Kirjatun ympyrän lause

Kirjatun ympyrän lause on peräisin japanilaisesta sangakusta ja viittaa seuraavaan rakenteeseen: sarja säteitä vedetään pisteestä tietylle suoralle siten , että vierekkäisten säteiden ja suoran muodostamiin tuloksena oleviin kolmioihin kirjoitetut ympyrät ovat samat. Kuvassa samat siniset ympyrät määrittävät säteiden välisen kulman, kuten edellä on kuvattu.

Lauseen lause

Lause väittää, että edellä kuvatulla konstruktiolla ympyrät, jotka on piirretty kolmioihin, jotka on kirjoitettu säteiden kautta yhden (eli kahden vierekkäisen kolmion yhdistämisellä), kahden jne. kautta, ovat myös yhtä suuret. Vierekkäisten kolmioiden tapaus on esitetty kuvassa vihreillä ympyröillä: niillä kaikilla on samat mitat.

Siitä tosiasiasta, että lauseen väite ei riipu alkusäteen ja annetun suoran välisestä kulmasta, voidaan päätellä, että lause koskee enemmän laskemista kuin geometriaa ja sen tulisi liittyä jatkuvaan mittakaavafunktioon, joka määrittää säteiden välinen etäisyys. Itse asiassa tämä funktio on hyperbolinen sini .

Lemma

Lause on suora seuraus seuraavasta lemmasta .

Oletetaan, että n:nnellä säteellä on kulma perusviivan normaaliin nähden. Jos parametrisoidaan yhtälön mukaisesti , niin arvot , joissa ja ovat todellisia vakioita, määrittävät säteiden sarjan, joka täyttää ympyrän ehdot (katso edellä), ja lisäksi mikä tahansa sädesarja, joka täyttää nämä ehdot, voidaan saada oikea parametrien valinta ja . $\gamma_n$ $\gamma_n$ ${\displaystyle \mathrm {tg} \,\gamma _{n}=\mathrm {sh} \,\theta _{n))$ $\theta _{n}=a+nb$ $a$ $b$ $a$ $b$

Lemman todiste

Kuvassa suorat PS ja PT ovat vierekkäisiä säteitä, joilla on kulmia ja joiden viiva PR on kohtisuorassa perusviivaa RT vastaan. $\gamma_n$ $\gamma _{n+1}$

Piirrä perusviivan suuntainen viiva QY kolmioon PST piirretyn ympyrän keskipisteen O läpi. Tämä ympyrä on tangentti pisteissä W ja Z sijaitseville säteille. Jakson PQ pituus on , ja segmentin QR pituus , joka on yhtä suuri kuin piirretyn ympyrän säde. $\kolmio$ $hr$ $r$

Sitten OWX on samanlainen kuin PQX, OZY on samanlainen kuin PQY ja XY = XO + OY saamme $\kolmio$ $\kolmio$ $\kolmio$ $\kolmio$

(hr)(\mathrm {tg} \,\gamma _{n+1}-\mathrm {tg} \,\gamma _{n})=r(\sec \gamma _{n}+\ sek\gamma _{n+1}).

Tämä kulmajoukon suhde ilmaisee piirrettyjen ympyröiden yhtäläisyyden ehtoa. $\{\gamma _{m}\}$

Todistaaksemme lemman asetimme . Tämä lauseke voidaan muuntaa muotoon . $\mathrm {tg} \,\gamma _{n}=\mathrm {sh} \,(a+nb)$ $\sec \gamma _{n}=\mathrm {ch} \,(a+nb)$

Tasa-arvoa käyttämällä sovellamme lisäsääntöjä ja tarkistamme, että ympyrän tasa-arvon suhde täyttyy lausekkeella $a+(n+1)b=(a+nb)+b$ $\mathrm {sh} \,$ $\mathrm {ch} \,$

{\frac {r}{hr}}=\mathrm {th} \,{\tfrac {b}{2}}.

Olemme saaneet parametrille lausekkeen geometristen suureiden ja . Lisäksi määrittämällä saadaan lauseke sisäänkirjoitettujen ympyröiden säteille, jotka muodostetaan valitsemalla kukin N :s säde kolmion sivuiksi: $b$ $h$ $r$ $b$ $r_{N}$

{\frac {r_{N}}{h-r_{N}}}=\mathrm {th} \,{\tfrac {Nb}{2}}.

Katso myös

Kirjallisuus

Tabov J. Huomautus viiden ympyrän lauseesta // Mathematics Magazine. - 1989. - T. 63. - Nro 2. - S. 92-94.