Kolmen ulomman puolittajan kolmio

Kolmio, jossa on kolme ulkopuolista puolittajaa ( excircles -keskipisteiden kolmio ) on kolmio , jonka muodostavat ulkoisten puolittajien leikkauspisteet keskenään alkuperäisen kolmion ulkoisten puolittajien keskipisteissä [1] . (katso kuva.) ${\displaystyle \Delta J_{A}J_{B}J_{C))$

Ominaisuudet

Ympyrän keskipiste, joka kulkee excircle-pisteiden läpi, on Bevan-piste . ${\displaystyle J_{A},J_{B},J_{C))$
Alkuperäinen kolmio on ulkopuolisten puolittajien kolmion ortokolmio . $\Delta ABC$
Alkuperäisen kolmion rajattu ympyrä on ulkopuolisten puolittajien kolmion Eulerin ympyrä .
Alkuperäisen ei-tasakylkisen (yleensä) kolmion rajattu ympyrä leikkaa ulkopuolisten puolittajien kolmion sivut kuudessa eri pisteessä. Näistä kolme on alkuperäisen kolmion kärkipisteitä, ja muut kolme puolittavat kolmion ulompien puolittajien sivut (katso Eulerin ympyrän ominaisuudet ).
Kolmen ulomman puolittajan kolmion symmediaanien leikkauspiste on alkuperäisen vertailukolmion Mandaran ellipsin keskipiste.

Kolmen ulkopuolisen puolittajan kaikki kolme kantaa D , E ja F ortokolmion ulkokulmien AD , CE ja BF kolmiossa, jossa on kolme ulkopuolista puolittajaa , sijaitsevat yhdellä suoralla, jota kutsutaan ulkopuolisten puolittajien akseliksi . ortokolmion antiorttinen akseli DEF (antiorthic axis) ( katso kuva). Tämä akseli on myös sisäympyrän keskipisteen kolmiviivainen napa ( incenter ). $ABC$ ${\displaystyle J_{1},J_{2},J_{3))$ $ABC$

Liittyvien kolmioiden samankaltaisuusominaisuudet

Alkuperäinen kolmio suhteessa ortokolmioon on kolmen ulomman puolittajan kolmio [1] . $\Delta ABC$
Kolmen ulkopuolisen puolittajan kolmion ortokolmio sekä ortokolmion kolmen ulkopuolisen puolittajan kolmio ovat yhtenevät keskenään ja ovat yhtäpitäviä alkuperäisen kolmion kanssa .
Ortokolmio ja tangentiaalinen kolmio ovat samanlaisia [2] .
Ortokolmion ortokolmio ja alkuperäinen kolmio ovat samanlaisia.
Kolmen ulomman puolittajan kolmion kolmen ulomman puolittajan kolmio ja alkuperäinen kolmio ovat samanlaisia.
Gergonnen kolmion ortokolmio ja alkuperäinen kolmio ovat samanlaisia.
Yllä olevat toisiinsa liittyvien kolmioiden samankaltaisuuden ominaisuudet ovat seurausta alla lueteltujen toisiinsa liittyvien kolmioiden sivujen yhdensuuntaisuuden (anti-rinnakkaisisuuden) ominaisuuksista .

Yhteen liittyvien kolmioiden sivujen yhdensuuntaisuuden (anti-rinnakkaisisuuden) ominaisuudet

Tietyn teräväkulmaisen kolmion sivut ovat vastasuuntaisia sen suorakulmaisen kolmion vastaaviin sivuihin nähden, joita vastaan ne ovat.
Tangentiaalisen kolmion sivut ovat vastakkaisia tietyn kolmion vastaavien vastakkaisten sivujen kanssa (ympyrän tangenttien antiparallelismin ominaisuudella).
Tangentiaalisen kolmion sivut ovat yhdensuuntaiset ortokolmion vastaavien sivujen kanssa .
Yhdistetään annettuun kolmioon piirretyn ympyrän kosketuspisteet janoilla , niin saadaan Gergonnen kolmio , ja korkeudet piirretään tuloksena olevaan kolmioon. Tässä tapauksessa näiden korkeuksien pohjat yhdistävät viivat ovat yhdensuuntaiset alkuperäisen kolmion sivujen kanssa. Tästä syystä Gergonnen kolmion ortokolmio ja alkuperäinen kolmio ovat samanlaisia.

Muistiinpanot

↑ 1 2 Starikov V. N. Geometrian tutkimus // Globus -tieteellisen aikakauslehden julkaisukokoelma V. kansainvälisen tieteellis-käytännön konferenssin "Modernin tieteen saavutukset ja ongelmat", Pietari: artikkelikokoelma (standardi) taso, akateeminen taso). Pietari: Tieteellinen aikakauslehti Globus , 2016, s. 99-100
↑ Zetel S. I. Kolmion uusi geometria. Opas opettajille. 2. painos. Moskova: Uchpedgiz, 1962. Seuraus 1, § 66, s. 81