lukumäärään).

Huomautus 1

Kirjoitetulle nelikulmiolle japanilainen sisäänkirjoitettu nelikulmion lause on osa monimutkaisempaa lausetta:

Kirjatussa nelikulmiossa ABCD kolmioiden ABC , BCD , CDA ja DAB sisäympyröiden keskipisteet ovat suorakulmion kärjet , samojen neljän kolmion ortokeskipisteet ovat nelikulmion kärjet , jotka ovat yhtä suuria kuin ABCD , näiden neljän painopisteet . kolmiot ovat toisen piirretyn nelikulmion huippuja [2] .

Katso myös

Kirjallisuus

Mangho Ahuja, Wataru Uegaki, Kayo Matsushita: In Search of the Japanese Theorem (postscript-tiedosto)
Lause kohdassa Cut-the-Knot
Wataru Uegaki: " Japanilainen lauseの起源と歴史" (Japanilaisen lauseen alkuperästä ja historiasta). Departmental Bulletin Paper, Mie University Scholarly E-Collections, 2001-03-01
Wilfred Reyes: Thebaultin lauseen sovellus . Forum Geometricorum, 2. osa, 2002, s. 183-185
Titu Andreescu, Bogdan Enescu. Matemaattisten olympialaisten aarteet. - Springer, 2004. - ISBN 978-0-8176-4305-8 .

Linkit

Japanilainen lause, interaktiivinen todistus animaatiolla

↑ Andreescu, Enescu, 2004 , s. 45.
↑ Andreescu, Enescu, 2004 , s. 2.3 Sykliset neloset.