Ortopoli

Kolmiosta ABC ja suorasta ℓ (oikeassa kuvassa tämä viiva ℓ vastaa suoraa A  ′ C  ′ ) koostuvan järjestelmän ortopoli annetussa tasossa on piste, joka määritellään seuraavasti. [1] . Olkoot A  ′, B  ′, C  ′ kolmion A , B , C kärjestä lähtevään linjaan ℓ vedettyjen kohtisuorien kantat . Olkoon A  ′′, B  ′′, C  ′′ määritellyn kolmion vastaaviin vastakkaisiin sivuihin A , B , C tai näiden sivujen jatkeisiin piirrettyjen kohtisuorien kantat . Sitten kolme suoraa A  "  A  ", B  "  B  ", C  "  C  " leikkaa yhdessä pisteessä - ortopolissa H . [2] Monien ominaisuuksiensa vuoksi [3] ortopoleista on tullut vakavan tutkimuksen kohde [4] . Joitakin keskeisiä käsitteitä tutkittiin - tietyn ortopolin [5] ja ortopoliympyrän omaavien viivojen määrittelyä. [6]

Ominaisuudet

Huomautus

Kaikkialla alla tekstissä ortopoli P vastaa ortopolia H kuvassa 1. oikealla ja ortopolin P suora viiva ℓ samassa kuvassa. vastaa suoraa A  ′ C  ′ .

Ortopole ja ortokeskus

• Jos se kulkee kolmion ortokeskiön Q läpi , piste, joka sijaitsee janan PQ jatkeessa, joka yhdistää ortopolin ortokeskiöön, toisella puolella etäisyydellä PQ , sijaitsee tämän kolmion Eulerin ympyrällä . [7]
• Kolmion ortokeskiö Q on sen sivujen ortopoli itse kolmion suhteen. [kahdeksan]

Orthopole radikaalina keskuksena

• Kolmion suoran ℓ ortopoli P on radikaalikeskipiste kolmelle ympyrälle, jotka sivuavat suoraa ℓ ja joiden keskipisteet ovat antikomplementaarisen kolmion kärjessä suhteessa annettuun kolmioon. [9]

Ortopoli ja rajattu ympyrä

• Jos ortopolin viiva ℓ kulkee kolmion rajatun ympyrän keskikohdan läpi , niin ortopoli itse sijaitsee tämän kolmion Eulerin ympyrällä . [3] [10]
• Viimeisestä ominaisuudesta seuraa, että tietylle kolmiolle pisteiden paikka - kaikkien kolmion rajatun ympyrän keskustan läpi kulkevien viivojen ℓ ortopolet P on tämän kolmion Eulerin ympyrä .
• Jos ortopolin suora ℓ leikkaa kolmion ympyrän kahdessa pisteessä P ja Q , niin ortopoli itse sijaitsee kahden viimeisen pisteen P ja Q kahden Simson -suoran leikkauskohdassa. [yksitoista]
• Tietylle kolmiolle pisteiden lokus - kaikkien suoran ℓ ortopolet P , jotka kulkevat kolmion rajatulla ympyrällä sijaitsevan kiinteän pisteen kautta , on suora (segmentti).

Orthopole ja Simsonin linja

• Jos ortopoli on Simsonin suoralla , niin sen suora ℓ on kohtisuorassa siihen nähden. [3]
• Jos ortopolin suora ℓ on pisteen P Simsonin suora , niin pistettä P kutsutaan Simsonin suoran ℓ napaksi [3]

Yhdensuuntaisten viivojen ortopoleja

• Jos ortopolin viiva ℓ liikkuu yhdensuuntaisesti itsensä kanssa, niin sen ortopoli liikkuu linjaa pitkin kohtisuorassa suhteessa ℓ etäisyyden verran, joka vastaa siirtymää. [3]
• Kahden yhdensuuntaisen suoran ortopolit sijaitsevat niiden yhteisellä kohtisuorassa kahteen suoraan nähden etäisyydellä, joka on yhtä suuri kuin suorien välinen etäisyys. [12]

Nelikulman kärkien kolmiosien ortopolit

Jos annetaan kiinteä suora ℓ ja mikä tahansa nelikulmion kolmesta kärjestä valitaan , niin kaikki annetun suoran ℓ ortopolit kaikkiin sellaisiin kolmioihin nähden ovat samalla suoralla. Tätä suoraa kutsutaan annetun suoran ℓ ortopolaariseksi suoraksi nelikulmion suhteen. [13]

