Johnsonin piireissä

Johnsonin ympyräjoukko koostuu kolmesta samansäteisestä r ympyrästä, joilla on yksi yhteinen leikkauspiste H . Tässä kokoonpanossa ympyröillä on yleensä neljä leikkauspistettä (pisteitä, joiden läpi kulkee vähintään kaksi ympyrää) - tämä on yhteinen leikkauspiste H , jonka läpi kaikki kolme ympyrää kulkevat, ja lisäpiste jokaiselle ympyräparille (puhumme) niistä pareittain leikkauspisteinä). Jos mitkään kaksi ympyrää eivät leikkaa (vaan vain kosketa), niillä on vain yksi yhteinen piste - H , jolloin katsotaan, että H on myös niiden pareittainen leikkauspiste. Jos ympyrät ovat samat, pisteen H vastakkainen piste otetaan pareittain leikkauspisteeksi . Kolme Johnson-ympyröiden parikohtaista leikkauspistettä muodostavat kuvion tukikolmion Δ ABC . Kokoonpano on nimetty Roger Arthur Johnsonin mukaan [1] [2] .

Huomautus

Jos alkuperäinen tukikolmio ABC on teräväkulmainen ja ennalta määrätty, niin sen kolme samansäteistä Johnson-ympyrää ovat Hamiltonin lauseen mukaan yksinkertaisesti kolme kolmen Hamiltonin kolmion rajattua ympyrää, joissa on kaksi kulmikkaasta tukikolmiota ABC kahtena kärjenä. ja tukikolmion ortosentti H kolmantena kärkikolmiona .

Ominaisuudet

Johnsonin ympyröiden keskipisteet sijaitsevat ympyrällä, jonka säde on sama kuin Johnsonin ympyrän, ja tämän ympyrän keskipiste on piste H. Ympyröiden keskipisteet itse muodostavat Johnsonin kolmion ΔJ A J B J C .
Ympyrä, jonka säde on 2 R ja jonka keskipiste on pisteessä H , joka tunnetaan antikomplementaarisena ympyränä, on tangentti kaikille kolmelle Johnsonin ympyrälle ( R on kolmion ABC rajatun ympyrän säde ). Kolme tangenttipistettä ovat pisteen H heijastuksia Johnsonin kolmion kärkien suhteen .
Johnson-ympyröiden ja antikomplementaarisen ympyrän tangenttipisteet muodostavat kolmion, jota kutsutaan vertailukolmion ABC " antikomplementaariseksi kolmioksi " tai " antikomplementaariseksi kolmioksi " . Tämä kolmio on samanlainen ja homoteettinen kuin Johnsonin kolmio , jonka tekijä 2 ja samankaltaisuuskeskus H .
Johnsonin lause : Johnsonin ympyröiden pareittain leikkauspisteet (kolmion ABC kärjet ) sijaitsevat ympyrällä, jonka säde on sama kuin Johnsonin ympyrät. Tämä ominaisuus tunnetaan Romaniassa Gheorghe Ciceican viiden kolikon ongelmana .
Tukikolmio on yhtä suuri kuin Johnsonin kolmio ja on sille homoteettinen kertoimella −1. Toisin sanoen Johnsonin kolmio menee vertailukolmioon kääntämällä yhtä niistä 180 asteen kulmassa suhteessa niiden samankaltaisuuskeskukseen.
Piste H on vertailukolmion ortokeskiö ja Johnsonin kolmion ympäryskeskipiste .
Johnsonin kolmion ja vertailukolmion samankaltaisuuskeskus on niiden yhdeksän pisteen yhteinen keskus . Toisin sanoen Johnsonin kolmiolla ja vertailukolmiolla on yhteinen yhdeksän pisteen ympyrä .
Kommentti. Johnsonin kolmion kärjet on merkitty J A , J B ja J C , eli samat kuin vertailukolmion excircles keskipisteet. Ne eivät ole. Trident-lauseen perusteella sivun excircle-tangentin keskipisteessä on , jossa vertailukolmion piirretyn ympyrän keskipiste on kulman puolittajan leikkauspiste kolmion rajatun ympyrän kanssa. . Meillä on samanlainen suhde . Piste ei kuitenkaan ole kolmion rajatulla ympyrällä (eli se ei ole pisteen analogi ), eikä ortosentti ole vertailukolmion piirretyn ympyrän keskipiste. $J_{B}$ $AC$ $|DI|=|DA|=|DC|=|DJ_{B}|$ $minä$ $D$ $A$ $ABC$ $|J_{A}H|=|J_{A}C|=|J_{A}B|=|J_{A}P_{A}|$ $J_{A}$ $ABC$ $D$ $H$ $minä$

