Ortopoli

Kolmiosta ABC ja suorasta ℓ (oikeassa kuvassa tämä viiva ℓ vastaa suoraa A  ′ C  ′ ) koostuvan järjestelmän ortopoli annetussa tasossa on piste, joka määritellään seuraavasti. [1] . Olkoot A  ′, B  ′, C  ′ kolmion A , B , C kärjestä lähtevään linjaan ℓ vedettyjen kohtisuorien kantat . Olkoon A  ′′, B  ′′, C  ′′ määritellyn kolmion vastaaviin vastakkaisiin sivuihin A , B , C tai näiden sivujen jatkeisiin piirrettyjen kohtisuorien kantat . Sitten kolme suoraa A  "  A  ", B  "  B  ", C  "  C  " leikkaa yhdessä pisteessä - ortopolissa H . [2] Monien ominaisuuksiensa vuoksi [3] ortopoleista on tullut vakavan tutkimuksen kohde [4] . Joitakin keskeisiä käsitteitä tutkittiin - tietyn ortopolin [5] ja ortopoliympyrän omaavien viivojen määrittelyä. [6]

Ominaisuudet

Huomautus

Kaikkialla alla tekstissä ortopoli P vastaa ortopolia H kuvassa 1. oikealla ja ortopolin P suora viiva ℓ samassa kuvassa. vastaa suoraa A  ′ C  ′ .

Ortopole ja ortokeskus

Orthopole radikaalina keskuksena

Ortopoli ja rajattu ympyrä

Orthopole ja Simsonin linja

Yhdensuuntaisten viivojen ortopoleja

Nelikulman kärkien kolmiosien ortopolit

Jos annetaan kiinteä suora ℓ ja mikä tahansa nelikulmion kolmesta kärjestä valitaan , niin kaikki annetun suoran ℓ ortopolit kaikkiin sellaisiin kolmioihin nähden ovat samalla suoralla. Tätä suoraa kutsutaan annetun suoran ℓ ortopolaariseksi suoraksi nelikulmion suhteen. [13]

Kartio (ellipsi), jonka muodostavat ortopolit

Jos ortopolin viiva ℓ kulkee kolmion rajatun ympyrän keskipisteen läpi , niin ortopoli itse sijaitsee tämän kolmion Eulerin ympyrällä . [3] [18]

Feuerbach osoittaa ortopoleina

Englanninkielisessä kirjallisuudessa 4 neljän ympyrän keskustaa: 1 piirretty ja 3 ulkoympyrää , joiden keskipisteet vastaavasti koskettavat kolmion kolmea eri sivua tai niiden jatketta, kutsutaan 4 kolmion kolmiokeskipisteeksi ( kolmitangenttikeskuksiksi ) [19] . Tämä huomautus on tärkeä seuraavan väitteen kannalta.

Kolmion Feuerbach-pisteet ovat tämän kolmion ortopoleja, jos vastaavien kolmen tangentin keskipisteiden läpi kulkevan rajatun ympyrän halkaisijat otetaan näiden ortopolien suoriksi ℓ [20] . Viimeinen väite on seurausta alla esitetystä väitteestä.

Feuerbachin piste tietylle piirretylle tai piirrelle (kolmen tangentin ympyrä - englanniksi "tritangentti ympyrä") on kahden Simson-viivan leikkauspiste , jotka on rakennettu piirretyn ympyrän halkaisijan päille, jotka kulkevat piirretyn ympyrän vastaavan keskipisteen kautta. tai ohittaa. Siten Feuerbachin pisteet voidaan muodostaa käyttämättä vastaavaa sisä- tai ulkoympyrää ja sille tangenttia Eulerin ympyrää [21] .

Yleistys

Ortopolin olemassaolo seuraa yleisemmästä lauseesta, niin sanotusta Steiner -lauseesta ortologisista kolmioista [22] .

Steinerin ortologinen kolmiolause sanoo (katso Steinerin ortologinen kolmiolause), että jos ΔABC on ortologinen ΔA'B'C ':n kanssa, niin se vastaa ΔA'B'C:n olevan ortologinen ΔABC :n kanssa . Ortopolin tapauksessa kolmion ABC kärkien projektiot suoralle viivalle ℓ — pisteitä A' , B' , C' — voidaan pitää rappeutuneen kolmion kärkinä, ja yhdensuuntaiset kohtisuorat leikkaavat äärettömän kaukainen piste.

Historia

Matemaatikko M. Soons löysi ortopolin vuonna 1886 artikkelissa s. 57 belgialaisessa matematiikan tieteellisessä lehdessä Mathesis (lehti), jonka perustivat vuonna 1881 Paul Mansion ( Paul Mansion ) ja Joseph Jean Baptiste Neuberg ( Joseph Jean Baptiste Neuberg ), ja termiä orthopole (orthopole) ehdotti mainittu Neuberg lehdessä "Mathesis" vuodelle 1911 s. 244 lähteiden mukaan [23] , [24]

Katso myös

Napa ja napa

Linkit

  1. MathWorld: Orthopole . Haettu 20. kesäkuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 31. joulukuuta 2019.
  2. Arkistoitu kopio . Haettu 20. kesäkuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 25. helmikuuta 2017.
  3. 1 2 3 4 5 6 Orthopole (21. tammikuuta 2017). Haettu 20. kesäkuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 22. kesäkuuta 2020.
  4. "Jotkin kiinteään kolmioon viitattujen yksiparametristen linjajärjestelmien ortopolepaikat" Tekijä(t): OJ Ramler The American Mathematical Monthly , Voi. 37, nro. 3 (maaliskuu 1930), ss. 130–136 Julkaisija: Mathematical Association of America Stable URL: https://www.jstor.org/stable/2299415 Arkistoitu 27. kesäkuuta 2020 Wayback Machinessa
  5. "The Projective Theory of Orthopole", Sisar Mary Cordia Karl, The American Mathematical Monthly , Voi. 39, ei. 6 (kesäkuu-heinäkuu 1932), s. 327–338 Julkaisija: Mathematical Association of America Stable URL: https://www.jstor.org/stable/2300757 Arkistoitu 24. kesäkuuta 2020 Wayback Machinessa
  6. Goormaghtigh, R. (1. joulukuuta 1946). "1936. Ortopoli" . Matemaattinen lehti . 30 (292): 293. doi : 10.2307/ 3610737 . JSTOR 3610737 . Arkistoitu alkuperäisestä 2017-02-25 . Haettu 2020-06-20 Cambridge Coren kautta .  Käytöstä poistettu parametri |deadlink=( ohje )
  7. College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Ortopoli. §699. Lause. Kuva. 156. s. 290-291.
  8. College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Ortopoli. §Harjoitukset. §yksi. s. 291.
  9. College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Ortopoli. §Harjoitukset. §6. s. 291.
  10. College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Orthopole, §694, kuva. 155, s. 288.
  11. College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Orthopole, §697. Lause, kuva. 155, s. 289-290.
  12. College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Orthopole, §693, kuva. 154, s. 287-288
  13. Steve Phelps. The Orthopole// https://www.geogebra.org/m/CKKH9ZZA Arkistoitu 22. kesäkuuta 2020 Wayback Machinessa
  14. Honsberger, R. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington D.C., matematiikka. Assoc. Ammer., 1995, s. 106-110.
  15. Lalesco T. La Geometrie du Triangle. Paris, Jacques Gabay, 1987, s. 17.
  16. Orthopole// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole.html Arkistoitu 5. elokuuta 2020 Wayback Machinessa
  17. "5. Orthopole Generated Conic" In: Orthopole of a chord// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole2.html Arkistoitu 8. heinäkuuta 2020 Wayback Machinessa
  18. College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Orthopole, §694. Kuva. 155, s. 288.
  19. College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §b. Tritangenttikeskukset. P.73-78// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ# v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Arkistoitu 30. kesäkuuta 2020 Wayback Machinessa
  20. College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §698. seuraus. P.290// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v= onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Arkistoitu 30. kesäkuuta 2020 Wayback Machinessa
  21. College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §648. Huomautus. P.273// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v= onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Arkistoitu 30. kesäkuuta 2020 Wayback Machinessa
  22. Myakishev A. Kävely ympyröissä: Eulerista Tayloriin // Matematiikka. Kaikki opettajalle! nro 6 (6). kesäkuuta. 2011. s. 6, Ortopolin määritelmä, kuva. 5// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf
  23. Ion Pătrașcu. THE DUAL OF THE ORTHOPOLE THEOREM// https://rxiv.org/pdf/1404.0148v1.pdf Arkistoitu 28. heinäkuuta 2020 Wayback Machinessa
  24. Nathan Altshiller-Court College Geometry. Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. toinen painos. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. s. 306, § 692, § 694

Kirjallisuus