Kartio (ellipsi), jonka muodostavat ortopolit

• Tiedetään (katso [14] [15] ), että kaikkien kiinteän pisteen läpi kulkevien suorien kaikkien ortopolien löytäminen annetulle kiinteälle kolmiolle tuottaa kartion, joka on aina ellipsitangentti 3 pisteessä tietyn kolmion Steinerin deltoidille . . Kartio degeneroituu linjaksi (jana), kun piste on kolmion rajatulla ympyrällä . Tämä kartiomainen yleistää kohdassa [16] käsitellyn ominaisuuden , jonka mukaan pisteessä, joka osuu kolmion rajatun ympyrän keskipisteeseen , kartiosta tulee Eulerin ympyrä [17] .
• huomautus . Tämän artikkelin kohdassa "Ortopoli ja rajattu ympyrä " yllä mainittu ominaisuus kuulostaa tältä:

Feuerbach osoittaa ortopoleina

Englanninkielisessä kirjallisuudessa 4 neljän ympyrän keskustaa: 1 piirretty ja 3 ulkoympyrää , joiden keskipisteet vastaavasti koskettavat kolmion kolmea eri sivua tai niiden jatketta, kutsutaan 4 kolmion kolmiokeskipisteeksi ( kolmitangenttikeskuksiksi ) [19] . Tämä huomautus on tärkeä seuraavan väitteen kannalta.

Kolmion Feuerbach-pisteet ovat tämän kolmion ortopoleja, jos vastaavien kolmen tangentin keskipisteiden läpi kulkevan rajatun ympyrän halkaisijat otetaan näiden ortopolien suoriksi ℓ [20] . Viimeinen väite on seurausta alla esitetystä väitteestä.

Feuerbachin piste tietylle piirretylle tai piirrelle (kolmen tangentin ympyrä - englanniksi "tritangentti ympyrä") on kahden Simson-viivan leikkauspiste , jotka on rakennettu piirretyn ympyrän halkaisijan päille, jotka kulkevat piirretyn ympyrän vastaavan keskipisteen kautta. tai ohittaa. Siten Feuerbachin pisteet voidaan muodostaa käyttämättä vastaavaa sisä- tai ulkoympyrää ja sille tangenttia Eulerin ympyrää [21] .

Yleistys

Ortopolin olemassaolo seuraa yleisemmästä lauseesta, niin sanotusta Steiner -lauseesta ortologisista kolmioista [22] .

Steinerin ortologinen kolmiolause sanoo (katso Steinerin ortologinen kolmiolause), että jos ΔABC on ortologinen ΔA'B'C ':n kanssa, niin se vastaa ΔA'B'C:n olevan ortologinen ΔABC :n kanssa . Ortopolin tapauksessa kolmion ABC kärkien projektiot suoralle viivalle ℓ — pisteitä A' , B' , C' — voidaan pitää rappeutuneen kolmion kärkinä, ja yhdensuuntaiset kohtisuorat leikkaavat äärettömän kaukainen piste.

• Ortologiset  kolmiot ovat kolmioita ABC ja A 1 B 1 C 1 , joissa pisteistä A, B ja C suorille B 1 C 1 , C 1 A 1 ja A 1 B 1 pudotetut kohtisuorat leikkaavat yhdessä pisteessä. Tässä tapauksessa pisteistä A 1 , B 1 ja C 1 suorille BC, CA ja AB pudotetut kohtisuorat leikkaavat myös yhdessä pisteessä.

Historia

Matemaatikko M. Soons löysi ortopolin vuonna 1886 artikkelissa s. 57 belgialaisessa matematiikan tieteellisessä lehdessä Mathesis (lehti), jonka perustivat vuonna 1881 Paul Mansion ( Paul Mansion ) ja Joseph Jean Baptiste Neuberg ( Joseph Jean Baptiste Neuberg ), ja termiä orthopole (orthopole) ehdotti mainittu Neuberg lehdessä "Mathesis" vuodelle 1911 s. 244 lähteiden mukaan [23] , [24]