Huomautus

H on kolmion ABC ortosentti (silloin Hamiltonin lauseen mukaan Johnsonin ympyröiden säteet ovat yhtä suuret). O on kolmion ABC rajatun ympyrän keskipiste . Kuten Hamiltonin lause, Johnsonin lause on järkevä vain terävien kolmioiden kohdalla. Pisteet J A , J B ja J C on merkitty nimen Johnson ensimmäisellä kirjaimella , eivätkä ne ole kolmion ABC excircles keskipisteitä , jotka on merkitty samanlaisilla kirjaimilla.

Todisteet

Ominaisuus 1 on ilmeinen määritelmästä.

Ominaisuus 2 on myös selvä - missä tahansa ympyrässä, jonka säde on r ja missä tahansa sen pisteessä P , ympyrä, jonka säde on 2 r ja jonka keskipiste on P , koskettaa ympyrää pisteen P vastakkaisessa pisteessä . Erityisesti tämä pätee myös P = H :lle, jossa säde 2 r on antikomplementaarinen ympyrä C .

Ominaisuus 3 seuraa välittömästi samankaltaisuuden määritelmästä.

Ominaisuuksille 4 ja 5 huomioi ensin, että mitkä tahansa kaksi kolmesta Johnson-ympyrästä ovat symmetrisiä pisteen H ja näiden ympyröiden parittaisen leikkauspisteen kautta kulkevan suoran suhteen (tai H :n yhteisen tangentin suhteen , jos nämä pisteet ovat samat) ja tämä symmetria vaihtaa näillä ympyröillä olevien antikomplementaaristen kolmioiden kaksi kärkeä. Siten pareittainen leikkauspisteet ovat antikomplementaarisen kolmion keskipisteitä, ja H on kohtisuorassa tämän sivun keskipisteeseen nähden. Minkä tahansa kolmion sivujen keskipisteet ovat kolmion kärkipisteiden kuvat, jotka ovat homoteettisia kertoimen −1 kanssa, ja keskipiste osuu yhteen kolmion painopisteen kanssa. Soveltamalla tätä ominaisuutta antikomplementaariseen kolmioon, joka itse saadaan Johnsonin kolmiosta homoteetilla kertoimella 2, homoteettien koostumuksesta saadaan, että tukikolmio on samanlainen kuin Johnsonin kolmio kertoimella − 1. Koska tällainen homoteettisuus on kongruenssi , tämä antaa ominaisuuden 5 ja myös todistaa Johnsonin lauseen, koska yhteneväisillä kolmioilla on samat rajatut säteet .

Ominaisuus 6. On jo todettu, että antikomplementaarisen kolmion sivujen keskipisteiden kohtisuorat kulkevat pisteen H kautta . Koska nämä sivut ovat yhdensuuntaisia vertailukolmion sivujen kanssa, nämä kohtisuorat ovat myös vertailukolmion korkeuksia .

Ominaisuus 7 seuraa välittömästi ominaisuudesta 6, koska samankaltaisuuskeskuksen tekijän -1 kanssa on oltava vertailukolmion rajatun ympyrän O keskipisteen ja pisteen H välillä . Piste H on tukikolmion ortosentti, ja sen yhdeksän pisteen keskipisteen tiedetään olevan tämä keskipiste. Ottaen huomioon keskussymmetrian , joka kuvaa vertailukolmion ortosenttiä Johnsonin kolmion ortosentteriin, samankaltaisuuskeskus on myös Johnsonin kolmion yhdeksän pisteen keskipiste.

