Kristallografinen pistesymmetriaryhmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 21. joulukuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Kristallografinen pistesymmetriaryhmä on pistesymmetriaryhmä, joka kuvaa kiteen makrosymmetriaa . Koska kiteissä sallitaan vain 1, 2, 3, 4 ja 6 akseliluokkaa (kierto ja väärä pyöriminen) , vain 32 pisteen symmetriaryhmien loputtomasta määrästä on kristallografisia.

Merkintä

Bravaisin symboliikka

Sitä käytetään pääasiassa koulutustarkoituksiin, ja siinä luetellaan kaikki pisteryhmän elementit. Pyörivät symmetria-akselit on merkitty kirjaimella L , jonka alaindeksi n vastaa akselin järjestystä ( ) — , , , ja . Käänteiset akselit (kiertymisen ja käännöksen yhdistelmä) on merkitty kirjaimella Ł ja alaindeksi n , joka vastaa akselien järjestystä ( Ł n ) - Ł 2 , Ł 3 , Ł 4 ja Ł 6 . Ensimmäisen asteen inversioakseli (inversiokeskus) on merkitty symbolilla C. Toisen asteen käänteisakseli on yksinkertaisesti symmetriataso ja sitä merkitään yleensä symbolilla P. Tason suuntauksen tarkentamiseen suhteessa pääakseliin voidaan käyttää erilaisia indeksejä, esim. || ja ⊥. Esimerkiksi symboli L 2 P ⊥ C tarkoittaa ryhmää, joka koostuu toisen kertaluvun akselista ja sitä vastaan kohtisuorasta tasosta (ja niiden vuorovaikutuksen seurauksena inversion keskipisteestä), ja symboli L 2 2 P | | - ryhmä, joka koostuu toisen kertaluvun akselista ja kahdesta sen kanssa yhdensuuntaisesta tasosta (vaikka vain yhdensuuntaisten tasojen tapauksessa symboli || jätetään yleensä pois ja on L 2 2 P ). Symboli L 4 4 L 2 4 P || P ⊥ C tarkoittaa ryhmää, joka koostuu neljännen kertaluvun akselista, neljästä sitä vastaan kohtisuorasta toisen kertaluvun akselista, neljästä sen kanssa yhdensuuntaisesta tasosta, yhdestä kohtisuorassa tasoon nähden ja inversion keskipisteestä. $L_{n}$ $L_{1}$ $L_{2}$ $L_{3}$ $L_{4}$ $L_{6}$

Schoenfliesin symboliikka

Schoenflies- symboliikka perustuu pisteryhmien luokitteluun perheiden mukaan ja sitä käytetään laajalti merkitsemään kaikkia pisteryhmiä yleisesti, ei vain kristallografisia.

Ryhmäperhe, jossa on yksi pyörivä akseli, on merkitty latinalaisella kirjaimella C , jonka indeksi osoittaa akselin järjestyksen. Kristallografisia ovat C1 , C2 , C3 , C4 ja C6 . _ _ _ _

Vaakatason lisääminen ryhmiin C n on merkitty lisäindeksillä h . Saamme ryhmät C 2h , C 3h , C 4h ja C 6h .

Pystytasojen lisääminen ryhmiin C n on merkitty lisäindeksillä v . Ryhmät C2v , C3v , C4v ja C6v . _ _ _ _

Koska C 1 -ryhmässä ei ole erityisiä suuntia , lisättyä tasoa ei voida luonnehtia pysty- tai vaakasuuntaiseksi. Sellaista tasoa merkitään indeksillä s . Siten yhdestä symmetriatasosta koostuvan ryhmän symboli on C s ( saksaksi spiegel - peili).

Ryhmät, joissa on toisen asteen akselit kohtisuorassa pääakseliin nähden, on merkitty kirjaimella D ja indeksillä, joka osoittaa pyörivän pääakselin järjestyksen. Kristallografiset ovat D 2 , D 3 , D 4 ja D 6 .

Vaakatason lisääminen ryhmiin D n on merkitty, kuten Cn:n tapauksessa , lisäindeksillä h . Ryhmät ovat D 2h , D 3h , D 4h ja D 6h .