Katso myös

Napa ja napa

Linkit

1. ↑ MathWorld: Orthopole . Haettu 20. kesäkuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 31. joulukuuta 2019. (määrätön)
2. ↑ Arkistoitu kopio . Haettu 20. kesäkuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 25. helmikuuta 2017. (määrätön)
3. ↑ 1 2 3 4 5 6 Orthopole (21. tammikuuta 2017). Haettu 20. kesäkuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 22. kesäkuuta 2020. (määrätön)
4. ↑ "Jotkin kiinteään kolmioon viitattujen yksiparametristen linjajärjestelmien ortopolepaikat" Tekijä(t): OJ Ramler The American Mathematical Monthly , Voi. 37, nro. 3 (maaliskuu 1930), ss. 130–136 Julkaisija: Mathematical Association of America Stable URL: https://www.jstor.org/stable/2299415 Arkistoitu 27. kesäkuuta 2020 Wayback Machinessa
5. ↑ "The Projective Theory of Orthopole", Sisar Mary Cordia Karl, The American Mathematical Monthly , Voi. 39, ei. 6 (kesäkuu-heinäkuu 1932), s. 327–338 Julkaisija: Mathematical Association of America Stable URL: https://www.jstor.org/stable/2300757 Arkistoitu 24. kesäkuuta 2020 Wayback Machinessa
6. ↑ Goormaghtigh, R. (1. joulukuuta 1946). "1936. Ortopoli" . Matemaattinen lehti . 30 (292): 293. doi : 10.2307/ 3610737 . JSTOR 3610737 . Arkistoitu alkuperäisestä 2017-02-25 . Haettu 2020-06-20 Cambridge Coren kautta .  Käytöstä poistettu parametri |deadlink=( ohje )
7. ↑ College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Ortopoli. §699. Lause. Kuva. 156. s. 290-291.
8. ↑ College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Ortopoli. §Harjoitukset. §yksi. s. 291.
9. ↑ College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Ortopoli. §Harjoitukset. §6. s. 291.
10. ↑ College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Orthopole, §694, kuva. 155, s. 288.
11. ↑ College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Orthopole, §697. Lause, kuva. 155, s. 289-290.
12. ↑ College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Orthopole, §693, kuva. 154, s. 287-288
13. ↑ Steve Phelps. The Orthopole// https://www.geogebra.org/m/CKKH9ZZA Arkistoitu 22. kesäkuuta 2020 Wayback Machinessa
14. ↑ Honsberger, R. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington D.C., matematiikka. Assoc. Ammer., 1995, s. 106-110.
15. ↑ Lalesco T. La Geometrie du Triangle. Paris, Jacques Gabay, 1987, s. 17.
16. ↑ Orthopole// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole.html Arkistoitu 5. elokuuta 2020 Wayback Machinessa
17. ↑ "5. Orthopole Generated Conic" In: Orthopole of a chord// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole2.html Arkistoitu 8. heinäkuuta 2020 Wayback Machinessa
18. ↑ College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Orthopole, §694. Kuva. 155, s. 288.
19. ↑ College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §b. Tritangenttikeskukset. P.73-78// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ# v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Arkistoitu 30. kesäkuuta 2020 Wayback Machinessa
20. ↑ College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §698. seuraus. P.290// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v= onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Arkistoitu 30. kesäkuuta 2020 Wayback Machinessa
21. ↑ College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §648. Huomautus. P.273// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v= onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Arkistoitu 30. kesäkuuta 2020 Wayback Machinessa
22. ↑ Myakishev A. Kävely ympyröissä: Eulerista Tayloriin // Matematiikka. Kaikki opettajalle! nro 6 (6). kesäkuuta. 2011. s. 6, Ortopolin määritelmä, kuva. 5// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf
23. ↑ Ion Pătrașcu. THE DUAL OF THE ORTHOPOLE THEOREM// https://rxiv.org/pdf/1404.0148v1.pdf Arkistoitu 28. heinäkuuta 2020 Wayback Machinessa
24. ↑ Nathan Altshiller-Court College Geometry. Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. toinen painos. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. s. 306, § 692, § 694

Kirjallisuus

• Atul Dixit, Darij Grinberg. Ortopolit ja Pappus-lause// http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200406.pdf
• College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Ortopoli. P.287-291.// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ #v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false
• Bogomolny, A. "Ortopoli". https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Orthopole.shtml .
• Goormaghtigh R. Joidenkin ortopolilauseiden analyyttinen käsittely// Amer. Matematiikka. Kuukausi 46. 1939, s. 265-269,
• Gallatly W. The Modern Geometry of the Triangle, 2nd ed. Lontoo: Hodgson, 1913. - Luku 6. Orthopole. s. 46-54.
• Honsberger , R. Jaksot yhdeksännentoista ja kahdennenkymmenennen vuosisadan euklidisessa geometriassa. Washington, DC: Matematiikka. Assoc. Amer., 1995. - Luku 11. Orthopole. s. 125-136. // https://b-ok.cc/book/447019/c8c303
• Johnson RA Modern Geometry: Alkuperäinen tutkielma kolmion ja ympyrän geometriasta. Boston, MA: Houghton Mifflin, s. 247, 1929.
• Ramler OJ Joidenkin yksiparametristen linjajärjestelmien ortopolipaikat, joihin viitataan kiinteään kolmioon// Amer. Matematiikka. Kuukausi 37, 1930, s. 130-136.
• Lalesco T. La Geometrie du Triangle. Paris: Jacques Gabay, 1987, s. 17.
• Orthopole// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole.html
• Sointujen ortopole// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole2.html
• Junko HIRAKAWA. Jotkut lauseet ortopolista. Tohoku Mathematical Journal, ensimmäinen sarja. 1933 Voi. 36. P. 253-256 // https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/36/0/36_0_253/_pdf/-char/en
• Myakishev A. Kävely ympyröissä: Eulerista Tayloriin // Matematiikka. Kaikki opettajalle! nro 6 (6). kesäkuuta. 2011. s. 6, Ortopolin määritelmä, kuva. 5// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf