Painotoiminto

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 1. lokakuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Painofunktio on matemaattinen rakennelma, jota käytetään summattaessa, integroitaessa tai laskettaessa keskiarvoa antamaan joillekin elementeille enemmän painoa tuloksena olevassa arvossa kuin muille elementeille. Ongelma ilmenee usein tilastoissa ja laskennassa , jotka liittyvät läheisesti mittateoriaan . Painofunktioita voidaan käyttää sekä diskreeteille että jatkuville arvoille.

Diskreetit painofunktiot

Yleiset määritelmät

Diskreetti painofunktio on positiivinen funktio, joka on määritelty diskreetille arvojoukolle , joka on yleensä äärellinen tai laskettava . Painofunktio vastaa painottamatonta tilannetta, jolloin joukon kaikilla elementeillä on sama paino. Jos funktio on määritelty todellisten lukujen alueella , painottamaton summa on määritelty seuraavasti ${\displaystyle w:A\to {\mathbb {R} }^{+))$ $A$ $w(a):=1$ $f:A\to {\mathbb {R} }$ $f$ $A$

\sum _{a\in A}f(a)

;

toisin kuin painotettu summa , määriteltynä ${\displaystyle w:A\to {\mathbb {R} }^{+))$

\sum _{a\in A}f(a)w(a)

Painotettujen summien yleisimpiä sovelluksia ovat numeerinen integrointi ja digitaalinen suodatus .

Jos B on joukon A äärellinen osajoukko, niin joukon klassinen kardinaalisuus |B| voidaan korvata painotetulla teholla

\sum _{a\in B}w(a).

Jos A on äärellinen ei- tyhjä joukko , voimme ottaa käyttöön aritmeettisen keskiarvon analogin

{\frac {1}{|A|}}\sum _{a\in A}f(a)

painotetun aritmeettisen keskiarvon muodossa

{\frac {\sum _{a\in A}f(a)w(a)}{\sum _{a\in A}w(a))).

Monikriteerien optimointiongelmissa painotettua summausta käytetään myös siirtymään tiettyjen laatukriteerien arvojoukosta yhteen kiinteään kriteeriin (esimerkiksi kustannuksiin). Joskus [1] , jos osittaisten laatuindikaattoreiden arvoalueet eroavat merkittävästi (useita suuruusluokkia), ennen integraalikriteerin numeerisen arvon löytämistä osittaiset laatuindikaattorit normalisoidaan ( kunkin ne vähennetään väliin ): , ja integraalikriteeri lasketaan muodossa , jolla saavutetaan sama tiettyjen kriteerien vaikutus tulokseen vertailukelpoisilla painokertoimien arvoilla . $J$ $x_{i}$ $[\min {x_{i}},\max {x_{i}}]$ $[0, 1]$ $x_{i}'={\frac {x_{i}-\min {x_{i}}}{\max {x_{i}}-\min {x_{i}}}}$ $J=\sum _{i=1}^{n}{x_{i}'w_{i}}$ $w_{1},\ldots ,w_{n}$

Tilastot

Painotettua keskiarvoa käytetään usein tilastoissa kompensoimaan harhaa ( eng. Bias ). Todelliselle arvolle , joka on mitattu useita kertoja itsenäisesti varianssien kanssa , paras approksimaatio saadaan laskemalla keskiarvo kaikista mittauksista painoilla : tuloksena oleva varianssi on pienempi kuin jokainen riippumaton mittaus . Maksimi samankaltaisuus - menetelmässä erot painotetaan samanlaisilla arvoilla . $f$ $f_{i}$ ${\displaystyle \sigma _{i}^{2))$ ${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{\sigma _{i}^{2))))$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=1/\sum w_{i))$ $w_{i}$

Mekaniikka

Termi painotettu funktio on peräisin mekaniikasta : jos vivun kohdissa on esineitä, joilla on paino (tässä tapauksessa termillä paino on fyysinen merkitys) , vipu on tasapainossa, jos tukipiste sijaitsee massan keskipisteessä . $n$ $w_{1},\ldots ,w_{n}$ ${\boldsymbol {x}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {x}}_{n}$

{\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\boldsymbol {x}}_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{ minä}}}

joka voidaan tulkita koordinaattien painotetuksi keskiarvoksi . ${\boldsymbol {x}}_{i}$

Jatkuvat painotoiminnot

Jatkuvien arvojen tapauksessa paino on positiivinen mitta jollakin alueella , joka on yleensä euklidisen avaruuden osajoukko välissä . Tässä on Lebesguen mitta , ja se on ei-negatiivinen funktio. Tässä yhteydessä painofunktiota käytetään usein tiheyden käsitteessä . $w(x)dx$ $\Omega$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n))$ $[a,b]$ $dx$ ${\displaystyle w:\Omega \to \mathbb {R} ^{+))$ $w(x)$

Yleiset määritelmät

Jos on reaaliarvoinen funktio, niin painottamaton integraali $f:\Omega \to {\mathbb {R} }$

\int _{\Omega }f(x)\ dx

voidaan täydentää painotetulla integraalilla

\int _{\Omega }f(x)w(x)\,dx

Painotettu tilavuus

Jos E on osajoukko , niin alueen E tilavuus vol( E ) voidaan täydentää painotetulla tilavuudella $\Omega$

{\näyttötyyli \int _{E}w(x)\ dx}

Painotettu keskiarvo

Jos sillä on äärellinen nollasta poikkeava painotettu tilavuus, voimme korvata painottamattoman keskiarvon $\Omega$

{\frac {1}{\mathrm {vol} (\Omega )))\int _{\Omega }f(x)\ dx

painotettuun keskiarvoon

{\frac {\int _{\Omega }f(x)\ w(x)dx}{\int _{\Omega }w(x)\ dx))

Pistetuote

If ja ovat kaksi funktiota painottamattoman pistetulon lisäksi $f:\Omega \to {\mathbb {R} }$ $g:\Omega \to {\mathbb {R} }$

\langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ dx

voit ottaa käyttöön painotetun skalaaritulon

\langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ w(x)dx

(Katso myös ortogonaalisuus )

Katso myös

Linkit

↑ Vatutin E.I. Rinnakkaisohjausalgoritmien osioiden laadun arviointi peräkkäisiksi aligoritmeiksi painofunktiolla . Alueidenvälisen tieteellisen ja teknisen konferenssin "Intellectual and information systems" materiaali (Intellect-2005). Tula. s. 29–30. (2005). Arkistoitu alkuperäisestä 20. huhtikuuta 2012. (määrätön)