Pystytasojen lisääminen ryhmiin D n on epäselvää, koska tasot voivat sijaita sekä toisen kertaluvun vaaka-akselien välissä että yhtyä niiden kanssa. Ensimmäisessä tapauksessa lisätään indeksi d , joka ilmaisee tasojen diagonaalista järjestelyä (diagonaalisesti toisen kertaluvun akselien suuntien välillä). Saadaan kristallografiset ryhmät D 2d ja D 3d . D nd -ryhmissä toisen kertaluvun vaaka-akselien ja pystysuorien peilitasojen vuorovaikutus johtaa kertaluvun 2n peiliakselin ilmestymiseen . Siksi ryhmät D 4d ja D 6d eivät ole kristallografisia, koska ne sisältävät peiliakselit, jotka ovat luokkaa 8 ja 12, vastaavasti. Lisäämällä ryhmiin D n pystytasoa toisen kertaluvun akseleilla, saadaan vaakasuuntainen symmetriataso ja saadaan edellä kuvatut ryhmät D nh

Yhdestä peiliakselista koostuvat ryhmät on merkitty symbolilla S n . Parittomalla n :llä peiliakseli vastaa kertaluvun n pyörimisakselin ja sitä vastaan kohtisuoran tason läsnäoloa, eli ryhmää C nh , joten ryhmissä S n indeksi n on aina parillinen. Näitä ovat S2 ( ryhmä, joka koostuu vain inversiokeskuksesta), S4 ja S6 . Mikä tahansa peiliakseli voidaan kuvata samalla tavalla kuin inversioakseli, joten vaihtoehtoinen nimitys näille ryhmille on C ni , jossa n on käänteisakselin järjestys. Saadaan C i = S2 , C4i = S4 ja C3i = S6 . _ _

Kristallografiset pisteryhmät, joissa on useita korkeamman kertaluvun akseleita (eli enemmän kuin kaksi kertaluokkaa), on merkitty symboleilla T tai O , riippuen niissä esiintyvistä pyörimisakseleista. Lisäindeksit h ja d osoittavat vaakasuorat (ja pystysuorat) ja diagonaaliset symmetriatasot. Jos ryhmässä on vain 2. ja 3. asteen pyörimisakseleita, niin ryhmää merkitään symbolilla T (koska tällainen pyörimisakseleiden yhdistelmä on tetraedrissä). Jos ryhmässä on vain 2-, 3- ja 4-asteisia pyörimisakseleita, niin ryhmää merkitään symbolilla O (koska oktaedrissa on tällainen kiertoakselien yhdistelmä). Vaakasuuntaisten symmetriatasojen lisäys johtaa ryhmiin T h ja O h ( O h on kuution ja oktaedrin symmetriaryhmä). Molemmat ryhmät sisältävät sekä vaaka- että pystytasot. Lisäämällä diagonaalitasot ryhmään T , saadaan ryhmä T d (tetraedrin symmetriaryhmä). Ryhmää O d ei ole olemassa, koska diagonaalisten tasojen lisääminen ryhmään O johtaa pallon rajasymmetriaryhmään, joka sisältää kaikki mahdolliset kierrokset ja heijastukset.

Schoenfliesin merkintää käytetään ryhmäteoriassa , fysiikassa ja kristallografiassa . Schoenflies-symboliikassa käytetään vain generatiivisia symmetriaelementtejä (eli joista voidaan johtaa kaikki muut ryhmän symmetriaelementit). Nimet ovat muuttumattomia koordinaattijärjestelmän valinnan suhteen, mikä on sekä etu, kun olemme vain kiinnostuneita järjestelmän symmetriasta, että haitta, jos pisteryhmän symmetriaelementtien suuntaus on tärkeä. muut kohteet, esimerkiksi kidekoordinaattijärjestelmä tai akselien suhteen avaruusryhmä Bravais hilat . Siksi Hermann-Mogen-symboleja käytetään useammin kristallografiassa, erityisesti avaruusryhmien kuvaamiseen.

Symbolism of Hermann - Mogen (kansainvälinen symboliikka)

Herman-Mogen-symboli tarkoittaa symmetrisesti ei-ekvivalentteja symmetriaelementtejä. Pyörivät symmetria-akselit on merkitty arabialaisilla numeroilla - 1, 2, 3, 4 ja 6. Käänteisakselit on merkitty arabialaisilla numeroilla, joiden yläosassa on viiva - 1 , 3 , 4 ja 6 . Tässä tapauksessa akseli 2 , joka on yksinkertaisesti symmetriataso, on merkitty symbolilla m (englanniksi peili - peili). Tason suunta on siihen nähden kohtisuorassa oleva suunta (eli 2 -akseli ). Peiliakseleita ei käytetä kansainvälisissä symboleissa. Elementin suunta koordinaattiakseleiden suhteen saadaan elementin sijainnista ryhmäsymbolissa. Jos symmetria-akselin suunta on sama kuin tason suunta, niin ne kirjoitetaan samaan kohtaan murtolukuna. Jos käänteisakselilla on suurempi symmetria kuin sen kanssa yhtenevällä pyörimisakselilla, se ilmoitetaan symbolissa (eli he eivät kirjoita , vaan 6 ; jos ryhmässä on inversiokeskus, ei 3, vaan 3 ). $\väri {musta}{\tfrac {3}{m}}$

Alin luokka on pisteryhmät, joissa minkä tahansa akselin maksimijärjestys (kierto tai väärä kierto) on kaksi. Se sisältää ryhmät 1, 1 , 2, m, , 222, mm2 ja . Jos ryhmäsymbolissa on kolme paikkaa, niin $\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {musta}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$

1. asemassa - suunta X-akselia pitkin

2. asemassa - suunta Y-akselia pitkin

3. asemassa - suunta Z-akselia pitkin

Mukautetussa asetuksessa mm2-ryhmä voidaan kirjoittaa muodossa m2m tai 2mm. Vastaavasti ryhmät 2, m ja voidaan kirjoittaa tarkemmin - osoittaen mitä koordinaattiakselia pitkin toisen kertaluvun akselin ja/tai tason suunta kulkee. Esimerkiksi 11m, 1m1 tai m11. Tällä symbolismin ominaisuudella kuvataan yksiselitteisesti avaruusryhmiä, joilla on erilainen koordinaattijärjestelmä, koska avaruusryhmien symbolit on johdettu niitä vastaavien pisteryhmien symboleista. $\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$

Keskiluokka - pisteryhmät, joissa on yksi järjestysakseli kahden yläpuolella (korkein järjestysakseli). Tässä on huomattava, että kristallografia käyttää kristallografista koordinaattijärjestelmää, joka liittyy kiteen symmetriaan. Tässä järjestelmässä akselit valitsevat kiteen erityiset suunnat (suunnat, joita pitkin symmetria- tai translaatioakselit kulkevat). Siksi yhden 3- tai 6-asteisen akselin läsnä ollessa X- ja Y-suuntien välinen kulma [1] on 120° eikä 90°, kuten tavallisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa .

1. asemassa - pääakselin suunta, eli Z-akseli

2. asennossa - sivusuunta. Eli suunta X-akselia pitkin ja vastaava Y-akseli

3. asemassa - diagonaalinen suunta symmetrisesti vastaavien sivusuuntien välillä

Tämä luokka sisältää ryhmät 3, 4, 6, 3 , 4 , 6 , 32, 422, 622, 3m, 4mm, 6mm, 3 , 4 2m, 6 m2, , , ja . $\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$ $\väri {musta}{\tfrac {4}{m}}$ $\väri {musta}{\tfrac {6}{m}}$ $\color {musta}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {musta}{\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$

Koska 3-akseli ja siihen kohtisuorassa oleva taso vastaavat 6 -akselia , niin = 6 ja m2 = 6 m2, mutta on suositeltavaa käyttää merkintää käänteisellä akselilla 6 , koska sen symmetria on suurempi kuin 3:n symmetria. Ryhmät 4 2m ja 6 m2 voidaan kirjoittaa 4 m2 ja 6 2m. Yllä oli venäjänkielisessä kirjallisuudessa käyttöön otettuja nimityksiä. Symbolien 2 ja m järjestys näissä ryhmissä tulee tärkeäksi kuvattaessa niistä johdettuja avaruusryhmiä, koska toisessa asemassa oleva elementti on suunnattu Bravais-solun akselia pitkin ja kolmannessa asemassa oleva elementti on suunnattu solun diagonaalia pitkin. kasvot. Esimerkiksi symbolit P 4 2m ja P 4 m2 edustavat kahta eri tilaryhmää. Ryhmä 32 voidaan myös kirjoittaa 2-akselin eri suuntauksille tarkemmin 321 tai 312. Samoin eri orientaatiot johtavat kahteen eri tilaryhmään P321 ja P312. Sama koskee ryhmiä 3m (vaihtoehtoiset merkinnät 3m1 ja 31m) ja 3 (vaihtoehtoiset merkinnät 3 1 ja 3 1 ). $\väri {musta}{\tfrac {3}{m}}$ $\väri {musta}{\tfrac {3}{m}}$ $\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$ $\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$ $\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$

Korkein luokka ovat pisteryhmät, joissa on useita korkeamman asteen akseleita.

1. paikassa - vastaavat suunnat X, Y, Z

2. asemassa - läsnä aina neljä akselia 3 tai 3

3. asemassa - koordinaattiakselien välinen diagonaalisuunta

Tähän kategoriaan kuuluu viisi ryhmää - 23, 432, 3 , 4 3m ja 3 $\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$ $\väri {musta}{\tfrac {4}{m}}$ $\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$

Kansainväliset symbolit yksinkertaistetaan yleensä korvaamalla ne m :llä, jos n -akselin muodostavat muut symbolissa merkityt symmetriaelementit. Et voi poistaa vain pääakselin nimitystä keskiluokasta. Esimerkiksi ne kirjoittavat mmm, mm ja 3 m 3 m. $\väri {musta}{\tfrac {n}{m}}$ $\color {musta}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {musta}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\väri {musta}{\tfrac {4}{m}}$ $\väri {musta}{\tfrac {4}{m}}$ $\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$

Shubnikovin symbolit

Shubnikov-symbolit ovat Schoenflies-symbolien ja Hermann-Mogen-symbolien välissä. Ulkonäöltään ne ovat enemmän samankaltaisia kuin jälkimmäinen, mutta merkitykseltään ne ovat lähempänä Schoenflies-symboleja. Aivan kuten Herman-Mogen-symboleissa, akselit on merkitty arabialaisilla numeroilla ja taso symbolilla m . Väärin pyörivän akselin osoittamiseksi valitaan kuitenkin peiliakseli, ei käänteinen akseli, kuten kansainvälisessä symbolissa. Peilin akselia on merkitty arabialaisella numerolla, jossa on aaltomerkki: 2. asteen peiliakseli (sama kuin inversion keskipiste 1 ), 4. asteen peiliakseli (eli 4. asteen inversioakseli 4 ) ja 6. asteen peiliakseli ( vastaa kolmannen asteen inversioakselia 3 ). Aivan kuten Schoenflies-symboleissa, vain tuottavat symmetriaelementit on merkitty. Esimerkiksi Shubnikov-symboli 4 : 2 sekä Schoenfliesin D 4 tarkoittaa, että ryhmä muodostuu 4. asteen akselista ja sitä vastaan kohtisuorassa olevasta 2. asteen akselista, kun taas kansainvälinen symboli 422 ilmaisee myös läsnäolon ryhmässä. symmetrisesti epäekvivalentit toisen asteen akselit. Sivuakselien ja -tasojen suunta ilmaistaan merkillä : jos ne ovat kohtisuorassa pääakseliin nähden, • - jos ne ovat yhdensuuntaisia pääakselin kanssa ja / - jos ne ovat vinossa pääakseliin nähden. Kiinnitä huomiota ryhmien nimityksiin ja . Aivan kuten vastaavissa kansainvälisissä symboleissa 4 2m ja 3 m, ne osoittavat väärän pyörimisen akseleita, kun taas Schoenflies-symboleissa D 2d ja D 3d on merkitty vain pyörimisakseleita, jotka ovat osa väärän kiertoakselin akseleita (akseli 2 on mukana ja akseli 3 sisältyy kohtaan ). ${\tilde {2}}$ ${\tilde {4}}$ ${\tilde {6}}$ ${\tilde {4}}\cdot m$ ${\tilde {6}}\cdot m$ ${\tilde {4}}$ ${\tilde {6}}$

Orbifold-merkintä

Orbifold-merkintätapaa ehdotti William Thurston ja suositteli John Conway . [2] [3] Periaatteessa se otettiin käyttöön kuvaamaan symmetriaryhmiä kaksiulotteisilla vakiokaarevilla pinnoilla (esim. 17 kaksiulotteista kristallografista ryhmää tasossa, symmetriaryhmiä hyperbolisella tasolla, symmetriaryhmiä pallolla) , mutta koska pallon symmetriaryhmät ovat vastaavia kolmiulotteisia pisteryhmiä, näitä merkintöjä voidaan käyttää myös jälkimmäiselle. Tässä orbifold-merkinnän merkitys selitetään kolmiulotteisten pisteryhmien kuvauksessa.

Kuten kansainvälisessä järjestelmässä, symmetria-akselien olemassaolo on osoitettu arabialaisilla numeroilla, ja molemmat merkinnät osoittavat paitsi generoivia elementtejä, myös symmetrisesti ei-ekvivalentteja. Tässä on kuitenkin pieni ero - orbifold-järjestelmässä ei ole merkitty vain ei-ekvivalentteja symmetriaakseleita, vaan ei-ekvivalentteja suuntia. Jokaisella akselilla on kaksi suuntaa ("ylös ja alas" pystysuoraan tai "vasen ja oikea" vaakasuuntaan). Esimerkiksi ryhmissä, joissa on yksi akseli ( C n Schoenfliesin mukaan), nämä suunnat eivät ole samanarvoisia, joten tällaiset ryhmät merkitään nn:llä. Kristallografisiin ryhmiin kuuluvat ryhmät 11, 22, 33, 44 ja 66. Ryhmissä, joiden 2. asteen akselit ovat kohtisuorassa pääakseliin nähden ( D n Schoenfliesin mukaan), 2. kertaluvun akselit "kääntävät" pääakselia 180 astetta, jolloin molemmat ovat ohjeet vastaavat. Tällaisissa ryhmissä on kuitenkin kahden tyyppisiä toisen asteen suuntia, joten ryhmiä merkitään n22:lla. Numeroiden järjestyksellä ei ole merkitystä, vain niiden sijainti suhteessa symmetriatason symboliin (jos se on ryhmässä) on tärkeä, mitä käsitellään alla. Ryhmät 222, 322, 422 ja 622 ovat kristallografisia (voit myös kirjoittaa 222, 223, 224 ja 226). On mielenkiintoista verrata näitä symboleita vastaaviin kansainvälisiin symboleihin 222, 32, 422 ja 622. Parillisen pääakselin ryhmissä on kaksi luokkaa symmetrisesti ei-ekvivalentteja toisen asteen vaaka-akseleita (siis kaksi 2s kansainvälisessä symbolissa), mutta kummankin akselin osalta molemmat suunnat ovat vastaavat . Ryhmissä, joissa on pariton pääakseli, kaikki 2. kertaluvun akselit ovat samanarvoisia (siksi kansainvälinen symboli on 32, ei 322), mutta näiden vaaka-akselien "vasen" ja "oikea" suunnat ovat erilaiset, joten saamme silti kaksi symmetrisesti ei-ekvivalenttisuuntien luokat 2. kertaluokkaa, ja orbifold-merkinnässä saadaan 322 (522, 722 jne.).

Yhden tai useamman symmetriatason esiintyminen ryhmässä on merkitty yhdellä tähdellä *. Lisäksi, jos akselisymboli sijaitsee tähden oikealla puolella, symmetriatasot kulkevat akselin läpi (n tasoa n:nnen kertaluvun akselin läpi), jos numero sijaitsee tähden vasemmalla puolella, niin tasot eivät kulje akselin läpi. Esimerkiksi ryhmässä *332 ( T d Schoenfliesin mukaan) tasot kulkevat kaikkien akselien läpi, ja ryhmässä 3 * 2 ( T h Schoenfliesin mukaan) tasot kulkevat vain 2. kertaluvun akseleiden läpi, mutta eivät läpi. kolmannen asteen akselit.

Muutama esimerkki lisää:

Ryhmissä, joiden symmetriataso on kohtisuorassa pääsymmetria-akselia vastaan ( C nh Schoenfliesin mukaan), akselin molemmat suunnat tulevat samanarvoisiksi ja ryhmät merkitään symbolilla n*. Kristallografiset ryhmät ovat 2*, 3*, 4* ja 6*. Jos symmetriataso kulkee akselin läpi ( C nv Schoenfliesin mukaan), niin, kuten edellä mainittiin, tähti sijoitetaan luvun vasemmalle ja saadaan ryhmät *22, *33, *44, *66 . Numerot tuplaavat jälleen, koska pääakselin suunnat ("ylös ja alas") ovat taas eriarvoisia.

Eivät vain symmetriatasot pysty muuttamaan hahmon osia (aiheen fragmentteja) peilisymmetrisiksi. Tällaisia elementtejä ovat esimerkiksi peili- ja inversioakselit. Tasossa oleville kaksiulotteisille kristallografisille ryhmille tällainen elementti on heijastus (eli heijastus, jossa on samanaikainen siirtymä heijastusviivaa pitkin). Tällaisen elementin läsnäolo ryhmässä on merkitty kuvakkeella x ("ihme" Conwayn mukaan). Tätä kuvaketta käytetään vain, jos elementin toimintaa ei voida esittää millään tavalla ryhmäsymbolin muiden elementtien yhdistelmänä. Kolmiulotteisten pisteryhmien tapauksessa tämä viittaa ryhmiin, jotka koostuvat yhdestä parillisen kertaluvun peiliakselista, S 2 = C i , S 4 ja S 6 . Ne merkitään vastaavasti 1x, 2x ja 3x.

Coxeterin merkintä

Aluksi Coxeter käytti näitä merkintöjä ryhmille, jotka muodostuivat joukosta symmetriatasoja. Kun kaksi symmetriatasoa leikkaavat toisensa asteen kulmassa, muodostuu n:nnen kertaluvun symmetria-akseli ja saadaan pisteryhmä C nv , jota merkitään [n]. Jos ryhmä muodostetaan kolmen tason avulla, niin ryhmäsymboli koostuu kahdesta numerosta [n, m], jossa jälleen jokainen numero ilmaisee tasojen leikkauskohtaan muodostuvan pyörimisakselin järjestystä. Näihin ryhmiin kuuluvat D nh -ryhmät , joita merkitään [n,2], sekä säännöllisten monitahojen symmetriaryhmät T h ( tetraedri ), O h (kuutio) ja I h ( ikosaedri ), jotka ovat merkitty [3,3 ], [4,3] ja [5,3]. Loput symmetriaryhmät voidaan pitää yllä kuvattujen alaryhminä, ja niiden kuvaamiseksi Coxeterin merkintää täydennettiin +-merkillä. Jos + on hakasulkujen takana, symmetriatasot poistetaan koko ryhmästä ja vain ryhmän aksiaalinen kompleksi jää jäljelle. Esimerkiksi [3,3] + , [4,3] + ja [5,3] + tarkoittavat ryhmiä T , O ja I . Jos + on suluissa yhden luvun yläpuolella, niin kaksi vastaavaa generoivaa symmetriatasoa poistetaan (mutta niiden muodostama akseli säilyy), ja jotkut muut ryhmän elementit katoavat niiden mukana. Molemmissa tapauksissa ryhmän järjestys puolitetaan. Tyypin [n + ,m + ] ryhmät ovat ryhmien [n + ,m] ja [n, m + ] leikkauspisteet, eli ne koostuvat symmetriaelementeistä, jotka ovat läsnä molemmissa alkuperäisissä ryhmissä. Ryhmän [n + ,m + ] järjestys on neljä kertaa pienempi kuin ryhmän [n, m] järjestys. Tämän tyyppiset pisteryhmät ovat aina muotoa [2n + ,2 + ] ja vastaavat S 2n Schoenflies -symboleja. $\väri {musta}{\tfrac {180}{n}}$

Selvitetään merkintä käyttämällä esimerkkiä ryhmistä, joissa on neljännen asteen akseli. Kun kaksi tasoa leikkaavat 45°:n kulmassa, muodostuu 4. asteen akseli ja tuloksena oleva ryhmä on C 4v (kansainvälinen symboli 4mm), jota merkitään [4]. Kun lisätään vielä yksi symmetriataso, joka on kohtisuorassa molempiin symmetriatasoihin nähden, muodostuu ryhmä D 4h ( ), jota merkitään [4,2]. Jos poistamme symmetriatasot ryhmästä [4] (mutta jätämme niiden muodostaman symmetria-akselin), saadaan ryhmä C 4 (kansainvälinen symboli 4), jota merkitään [4] + . Jos poistamme kaikki symmetriatasot ryhmästä [4,2], saadaan ryhmä D 4 (422), jota merkitään [4,2] + . $\color {musta}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$

Ryhmä [4 + ,2] tarkoittaa ryhmää [4,2], jossa 4. kertaluvun akselin synnyttäneet pystysuorat symmetriatasot poistettiin, itse 4. kertaluvun akseli säilyi ja vaakataso myös jäi. Mutta toisen asteen vaaka-akselit katosivat. Tuloksena oleva ryhmä on C 4h ( ). Tästä esimerkistä voit nähdä, että + yhden numeron yläpuolella "tappaa" viereistä numeroa vastaavan symmetria-akselin. $\väri {musta}{\tfrac {4}{m}}$

Ryhmä [4,2 + ] tarkoittaa ryhmää [4,2], josta vaakataso ja yksi pystygeneraattoreista on poistettu. Siten 2. asteen vaaka-akselit jäivät osittain, mutta 4. asteen akseli katosi. Tuloksena oleva ryhmä koostuu kahdesta toisen asteen vaaka-akselista ja kahdesta niiden välissä kulkevasta pystytasosta. Tämä on ryhmä D 2d ( 4 2m).

Lopuksi ryhmä [4 + ,2 + ] on ryhmien [4 + ,2] ja [4,2 + ] leikkauspiste ja on yksinkertaisesti neljännen asteen peiliakseli S 4 ( 4 ), joka on molemmissa ryhmissä ja 4 2m. $\väri {musta}{\tfrac {4}{m}}$

Pisteryhmien eri merkintöjen vertailu

Kategoria	Syngonia	Kristallijärjestelmä _	Herman-Mogen (koko symboli)	Herman Mogen (lyhennetty)	Shubnikov symbolit	Schoenflies- symbolit	Rohkeita symboleja	Orbifold	Coxeter	Ryhmätilaus _
Huonompi	Triclinic		yksi	yksi	$yksi\$	C1_ _	L1_ _	yksitoista	[ ] +	yksi
	Triclinic		yksi	yksi	${\tilde {2}}$	C i \u003d S 2	C = l 1	x	[2 + ,2 + ]	2
	Monoklininen		2	2	$2\$	C2_ _	L2_ _	22	[2] +	2
			m	m	$m\$	Cs = C1h _	P = £ 2	*	[ ]	2
			$\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$	2/m	$2:m\$	C 2h	L 2 P ⊥ C	2*	[ 2,2+ ]	neljä
	Rombinen		222	222	$2:2\$	D2 = V	3L2 _ _	222	[2,2] +	neljä
			mm2	mm2	$2\cdot m\$	C 2v	L22P _ _ _	*22	[2]	neljä
			$\color {musta}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	hmm	$m\cdot 2:m\$	P2h _	3 L 2 3 PC	*222	[2,2]	kahdeksan
Keskikokoinen	tetragonaalinen		neljä	neljä	$neljä\$	C4_ _	L 4	44	[4] +	neljä
			neljä	neljä	${\tilde {4}}$	S4_ _	L 4	2x	[2 + ,4 + ]	neljä
			$\väri {musta}{\tfrac {4}{m}}$	4/m	$4:m\$	C4h _	L 4 P ⊥ C	neljä*	[ 2,4+ ]	kahdeksan
			422	422	$4:2\$	D4 _	L 4 4 L 2	422	[4,2] +	kahdeksan
			4 mm	4 mm	$4\cdot m\$	C4v _	L44P _ _ _	*44	[neljä]	kahdeksan
			42 m_	42 m_	${\tilde {4}}\cdot m$	D2d_ _	L 4 2 L 2 2 P	2*2	[2 + ,4]	kahdeksan
			$\color {musta}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	4/mm	$m\cdot 4:m\$	4h _	L 4 4 L 2 4 P \|\| P ⊥ C	*422	[4,2]	16
	Kuusikulmainen	Trigonaalinen	3	3	$3\$	C3_ _	L 3	33	[3] +	3
			3	3	${\tilde {6}}$	S6 = C3i _	Ł 3 = L 3 C	3x	[2 + ,6 + ]	6
			32	32	$3:2\$	D3_ _	L 3 3 L 2	322	[3,2] +	6
			3 m	3 m	$3\cdot m\$	C 3v	L 3 3 P	*33	[3]	6
			3 $\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$	3 m	${\tilde {6}}\cdot m$	D3d_ _	£ 3 3 L 2 3 P = L 3 3 L 2 3 PC	2*3	[2 + ,6]	12
		Kuusikulmainen	6	6	$6\$	C6 _	L 6	66	[6] +	6
			6	6	$3:m\$	C 3h	L 3 P ⊥ = Ł 6	3*	[ 2,3+ ]	6
			$\väri {musta}{\tfrac {6}{m}}$	6/m	$6:m\$	C6h _	L 6 P ⊥ C	6*	[ 2,6+ ]	12
			622	622	$6:2\$	D6 _	L 6 6 L 2	622	[6,2] +	12
			6 mm	6 mm	$6\cdot m\$	C6v _	L66P _ _ _	*66	[6]	12
			6 m2	6 m2	$m\cdot 3:m\$	P3h _	L 3 3 L 2 3 P \|\| P ⊥ = £ 6 3 L 2 3 P	*322	[3,2]	12
			$\color {musta}{\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	6/mm	$m\cdot 6:m\$	D6h _	L 6 6 L 2 6 P \|\| P ⊥ C	*622	[6,2]	24
Korkeampi	kuutio		23	23	$3/2\$	T	3 L 2 4 L 3	332	[3,3] +	12
			$\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$ 3	m 3	${\tilde {6}}/2$	T h	3 L 2 4 L 3 3 PC _	3*2	[3 + ,4]	24
			43 m _	43 m _	$3/{\tilde {4}}$	T d	3 Ł 4 4 L 3 6 P	*332	[3,3]	24
			432	432	$3/4\$	O	3 L 4 4 L 3 6 L 2	432	[4,3] +	24
			$\väri {musta}{\tfrac {4}{m}}$ 3 $\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$	m 3 m	${\tilde {6}}/4$	O h	3 L 4 4 L 3 6 L 2 9 PC	*432	[4,3]	48

Kuva pisteryhmistä. Pisteryhmien stereografiset projektiot

Symmetriatasot on osoitettu kaksoisviivoilla, kiertoakselit on merkitty vastaavalla monikulmiolla (toisen asteen akselit on merkitty soikealla) ja inversion keskipiste on merkitty avoimella ympyrällä. Neljännen ja kuudennen kertaluvun inversioakselit on merkitty täyttämättömällä neliöllä ja kuusikulmiolla; samalla merkitään myös niihin sisältyvät toisen ja kolmannen asteen akselit (akseli 2 kuuluu 4 :ään, akseli 3 kuuluu 6 :een ).

Kristallijärjestelmä _	Stereografiset projektiot [4]
Triclinic	1 , C1	1 , C i
Monoklininen	2 , C2	m , C s	$\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$ , C 2h
Rombinen				222 , D2	mm2 , C2v _		$\color {musta}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ , D 2h
tetragonaalinen	4 , C4	4 , S4 _	$\väri {musta}{\tfrac {4}{m}}$ , C 4h	422 , D4	4 mm , C 4v	4 2 m , D 2p	$\color {musta}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ , D 4h
Trigonaalinen	3 , C3	3 , S6 _		32 , D3	3m , C 3v _	3 , D 3d $\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$
Kuusikulmainen	6 , C6	6 , C 3h	$\väri {musta}{\tfrac {6}{m}}$ , C 6h	622 , D6	6mm , C 6v _	6m2 , D3h _ _	$\color {musta}{\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ , D 6h
kuutio	23, T		$\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$ 3 , to _	432, O		4 3 m , T d	$\väri {musta}{\tfrac {4}{m}}$ 3 , oi h $\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$

Pisteryhmien välinen yhteyskaavio

Tässä kaaviossa ryhmät on järjestetty vähemmän symmetrisistä (alhaalta) ryhmiin, joilla on suurempi symmetria (ylhäällä). Saman järjestyksen ryhmät sijaitsevat samalla korkeudella. Jokainen taustaryhmä on siihen linjalla liitetty ylimmän ryhmän alaryhmä . Havainnoinnin helpottamiseksi viivat on annettu eri väreillä.

Historia

Ensimmäisen johtopäätöksen kaikista 32 kristallografisesta pisteryhmästä esitti vuonna 1830 Johann Hessel tutkielmassaan "Kristallometria eli kristallonomia ja kristallografia, joka on kehitetty alkuperäisellä tavalla varsinaisen uuden yleisen kuviodoktriinin perusteella, jossa on kattava katsaus muiden kristallografien tärkeitä töitä ja menetelmiä." Tämä pisteryhmien johtaminen jäi kuitenkin huomaamatta. Seuraavan päätelmän teki Auguste Bravais vuonna 1849 muistelmakirjassaan An Inquiry to Polyhedra of Symmetrical Shape. Bravais ei kuitenkaan ottanut huomioon väärän pyörimisen akseleita (peilikierto tai inversio), ja sen seurauksena hän jätti pois S 4 -ryhmän . Kaikki muut 31 kristallografista ryhmää voidaan johtaa vain symmetria-akselien, heijastustasojen ja inversiokeskuksen yhdistelmänä. Lopulta vuonna 1867 Axel Gadolin julkaisi "Notes of the Petersburg Mineralogical Society" -julkaisussa "Kaikkien kristallografisten järjestelmien ja niiden alajaottelujen johtaminen yhdestä yhteisestä alusta". Gadolinin teoksessa kerrottiin ensimmäistä kertaa nimenomaisesti, että kiteisten polyhedrien (eli kristallografisten pistesymmetriaryhmien) symmetriatyyppien lukumäärä on 32. Tässä työssä Gadolin esitteli inversioakselin käsitteen tiede. Myös tässä artikkelissa ilmestyvät ensimmäisen kerran 32 pisteryhmän stereografiset projektiot.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Katso kulmien pysyvyyden laki ( Stensen, Niels )
↑ Conway J., Smith D. Kvaternioneista ja oktaaveista, niiden geometriasta, aritmetiikasta ja symmetrioista. M.: MTSNMO, 2009.
↑ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008
↑ Stereografinen projektio , katso esimerkiksi Symmetry of crystals - artikkeli Physical Encyclopediasta

Kirjallisuus

Kuusikulmainen järjestelmä // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 osana (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.
Yu. G. Zagalskaya, G. P. Litvinskaya, Geometric Crystallography, Moskovan valtionyliopisto, 1973
Yu.K. Egorov-Tismenko, G.P. Litvinskaya, Yu.G. Zagalskaya, Kristallografia, Moskovan valtionyliopisto, 1992
Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya, Theory of Crystal symmetry, GEOS, 2000 (saatavilla verkossa )
P. M. Zorkiy. Molekyylien ja kiderakenteiden symmetria , Moskovan valtionyliopisto, 1986 (saatavilla verkossa )
A. V. Shubnikov. Äärillisten hahmojen symmetria ja antisymmetria, Neuvostoliiton tiedeakatemian kustantamo, 1951
I. I. Shafranovski. Kristallografian historia. XIX vuosisata, L., "Nauka", 1980

Linkit

Kansainväliset kristallografiataulukot. Kohta 10.1.2. Kristallografiset pisteryhmät (linkki ei käytettävissä)
Kansainväliset kristallografiataulukot. Luku 12.1. pisteryhmän symbolit