Eulerin kolmiolause

Eulerin kaava - planimetrian lause , liittyy piirrettyjen ja rajattujen ympyröiden keskipisteiden ja niiden säteiden väliseen etäisyyteen .

Lause on nimetty Leonhard Eulerin mukaan .

Sanamuoto

Kolmion piirrettyjen ja rajattujen ympyröiden keskipisteiden välinen etäisyys voidaan määrittää kaavalla $d$

d^{2}=R^{2}-2Rr.

missä on rajatun ympyrän säde, on piirretyn ympyrän säde. $R$ $r$

Muistiinpanot

Yllä oleva kaava voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti ${\frac {1}{Rd}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}}$ .

tai

(Rr)^{2}=d^{2}+r^{2},

Lause sisältää ns. Eulerin epäyhtälön $R\geq 2r$ .
- Tästä epätasa-arvosta on olemassa vahvempi muoto [1] :p. 198 , nimittäin: ${\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a }{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a} {b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2,$

missä ovat kolmion sivut.

a,b,c

Pallomaisessa kolmiossa rajatun ympyrän säteen suhde piirretyn ympyrän säteeseen voi olla pienempi kuin 2. Lisäksi millä tahansa luvulla välillä 1 ja 2 on säännöllinen pallomainen kolmio, jonka säteen suhde on ympyrä ympyrän säteeseen, joka on yhtä suuri kuin tämä luku.

Todiste

Antaa olla keskipisteen circumcircle, kolmion Ja olla keskellä piirretty ympyrä. Jos säde leikkaa rajatun ympyrän pisteessä , se on kaaren keskipiste . Piirretään säde ja merkitään sen leikkauspiste rajatun ympyrän kanssa muodossa . Sitten on rajatun ympyrän halkaisija. Kohdasta pudotamme kohtisuoran kohtaan Sitten kirjoitamme Eulerin kaavan hieman eri muodossa $O$ $\Delta ABC$ $minä$ $AI$ $L$ $L$ $eKr$ $LO$ $M$ $LM$ $minä$ $ID$ $AB.$ $ID=r.$

R^{2}-d^{2}=2Rr.

Näet, että vasemmalla on pisteen aste suhteessa rajattuun ympyrään (tarkemmin sanottuna miinus pisteen aste). Eli riittää todistamaan tasa-arvo . Kolmihampaisella lemmalla se riittää todistamaan sen . Nyt huomioidaan , että , eli vaadittu yhtäläisyys voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon Kirjoitetaan vielä hieman uudelleen: . Tämä tasa-arvo johtuu samankaltaisuudesta kolmioita ja . Todellakin, kulmat ja näiden kolmioiden ovat suorat, ja kulmat ja ovat yhtä suuria, koska molemmat luottavat kaareen (lisäksi suhde on yhtä suuri kuin kulman sini ). $minä$ $LI\cdot IA=2Rr$ $LI=LB,$ $LB\cdot IA=2Rr$ $2R=LM$ $r=ID,$ $LB\cdot IA=LM\cdot ID.$ $LB/LM=ID/IA$ $\triangle AID$ ${\näyttötyyli \kolmio MLB}$ $B$ $D$ $A$ $M$ $BL$ $LB/LM=ID/IA$ $\angle BAL$

Historia

Tämä lause on nimetty Leonhard Eulerin mukaan, joka julkaisi sen vuonna 1765. William Chapple oli kuitenkin julkaissut saman tuloksen aiemmin vuonna 1746. [2]

Muunnelmia ja yleistyksiä

Ulokkeen keskipisteelle

Excirclesille yhtälö näyttää tältä:

(R+r_{out})^{2}=d_{out}^{2}+r_{out}^{2},

missä on yhden ulkopiirin säde ja etäisyys rajatun ympyrän keskipisteestä tämän ulkokehän keskipisteeseen [3] [4] [5] . $r_{out}$ $d_{out}$

Monikulmioille

Tietyn sisäänpiirretyn nelikulmion (katso kuva) säteiden ja vastaavasti rajattujen ja piirrettyjen ympyröiden sekä näiden ympyröiden keskipisteiden välisen etäisyyden suhteen suhde täyttyy: $R$ $r$ ${\näyttötyyli d=x}$ ${\frac {1}{(R+d)^{2}}}+{\frac {1}{(Rd)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}$ ,

tai vastaavasti,

{\displaystyle d^{2}=R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))))

Tätä suhdetta kutsutaan Fussin lauseeksi . Sen hankki Nikolai Ivanovich Fuss [6] vuonna 1792.

Cayleyn Poncelet -ketjulause yleistää Eulerin lauseen sisäänkirjoitetuille-rajoitetuille -goneille [7] . $n$

Katso myös

Possuliporismi

Muistiinpanot

↑ Svrtan, Dragutin & Veljan, Darko (2012), Joidenkin klassisten kolmio-epäyhtälöiden ei-euklidiset versiot , Forum Geometricorum osa 12: 197–209 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume1212/17 Archved . kopio , joka on päivätty 28. lokakuuta 2019 Wayback Machinessa .
↑ Chapple, William (1746), Essee kahteen annettuun ympyrään piirrettyjen kolmioiden ominaisuuksista , Miscellanea Curiosa Mathematica vol. 4: 117–124 , < https://archive.org/details/miscellaneacuri01unkngoog/page/ n142 > . Etäisyyden kaava on lähellä sivun 123 alaosaa.
↑ Roger Nelson. Eulerin kolmion epäyhtälö todistamalla ilman sanoja // Mathematics Magazine. - Helmikuu 2008. - Numero. 81(1) . - S. 58-61 .
↑ R.A. Johnson. moderni geometria. - Boston: Houghton Mifflin, 1929. - S. 187.
↑ Lev Emelyanov, Tatiana Emelyanova. Eulerin kaava ja Ponceletin porismi // Forum Geometricorum. - 2001. - Ongelma. 1 . — S. 137–140. .
↑ Nicolas Fuss// https://en.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Fuss Arkistoitu 17. helmikuuta 2020 Wayback Machinessa
↑ Avksentiev, E. A. Invarianttimitat ja Poncelet-tyyppiset sulkemislauseet Arkistoitu 14. elokuuta 2016 Wayback Machinessa

Linkit

Weisstein, Eric W. Euler Triangle Formula (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .