Pidon epätasa-arvo

Pidot-epäyhtälö (myös Pidot-Neuberg- epäyhtälö) on geometrian epäyhtälö, joka on nimetty Daniel Pidot (1910-1998) ja Joseph Neubergin (1840-1926) mukaan. Epäyhtälössä todetaan, että jos , , ja , , ovat kolmioiden sivujen pituudet ja , A ja ovat niiden alueet, niin $a$ $b$ $c$ $a'$ $b'$ $c'$ $ABC$ $A'B'C'$ $S$ $S'$

a^{2}(-{a'}^{2}+{b'}^{2}+{c'}^{2})+b^{2}({a'}^{ 2}-{b'}^{2}+{c'}^{2})+c^{2}({a'}^{2}+{b'}^{2}-{c'} ^{2})\geq 16SS',

ja tasa-arvo saavutetaan , jos ja vain jos nämä kolmiot ovat samankaltaisia parien vastaavien sivujen kanssa , Ja . ${\näyttötyyli (a,a')}$ ${\näyttötyyli (b,b')}$ ${\näyttötyyli (c,c')}$

Vasemmalla oleva lauseke ei ole vain symmetrinen parien , ja permutaatioille, vaan myös (mikä ei ehkä ole niin ilmeistä) pysyy muuttumattomana, jos ja , ja , ja vaihdetaan keskenään . Toisin sanoen vasemmalla oleva lauseke on kolmioparin symmetrinen funktio . ${\näyttötyyli (a,a')}$ ${\näyttötyyli (b,b')}$ ${\näyttötyyli (c,c')}$ $a$ $a'$ $b$ $b'$ $c$ $c'$

Erikoistapaus Pidon epäyhtälöstä, jossa yksi kolmioista on tasasivuinen , on Weizenbockin epäyhtälö .

Pido havaitsi tämän epätasa-arvon vuonna 1941 ja julkaisi sen useissa julkaisuissa. Myöhemmin hän sai tietää, että Neuberg tiesi eriarvoisuuden jo 1800-luvulla, mutta hän ei kuitenkaan osoittanut, että tasa-arvo merkitsee kahden kolmion samankaltaisuutta.

Kirjallisuus

Daniel Pedoe: Epätasa-arvo, joka yhdistää kaksi kolmiota . The Mathematical Gazette, Voi. 25, ei. 267 (joulukuu 1941), ss. 310-311 ( JSTOR arkistoitu 18. elokuuta 2016 Wayback Machinessa )
Daniel Pedoe: Kahden kolmion epätasa-arvo . The American Mathematical Monthly , osa 70, numero 9, sivu 1012, marraskuu 1963.
Daniel Pedoe: Epäyhtälö kahdelle kolmiolle . Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, osa 38, osa 4, sivu 397, 1943.
Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Kun vähemmän on enemmän: Perusepätasa -arvojen visualisointi . MAA, 2009, 978-0-88385-342-9, s. 108 Arkistoitu 18. elokuuta 2016 Wayback Machinessa
DS Mitrinović, Josip Pečarić: Tietoja Neuberg-Pedoesta ja Oppenheimin epätasa-arvosta . Journal of Mathematical Analysis and Applications 129(1):196-210 tammikuu 1988 ( verkkokopio Arkistoitu 7. elokuuta 2016 Wayback Machinessa )