Pompein lause on planimetrian lause, jonka romanialainen matemaatikko Dimitrie Pompei löysi ja julkaisi hänen vuonna 1936 [1] . Lause tunnetaan kahdessa muodossa: erityinen ja yleisempi.
Olkoon ympyrään piirretty tasasivuinen kolmio . Sitten minkä tahansa tämän ympyrän pisteen etäisyys siitä kolmion yhteen kärkeen on yhtä suuri kuin kahden muun kärjen välisten etäisyyksien summa. Erityisesti kuviolle oikealla meillä on: . Symmetrisessä muodossa tämä formulaatio voidaan kirjoittaa seuraavasti: tai .
Esimerkkejä vastaavista suhteistaSamanlaisia suhteita löytyy seuraavista osioista:
Yleinen sanamuotoOlkoon ympyrään piirretty tasasivuinen kolmio . Sitten seuraavat epäyhtälöt pätevät mihin tahansa pisteeseen:
Lisäksi nämä epätasa-arvot muuttuvat yhtäläisiksi silloin ja vain, jos piste sijaitsee kaarilla , ja vastaavasti rajatulla ympyrällä.
Toisin sanoen segmenteistä , voit tehdä kolmion , mutta jos piste on rajatulla ympyrällä, se on rappeutunut.
Harkitse kiertoa pisteen ympärillä . Tällä kierrolla piste siirtyy kohtaan , ja - kohtaan .
Huomaa, että kolmio on tasasivuinen, joten . Koska kierto on isometria , niin .
Siten segmenttien pituudet , , ovat yhtä suuret kuin pisteiden väliset pareittain etäisyydet , , eli kaikki kolme epäyhtälöä seuraa yleistetystä kolmioepäyhtälöstä . Yksi epäyhtälöistä tulee tasa-arvoksi silloin ja vain, jos pisteet , ja sijaitsevat samalla suoralla.
Huomaa, että kiertoominaisuuksien vuoksi . Nyt siinä tapauksessa, että välissä ja meillä on ja , Eli sijaitsee kaarella . Vastaavasti kahdessa muussa tapauksessa toinen ilmoitetuista kulmista on , ja toinen , ja saamme kaksi muuta kaaria.
Kuten lause sanoo, mille tahansa pisteelle segmenteistä , on mahdollista rakentaa kolmio (pistettä , vastaava Pompeyn kolmio ) . Jos sijaitsee alueen kolmion sisällä ja kolmioiden alueet ovat yhtä suuria kuin , , , niin Pompeyn kolmion pinta-ala on [2] .
Anna ympyrän koskettaa tasasivuisen kolmion rajattua ympyrää mielivaltaisessa pisteessä . Piirretään tangentit , , tähän ympyrään kolmion kärjestä. Sitten .
Todistus perustuu Pompeiuksen lauseen sekä tangentin ja sekanttilauseen soveltamiseen . On selvää, että jos teemme ympyrän säteen nollaksi, saamme klassisen Pompeuksen lauseen. Tämä Pompeyn lauseen yleistys on yksinkertainen seuraus Caseyn lauseesta ( yleistetty Ptolemaioksen lause ), kun sisäänkirjoitetun nelikulmion neljästä tangenttiympyrästä kolmen säteet muuttuvat pisteiksi ja neljäs ympyrä esiintyy tässä Pompeyn lauseen yleistyksessä . Tässä tapauksessa sisäänkirjoitettu nelikulmio rappeutuu tasasivuiseksi kolmioksi, jossa on yksi ylimääräinen kärki. Voidaan ottaa toinenkin piirretyn nelikulmion tapaus, kun sen kaksi sivua ja diagonaali on yhtä suuri, muodostaen tasasivuisen kolmion ABC ja sen kolme kärkeä, neljäs kärki M on ympyrällä (katso viimeinen kuva).