Johnsonin ympyrälauseesta on myös algebrallinen todiste yksinkertaisia vektorikaavoja käyttäen. On vektoreita , Ja Kaikki pituudet r , Ja Johnsonin ympyrät ovat keskuksia , ja vastaavasti. Silloin pareittainen leikkauspisteet ovat , ja vastaavasti, ja on selvää, että pisteellä on etäisyys r mihin tahansa parittaiseen leikkauspisteeseen. ${\vec {u}}$ $\vec{v}$ $\vec{w}$ $H+{\vec {u))$ $H+{\vec {v))$ $H+{\vec {w))$ $H+{\vec {u}}+{\vec {v}}$ $H+{\vec {u}}+{\vec {w}}$ $H+{\vec {v}}+{\vec {w}}$ $H+{\vec {u}}+{\vec {v}}+{\vec {w}}$

Muita ominaisuuksia

Johnsonin kolmea ympyrää voidaan pitää vertailukolmion ympärille piirretyn ympyrän heijastumina sen kolmen sivun suhteen. Lisäksi heijastuessaan ortosentti H menee kolmeen pisteeseen tukikolmion ympärille piirretyllä ympyrällä muodostaen ortoympyrän kolmion kärjet, ympyrän O keskipiste kartoitetaan Johnsonin kolmion kärkeen ja sen Euler-viiva ( O , N ja H ) läpi kulkeva suora muodostaa kolme suoraa, jotka leikkaavat pisteessä X (110).

Johnsonin kolmiolla ja sen vertailukolmiolla on samat yhdeksän pisteen keskipisteet, sama Euler-viiva ja samat yhdeksän pisteen ympyrät . Kuusi pistettä - vertailukolmion ja sen Johnson-kolmion kärjet - sijaitsevat Johnsonin ellipsillä , jonka keskipiste on yhdeksän pisteen keskellä ja vertailukolmion piste X (216) on sen perspektiivipiste . Piirretyllä ellipsillä ja rajatulla ympyrällä on neljä yhteistä pistettä - kolme vertailukolmion kärkeä ja piste X (110).

Ja lopuksi, kirjallisuudessa on kuvattu kaksi mielenkiintoista kuutiokäyrää, jotka kulkevat tukikolmion ja sen Johnson-kolmion kärkien sekä rajatun ympyrän keskipisteen, ortosenterin ja yhdeksän ympyrän keskipisteen läpi. Ensimmäinen käyrä tunnetaan Musselmannin käyränä - K 026. Tämä käyrä kulkee myös Johnsonin kolmion mediaanikolmion ja mediaanikolmion kärkien läpi. Toinen käyrä tunnetaan Eulerin keskuskäyränä - K 044. Tämä käyrä kulkee myös kuuden pisteen läpi - Johnsonin kolmion korkeuksien ja korkeuksien kantat.

Pistemerkintä X ( i ) kuuluu Clark Kimberlingin luokitukseen Encyclopedia of Triangle Points -kirjassa .

Muistiinpanot

↑ Johnson, 1929 .
↑ Johnson, 1916 , s. 161-162.

Kirjallisuus

Roger Arthur Johnson. Moderni geometria: Alkuperäinen tutkielma kolmion ja ympyrän geometriasta. - Houghton: Mifflin Company, 1929.
Roger Arthur Johnson. Ympyrälause // American Mathematical Monthly . - 1916. - Numero. 23 .

Linkit

Weisstein, Eric W. Johnson Theorem (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
FM Jackson ja Weisstein, Eric W. Johnson Circles (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
F. M. Jackson ja Weisstein, Eric W. Johnson Triangle (englanniksi) Wolfram MathWorldissä .
Weisstein, Eric W. Johnson Circumconic (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. Anticomplementary Triangle (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. Circum-Orthic Triangle (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Bernard Gibert Circumcubic K026 Arkistoitu 19. maaliskuuta 2007 Wayback Machinessa
Bernard Gibert Circumcubic K044
Clark Kimberling, " Encyclopedia of triangle centers Arkistoitu 19. huhtikuuta 2012 Wayback Machinessa ". (Luettelo noin 3000 mielenkiintoista pistettä, jotka liittyvät mihin tahansa kolmioon.)